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用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征你知道在數(shù)據(jù)1,2,2,3,4,4,5,5,6,7,7,8中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)分別是多少嗎?預(yù)學(xué)1:眾數(shù)、中位數(shù)(1)眾數(shù):在一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù),若有兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多,且出現(xiàn)的次數(shù)一樣,則這些數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù),若一組數(shù)據(jù)中,每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多,則認(rèn)為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù).(2)中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按照從小到大(或從大到小)的順序依次排列,處在中間位置上的一個(gè)數(shù)據(jù)(或中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

想一想:數(shù)據(jù)2,4,4,6,6,8的眾數(shù)是

,中位數(shù)是

.

【答案】4和6,5預(yù)學(xué)3:在頻率分布直方圖中確定眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)最高的矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為眾數(shù).在樣本數(shù)據(jù)中,有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù),也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù).在頻率分布直方圖中,矩形的面積大小正好表示頻率的大小,即中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等,由此可以估計(jì)出中位數(shù)的值.樣本的頻率分布直方圖可以用來估計(jì)樣本的平均數(shù),平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.想一想:從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué),將他們的身高(單位:cm)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖).由圖中數(shù)據(jù)可知a=

,他們的平均身高為

cm.

1.由頻率分布直方圖求樣本平均數(shù)例1、我市為“中學(xué)生詞匯語(yǔ)言大賽”進(jìn)行選拔性測(cè)試,且規(guī)定:成績(jī)大于或等于90分的有參賽資格,90分以下(不包括90分)的則被淘汰.若現(xiàn)有1000人參加測(cè)試,學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如下:(1)求獲得參賽資格的人數(shù);(2)根據(jù)頻率分布直方圖,

估算這500名學(xué)生測(cè)試的

平均成績(jī).

變式訓(xùn)練1某個(gè)容量為100的樣本的頻率分布直方圖如下,則該樣本的平均數(shù)為

.

【解析】由頻率總和為1,

得第四個(gè)小矩形的面積

為0.3,所以平均值為

0.05×1.5+0.1×2.5+

0.4×3.5+0.3×4.5+

0.15×5.5=3.9.【答案】3.92.由樣本頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)例2、某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查,將他們?cè)谀扯胃咚俟返能囁?km/h)分成六段:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90)后得到如圖所示的頻率

分布直方圖.求這40輛小

型車輛車速的眾數(shù)和中

位數(shù)的估計(jì)值.

例3、從甲、乙兩種玉米中各抽10株,分別測(cè)得它們的株高如下:甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42.乙:27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.(1)哪種玉米的苗長(zhǎng)得高?(2)哪種玉米的苗長(zhǎng)得齊?【方法指導(dǎo)】分別計(jì)算平均數(shù)和方差,并結(jié)合平均數(shù)和方差的意義做出評(píng)價(jià).

1.由頻率分布直方圖計(jì)算平均值時(shí),平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.2.眾數(shù)就是頻率分布直方圖中最高的小矩形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo),中位數(shù)為頻率分布直方圖中從左到右頻率和為0.5處的點(diǎn)的橫坐標(biāo).眾數(shù)和中位數(shù)不一定相同.3.極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別與聯(lián)系:數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述.(1)極差是數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差,它反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度,它對(duì)一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感.(2)方差則反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小,為了得到以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動(dòng)幅度通常用標(biāo)準(zhǔn)差,即樣本方差的算術(shù)平方根,是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離.4.在實(shí)際問題中,僅靠平均數(shù)不能完全反映問題,還要研究方差,方差

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