【學海導航】高考數(shù)學一輪專題復習 19等比數(shù)列課件 蘇教

第三章數(shù)列、推理與證明等比數(shù)列第19講等比數(shù)列的基本量運算【例1】已知等比數(shù)列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1·a2·a3＝8，求an.點評

研究等差數(shù)列或等比數(shù)列，通常向首項a1，公差d(或公比q)轉(zhuǎn)化．在a1，an，d(或q)，Sn，n五個基本量中，能“知三求二”．

【變式練習1】等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S4＝1，S8＝3.求：

(1)等比數(shù)列{an}的公比q；

(2)a17＋a18＋a19＋a20的值．

等比數(shù)列的判定與證明【例2】設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)．若an＋Sn＝n，(1)設cn＝an－1，求證：數(shù)列{cn}是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{bn}的通項公式．

點評評判斷斷一一個個數(shù)數(shù)列列是是等等比比數(shù)數(shù)列列的的方方法法有有定定義義法法、、等等比比中中項項法法，，或或者者從從通通項項公公式式、、求求和和公公式式的的形形式式上上判判斷斷．．證證明明一一個個數(shù)數(shù)列列是是等等比比數(shù)數(shù)列列的的方方法法有有定定義義法法和和等等比比中中項項法法，，注注意意等等比比數(shù)數(shù)列列中中不不能能有有任任意意一一項項是是0.等比比數(shù)數(shù)列列的的公公式式及及性性質(zhì)質(zhì)的的綜綜合合應應用用(2)證明明：：因因為為S7＝27－1，S14＝214－1，S21＝221－1，所以以S14－S7＝27(27－1)，S21－S14＝214(27－1)，所以S7·(S21－S14)＝214·(27－1)2＝(S14－S7)2，所以S7，S14－S7，S21－S14成等比數(shù)列．．(3)因為f(n)＝bn＝4an＝2n＋1(n∈N*)，所以bn＝f(n)的圖象是函數(shù)數(shù)f(x)＝2x＋1的圖象上的一一列孤立的點點(圖略)．點評本題主要考查查三個方面：：一是由兩個給出的的等式，解方方程組求出等等比數(shù)列的首首項和公比，，進而求得通通項公式及前前n項和公式，要要求記牢公式式和細心運算算；二是用等比中項的的方法證明三三個數(shù)成等比比數(shù)列．一般般地，三個非非零實數(shù)a、b、c滿足b2＝ac，則a、b、c成等比數(shù)列；；三是考查等比數(shù)列列的圖象．此此題不難，但但較全面地考考查了等比數(shù)數(shù)列的有關知知識，對復習習基礎知識是是很有幫助的的．等差數(shù)列與等等比數(shù)列的綜綜合應用點評此題抓住等比比數(shù)列中的項項不可能是原原來等差數(shù)列列中的連續(xù)3項或3項以上，這實實質(zhì)上是一個個數(shù)列如果既既是等差數(shù)列列，同時又是是等比數(shù)列，，則必定是公公差為0的非零常數(shù)數(shù)數(shù)列．因為在在等差數(shù)列的的公差d≠0時，不能構(gòu)成成等比數(shù)列，，所以只有n＝4可能適合題意意，從而將問問題大大簡化化．【變式練練習4】已知數(shù)數(shù)列{an}是等比比數(shù)列列，其其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差差數(shù)列列．(1)求數(shù)列列{an}的通項項公式式；(2)數(shù)列{an}的前n項和記記為Sn，證明明：Sn＜128.【解析】(1)設等比比數(shù)列列{an}的公比比為q(q∈R)．由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，從而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1.因為a4，a5＋1，a6成等差差數(shù)列列，所所以a4＋a6＝2(a5＋1)，即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，即q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)．所以q＝1/21.在等比比數(shù)列列{an}中，a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，則a7＋a8＝__________1352.設等比比數(shù)列列{an}的公比比為q，前n項和為為Sn.若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差差數(shù)列列，則則q＝____________.－24.若數(shù)列列{an}的前n項和可可表示示為Sn＝2n＋a，則{an}是否可可能成成為等等比數(shù)數(shù)列？？若可可能，，求出出a的值；；若不不可能能，說說明理理由．．5.已知數(shù)數(shù)列{an}是公比比為q的等比比數(shù)列列，且且a1、a3、a2成等差差數(shù)列列．(1)求公比比q的值；；(2)設{bn}是以2為首項項，q為公差差的等等差數(shù)數(shù)列，，其前前n項和為為Sn.當n≥2時，比比較Sn與bn的大小小，并并說明明理由由．本節(jié)內(nèi)內(nèi)容主主要考考查數(shù)數(shù)列的的運算算、推推理及及轉(zhuǎn)化化的能能力與與思想想，考考題一一般從從三個個方面面進行行考查查：一是應用等等比數(shù)數(shù)列的的通項項公式式及其其前n項和公公式計計算某某些量量和解解決一一些實實際問問題；；二是給出一一些條條件求求出首首項和和公比比進而而求得得等比比數(shù)列列的通通項公公式及及其前前n項和公公式，，或?qū)⑦f推推關系系式變變形轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為為等比比數(shù)列列問題題間接接地求求得等等比數(shù)數(shù)列的的通項項公式式；三是證明一一個數(shù)數(shù)列是是等比比數(shù)列列．1．等比數(shù)數(shù)列常常用的的性質(zhì)質(zhì)：(1)等比數(shù)數(shù)列{an}中，對對任意意的m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq.特別地地，若若m＋n＝2p，則am·an＝ap2.(2)對于等等比數(shù)數(shù)列{an}中的任任意兩兩項an、am，都有有關系系式an＝amqn－m，可可求求得得公公比比q.但要要注注意意n－m為偶偶數(shù)數(shù)時時，，q有互互為為相相反反數(shù)數(shù)的的兩兩個個值值．．(3)若{an}和{bn}是項項數(shù)數(shù)相相同同的的兩兩個個等等比比數(shù)數(shù)列列，，則則{an·bn}也是是等等比比數(shù)數(shù)列列．．答案案：：3選題題感感悟悟：：運用用等等比比數(shù)數(shù)列列的的性性質(zhì)質(zhì)求求解解等等比比數(shù)數(shù)列列問問題題，，是是一一個個基基礎礎考考點點，，是是數(shù)數(shù)列列高高考考的的重重點點內(nèi)內(nèi)容容之之一一．．2．(2010·蘇州州期期中中卷卷)等比比數(shù)數(shù)列列{an}共2n＋1項，，首首項項a1＝1，所所有有奇奇數(shù)數(shù)項項的的和和等等于于85，所所有有偶偶數(shù)數(shù)項項的的和和等等于于42，則則n＝______.答案案：：3選題題感感悟悟：：本題題主主要要考考查查等等比比數(shù)數(shù)列列的的性性質(zhì)質(zhì)及及前前n項和和公公式式，，同同時時也也考考查查了了方方程程思思想想及