【走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 122排列與組合課件（北師大）

考綱解讀1．理解排列、組合的概念．2．能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．3．能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．考向預(yù)測(cè)1．排列、組合問(wèn)題每年必考．2．以選擇題、填空題的形式考查，或在解答題中和概率相結(jié)合進(jìn)行考查．3．以實(shí)際問(wèn)題為背景以考查排列數(shù)、組合數(shù)為主，同時(shí)考查分類(lèi)整合的思想及解決問(wèn)題的能力．知識(shí)梳理1．排列(1)排列的定義：從n個(gè)

的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的

排成一列，叫作從n個(gè)不同的元素中任意取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．(2)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的

的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用Anm表示．(3)排列數(shù)公式：Anm＝

．不同順序所有排列n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(4)全排列：n個(gè)不同的元素全部取出的

，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列，Ann＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝

.于是排列數(shù)公式寫(xiě)成階乘的形式為

，這里規(guī)定0?。?/p>

.排列n！12．組合(1)組合的定義：從n個(gè)

的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素為

叫作從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的一個(gè)組合．(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的

的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的組合數(shù)，用Cnm表示．不同一組所有組合(4)組合數(shù)的性質(zhì)：①Cnm＝

；②Cn＋1m＝

＋

.11Cnn－mCnmCnm－1基礎(chǔ)自測(cè)1．(2010·四川文)由1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且1,2都不與5相鄰的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．36 B．32C．28 D．24[答案]

A[解析]

本題考查排列與組合知識(shí)．當(dāng)5排在兩端時(shí)，有C21C21A33＝24種排法；當(dāng)5不排在兩端，即放在3和4之間時(shí)，有A22A33＝12種排法．故共有24＋12＝36種排法．2．(2009·遼寧理)從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有()A．70種 B．80種C．100種 D．140種[答案]

A[解析]

考查排列組合有關(guān)知識(shí)．可分兩類(lèi)，男醫(yī)生2名，女醫(yī)生1名或男醫(yī)生1名，女醫(yī)生2名，∴共有C52·C41＋C51·C42＝70種，∴選A.3．(2009·全國(guó)卷卷Ⅰ文)甲組有有5名男同同學(xué)，3名名女同學(xué)；；乙組有6名男同學(xué)學(xué)，2名女女同學(xué)．若若從甲、乙乙兩組中各各選出2名名同學(xué)，則則選出的4人中恰有有1名女同同學(xué)的不同同選法共有有()A．150種B．180種C．300種D．345種[答案]D4．(2010·遼寧理理)如果執(zhí)執(zhí)行右面的的程序框圖圖，輸入正正整數(shù)n，m，滿足n≥m，那么輸出出的p等于()A．Cnm－1B．Anm－1C．CnmD．Anm[答案]D[解析]由程序框圖圖知k＝1，p＝1，p＝1×(n－m＋1)k＝2，p＝(n－m＋1)(n－m＋2)??k＝m－1，p＝(n－m＋1)(nk＝m，p＝(n－m＋1)(n－m＋2)·…·(n－1)n＝Anm.5．將4名大學(xué)學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)當(dāng)村官，每個(gè)個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一一名，則不同同的分配方案案有________種種(用數(shù)字作作答)．[答案]36[解析]因?yàn)槊總€(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)鎮(zhèn)至少一名，，所以有一個(gè)個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)有2名名的情況，假假設(shè)A鄉(xiāng)鎮(zhèn)有2名學(xué)學(xué)生，則有C42A22＝12(種)情況．所以不同的分分配方案共有有3×12＝36(種)情況6．2010年年廣州亞運(yùn)會(huì)會(huì)火炬接力傳傳遞路線共分分6段，傳遞遞活動(dòng)分別由由6名火炬手手完成，如[答案]

96[解析]

先安排最后一棒(A21)，再安排第一棒(A21)，最后安排中間四棒(A44)，∴不同的傳遞方案有A21A21A44＝96(種)．7．對(duì)某種產(chǎn)品品的6件不同同正品和4件件不同次品一一一進(jìn)行測(cè)試試，直至區(qū)分分出所有次品品為止．若所所有次品恰好好在第5次測(cè)測(cè)試時(shí)被全部部發(fā)現(xiàn)，則這這樣的測(cè)試方方法有多少種種可能？[解析]恰好在第5次次把次品全部部發(fā)現(xiàn)，說(shuō)明明第5次一定定是最后一個(gè)個(gè)次品．前4次共檢測(cè)了了三個(gè)次品，，一個(gè)正品．．所以可能的的測(cè)試方法有有C61C43A44＝576種．．[例1]解解方程或不等等式：(1)3Ax3＝2Ax＋12＋6Ax2；(2)A9x>6A6x－2；[分析]利用排列數(shù)、、組合數(shù)的定定義及公式求求解，注意定定義中m≤n條件的應(yīng)用．．[點(diǎn)評(píng)]在解有關(guān)排列列數(shù)、組合數(shù)數(shù)的方程或不不等式時(shí)，必必須熟練掌握握排列數(shù)、組組合數(shù)公式的的兩種形式．．注意Anm(Cnm)中的n必須為正整數(shù)數(shù)，m為非負(fù)整數(shù)，，且n≥m.由此求出方方程或不等式式的解后，要要進(jìn)行檢驗(yàn)，，把不符合要要求的解舍去去．(1)求值Cn5－n＋Cn＋19－n(2)證明恒恒等式Cn－1m＋Cn－2m＋…＋Cm＋1m＋Cmm＝Cnm＋1.∵n∈N∴n＝4或5.當(dāng)n＝4時(shí)，原式式＝C41＋C55＝5.當(dāng)n＝5時(shí)，原式式＝C50＋C64＝16.(2)證明：：左邊＝Cmm＋Cm＋1m＋Cm＋2m＋…＋Cn－2m＋Cn－1m＝(Cm＋1m＋1＋Cm＋1m)＋Cm＋2m＋…＋Cn－2m＋Cn－1m＝(Cm＋2m＋1＋Cm＋2m)＋…＋Cn－2m＋Cn－1m＝……＝(Cn－2m＋1＋Cn－2m)＋Cn－1m＝Cn－1m＋1＋Cn－1m＝Cnm＋1＝右邊.[例2]六六人按下列要要求站一橫排排，分別有多多少種不同的的站法？(1)甲不站站兩端；(2)甲、乙乙必須相鄰；；(3)甲、乙乙不相鄰；(4)甲、乙乙之間間隔兩兩人；(5)甲、乙乙站在兩端；；(6)甲不站站左端，乙不不站右端．[分析]本題主要考查查有限制條件件的排列應(yīng)用用題的解法及及分類(lèi)討論的的思想和分析析問(wèn)題、解決決問(wèn)題的能力力．[解析](1)方法一一要使甲不不站在兩端，，可先讓甲在在中間4個(gè)位位置上任選1個(gè)，有A41種站法，然后后其余5人在在另外5個(gè)位位置上作全排排列有A55種站法，根據(jù)據(jù)分步乘法計(jì)計(jì)數(shù)原理，共共有站法：A41·A55＝480(種種)．方法二由于于甲不站兩端端，這兩個(gè)位位置只能從其其余5個(gè)人中中選2個(gè)人站站，有A52種站法，然后后中間4人有有A44種站法，根據(jù)據(jù)分步乘法計(jì)計(jì)數(shù)原理，共共有站法：A52·A44＝480(種種)．方法三若對(duì)對(duì)甲沒(méi)有限制制條件共有A66種站法，甲在在兩端共有2A55種站法，從總總數(shù)中減去這這兩種情況的的排列數(shù)，即即共有站法：：A66－2A55＝480(種種)．(2)方法一一先把甲、、乙作為一個(gè)個(gè)“整體”，看作一個(gè)人人，有A55種站法，再把把甲、乙進(jìn)行行全排列，有有A22種站法，根據(jù)據(jù)分步乘法計(jì)計(jì)數(shù)原理，共共有A55·A22＝240(種種)站法．方法二先把把甲、乙以外外的4個(gè)人作作全排列，有有A44種站法，再再在5個(gè)空檔檔中選一個(gè)供供甲、乙放入入，有A51種方法，最后后讓甲、乙全全排列，有A22種方法，共有有A44·A51·A22＝240(種種)．(3)因?yàn)榧准?、乙不相鄰鄰，中間有隔隔檔，可用““插空法”，，第一步先讓讓甲、乙以外外的4個(gè)人站站隊(duì)，有A44種；第二步再再將甲、乙排排在4人形成成的5個(gè)空檔檔(含兩端)中，有A52種，故共有站站法為A44·A52＝480(種種)．也可用“間接法”，6個(gè)人全排排列有A66種站法，由(2)知甲、、乙相鄰有A55·A22＝240種站站法，所以不不相鄰的站法法有A66－A55·A22＝720－240＝480(種)．．(4)方法一一先將甲、、乙以外的4個(gè)人作全排排列，有A44種，然后將甲甲、乙按條件件插入站隊(duì)，，有3A22種，故共有A44·(3A22)＝144(種)站法．．方法二先從從甲、乙以外外的4個(gè)人中中任選2人排排在甲、乙之之間的兩個(gè)位位置上，有A42種，然后把甲甲、乙及中間間2人看作一一個(gè)“大”元素與余下2人作全排列列有A33種方法，最后后對(duì)甲、乙進(jìn)進(jìn)行排列，有有A22種方法，故共共有A42·A33·A22＝144(種種)站法．(5)方法一一首先考慮慮特殊元素，，甲、乙先站站兩端，有A22種，再讓其他他4人在中間間位置作全排排列，有A44種，根據(jù)分步步乘法計(jì)數(shù)原原理，共有A22·A44＝48(種種)站法．方法二首先先考慮兩端兩兩個(gè)特殊位置置，甲、乙乙去站，有A22種站法，然后后考慮中間4個(gè)位置，由由剩下的4人人去站，有A44種站法，由分分步乘法計(jì)數(shù)數(shù)原理共有A22·A44＝48(種)站法．(6)方法一一甲在左端端的站法有A55種，乙在右端端的站法有A55種，且甲在左左端而乙在右右端的站法有有A44種，共有A66－2A55＋A44＝504(種種)站法．方法二以元元素甲分類(lèi)可可分為兩類(lèi)：：①甲站右端有A55種，②甲在中間4個(gè)個(gè)位置之一，，而乙不在右右端有A41·A41·A44種，故共有A55＋A41·A41·A44＝504(種種)站法．[點(diǎn)評(píng)]排列問(wèn)題本質(zhì)質(zhì)就是“元素素”占“位子子”問(wèn)題，有限制制條件的排列列問(wèn)題的限制制主要表現(xiàn)在在：某些元素素“排”或“不排”在哪個(gè)位子上上，某些元素素“相鄰”或“不相鄰”．對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題題在分析時(shí)，，主要按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先先安排特殊元元素或優(yōu)先滿滿足特殊位子子，如本題(1)中的方方法一、方法法二．對(duì)于“相鄰”問(wèn)題可用“捆綁法”，對(duì)“不相鄰”問(wèn)題可用“插空法”，如本題(2)與(3)．當(dāng)正面求求解較困難時(shí)時(shí)，也可用“間接法”，如本題(6)．(2011··江蘇南京一一模)有5個(gè)個(gè)同學(xué)排隊(duì)照照相，求：(1)甲、乙乙2個(gè)同學(xué)必必須相鄰的排排法有多少種種？(2)甲、乙乙、丙3個(gè)同同學(xué)互不相鄰鄰的排法有多多少種？(3)乙不能能站在甲前面面，丙不能站站在乙前面的的排法有多少少種？(4)甲不站站在中間位置置，乙不站在在兩端兩個(gè)位位置的排法有有多少種？[分析]本題是有限制制條件的排列列問(wèn)題，它們們分別屬于相相鄰問(wèn)題、不不相鄰問(wèn)題、、順序一定問(wèn)問(wèn)題、在與不不在問(wèn)題等模模型，應(yīng)采取取相應(yīng)的捆綁綁法、插空法法、直接法、、間接法、排排除法等求解解．[解析](1)這是典典型的相鄰問(wèn)問(wèn)題，采用捆捆綁法．先排排甲、乙，有有A22種方法，再與與其他3名同同學(xué)排列，共共有A22·A44＝48種不同同排法；(2)這是不不相鄰問(wèn)題，，采用插空法法，先排其余余的2名同學(xué)學(xué)，有A22種排法，出現(xiàn)現(xiàn)3個(gè)空，將將甲、乙、丙丙插空，所以以共有A22·A33＝12種排法法．(3)這是順順序一定問(wèn)題題，由于乙不不能站在甲前前面，丙不不能站在乙前前面，故3人人只能按甲、、乙、丙這一一種順序排列列．方法一：5人人的全排列共共有A55種，甲、乙、、丙3人全排排列有A33種，而3人按按甲、乙、丙丙順序排列是是全排列中的的一種，所以以共有 ＝20種排法．．方法二：采用用插空法，先先排甲、乙、、丙3人，只只有一種排法法，然后插入入1人到甲、、乙、丙中，，有4種插法法，再插入1人，有5種種插法，故故共有4×5＝20種排排法．(4)方法一一：(直接法法)若甲排在在了兩端的兩兩個(gè)位置之一一，甲有A21種，乙有A31種，其余3人人有A33種，所以共有有A21·A31·A33種；若甲排在在了第2和第第4兩個(gè)位置置中的一個(gè)，，有A21種，這時(shí)乙有有A21種，其余3人人有A33種，所以一共共有A21·A21·A33種，因此符合合要求的一共共有A21·A31·A33＋A21·A21·A33＝60種排法法．方法二：(間間接法)5個(gè)個(gè)人全排列有有A55種，其中甲站站在中間時(shí)有有A44種，乙站在兩兩端時(shí)有2A44種，且甲站中中間同時(shí)乙在在兩端的有2A33種，所以一共共有A55－A44－2A44＋2A33＝60種排法法．[點(diǎn)評(píng)]對(duì)于相鄰問(wèn)題題，可以先將將這些要求相相鄰的元素作作為一個(gè)元素素與其他元素素進(jìn)行排列，，同時(shí)要考慮慮相鄰元素的的內(nèi)部排列，，這稱(chēng)為“捆綁法”；對(duì)于不相鄰鄰問(wèn)題，可先先排其他元素素，然后將這這些要求不相相鄰的元素插插入空檔，這這稱(chēng)為“插空法”；對(duì)于順序一一定的排列問(wèn)問(wèn)題，可先將將全部元素進(jìn)進(jìn)行全排列，，再除以要求求順序一定的的元素之間的的全排列數(shù).[例3]某某旅游團(tuán)要從從8個(gè)風(fēng)景點(diǎn)點(diǎn)中選出兩個(gè)個(gè)風(fēng)景點(diǎn)作為為當(dāng)天的游覽覽地，滿足下下面條件的選選法各有多少少種？(1)甲、乙乙兩個(gè)風(fēng)景點(diǎn)點(diǎn)至少選一個(gè)個(gè)；(2)甲、乙乙兩個(gè)風(fēng)景點(diǎn)點(diǎn)至多選一個(gè)個(gè)；(3)甲、乙乙兩個(gè)風(fēng)景點(diǎn)點(diǎn)必須選一個(gè)個(gè)且只能選一一個(gè)．[解析](1)解法一一甲、乙至至少選一個(gè)有有兩種情況：：甲、乙都選選有C22種，，或或者者甲甲、、乙乙兩兩個(gè)個(gè)中中只只選選一一個(gè)個(gè)有有C21C61種，，所所以以至至少少選選一一個(gè)個(gè)的的情情況況有有：：C22＋解法二甲、乙至少有一個(gè)可看成所有選法種數(shù)C82減去甲、乙都不選的種數(shù)C62，所以甲、乙至少選一個(gè)的種數(shù)為：C82－C62＝28－15＝13.(2)解解法法一一甲甲、、乙乙至至多多選選一一個(gè)個(gè)有有兩兩種種情情況況：：甲甲、、乙乙都都不不選選有有C62種選選法法或或者者甲甲、、乙乙兩兩個(gè)個(gè)中中只只選選一一個(gè)個(gè)，，有有C21C61，所所以以甲甲、、乙乙至至多多選選一一個(gè)個(gè)的的種種數(shù)數(shù)為為：：C62＋C21C61＝15＋＋12＝＝27.解法法二二甲甲、、乙乙至至多多選選一一個(gè)個(gè)可可看看成成所所有有選選法法種種數(shù)數(shù)C82減去去甲甲、、乙乙都都選選的的種種數(shù)數(shù)C22，所所以以甲甲、、乙乙至至多多選選一一個(gè)個(gè)的的種種數(shù)數(shù)為為：：C82－C22＝28－－1＝＝27.(3)甲甲、、乙乙必必須須選選一一個(gè)個(gè)且且只只能能選選一一個(gè)個(gè)的的種種數(shù)數(shù)為為：：C21C61＝12.[點(diǎn)點(diǎn)評(píng)評(píng)]對(duì)于于從從正正面面考考慮慮情情況況較較多多的的問(wèn)問(wèn)題題可可以以先先求求出出沒(méi)沒(méi)有有條條件件限限制制的的組組合合數(shù)數(shù)，，再再減減去去不不符符合合條條件件的的組組合合數(shù)數(shù)，，這這樣樣使使得得計(jì)計(jì)算算較較為為簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單，，這這種種方方法法是是我我們們平平時(shí)時(shí)所所說(shuō)說(shuō)的的從從反反面面考考慮慮問(wèn)問(wèn)題題．．這這種種方方法法對(duì)對(duì)于于元元素素較較多多的的組組合合數(shù)數(shù)會(huì)會(huì)非非常常有有效效．．從7名名男男生生和和5名名女女生生中中選選取取5人人，，分分別別符符合合下下列列條條件件的的選選法法總總數(shù)數(shù)有有多多少少種種？？(1)A，B必須須當(dāng)當(dāng)選選；；(2)A，B必不不當(dāng)當(dāng)選選；；(3)A，B不全全當(dāng)當(dāng)選選；；(4)至至少少有有2名名女女生生當(dāng)當(dāng)選選；；(5)選選取取3名名男男生生和和2名名女女生生分分別別擔(dān)擔(dān)任任班班長(zhǎng)長(zhǎng)、、體體育育委委員員等等5種種不不同同的的工工作作，，但但體體育育委委員員必必須須由由男男生生擔(dān)擔(dān)任任，，班班長(zhǎng)長(zhǎng)必必須須由由女女生生擔(dān)擔(dān)任任．．[分析](1)(2)(3)屬屬于組合合問(wèn)題，，可用直直接法，，(4)屬于組組合問(wèn)題題，可用用間接法法，(5)屬于于先選后后排問(wèn)題題，應(yīng)分分步完成成．[解析](1)由由于A，B必須當(dāng)選選，那么么從剩下下的10人中選選取3人人即可，，∴C103＝120種．(2)從從除去A，B兩人的10人中中選5人人即可，，∴有C105＝252種．(3)全全部選法法有C125種，A，B全當(dāng)選有有C103種，故A，B不全當(dāng)選選有C125－C103＝672種．(4)注注意到““至少有有2名女女生”的的反面是是只有一一名女生生或沒(méi)有有女生，，故可用用間接法法進(jìn)行．．∴有C125－C51·C74－C75＝596種選法法．(5)分分三步進(jìn)進(jìn)行：第一步：：選1男男1女分分別擔(dān)任任兩個(gè)職職務(wù)為C71·C51；第二步：：選2男男1女補(bǔ)補(bǔ)足5人人有C62·C41種；第三步：：為這3人安排排工作有有A33.由分步乘乘法計(jì)數(shù)數(shù)原理共共有C71·C51·C62·C41·A33＝12600種種選法．．[點(diǎn)評(píng)]在解組合合問(wèn)題時(shí)時(shí)，常遇遇到至多多、至少少問(wèn)題，，此時(shí)可可考慮用用間接法法求解以以減少運(yùn)運(yùn)算量．．如果同同一個(gè)問(wèn)問(wèn)題涉及及排列組組合問(wèn)題題應(yīng)注意意先選后后排的原原則.[例4]按下下列要求求分配6本不同同的書(shū)，，各有多多少種不不同的分分配方式式？(1)分分成三份份，1份份1本，，1份2本，1份3本本；(2)甲甲、乙、、丙三人人中，一一人得1本，一一人得2本，一一人得3本；(3)平平均分成成三份，，每份2本；(4)平平均分配配給甲、、乙、丙丙三人，，每人2本；(5)分成成三份份，1份4本，，另外外兩份份每份份1本本；(6)甲、、乙、、丙三三人中中，一一人得得4本本，另另外兩兩人每每人得得1本本；(7)甲得得1本本，乙乙得1本，，丙得得4本本．[解析析]這是一一個(gè)分分配問(wèn)問(wèn)題，，解題題的關(guān)關(guān)鍵是是搞清清事件件是否否與順順序有有關(guān)，，對(duì)于于平均均分組組問(wèn)題題更要要注意意順序序，避避免計(jì)計(jì)數(shù)的的重復(fù)復(fù)或遺遺漏．．(1)無(wú)序序不均均勻分分組問(wèn)問(wèn)題．．先選選1本本有C61種選法法，再再?gòu)挠嘤嘞碌牡?本本中選選2本本有C52種選法法；最最后余余下3本全全選有有C33種方法法．故故共有有C61C52C33＝60種．．(2)有序序不均均勻分分組問(wèn)問(wèn)題．．由于于甲、、乙、、丙是是不同同的三三人，，在第第(1)題題基礎(chǔ)礎(chǔ)上，，還應(yīng)應(yīng)考慮慮再分分配，，共有有C61C52C33A33＝360種種．(3)無(wú)序序均勻勻分組組問(wèn)題題．先先分三三步，，則應(yīng)應(yīng)是C62C42C22種方法法，但但是這這里出出現(xiàn)了了重復(fù)復(fù)．不不妨記記6本本書(shū)為為A、B、C、D、E、F，若第第一步步取了了AB，第二二步取取了CD，第三三步取取了EF，記該該種分分法為為(AB，CD，EF)，則則C62C42C22種分法法中還還有(AB、EF、CD)、(CD、AB、EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共A33種情況，而而這A33種情況僅是是AB、CD、EF的順序不同同，因此只只能作為一一種分法，，故分配方方式有＝＝15種種．(7)直接接分配問(wèn)題題．甲選1本有C61種方法，乙乙從余下5本中選1本有C51種方法，余余下4本留留給丙有C44種方法．共共有C61C51C44＝30種．．[點(diǎn)評(píng)]均勻分組與與不均勻分分組、無(wú)序序分組與有有序分組是是組合問(wèn)題題的常見(jiàn)題題型．解決決此類(lèi)問(wèn)題題的關(guān)鍵是是正確判斷斷分組是均均勻分組還還是不均勻勻分組，有4個(gè)不同同的小球，，4個(gè)不同同的盒子，，現(xiàn)要把球球全部放進(jìn)進(jìn)盒子內(nèi)．．(1)恰有有1個(gè)盒子子不放球，，共有多少少種方法？？(2)恰有有2個(gè)盒子子不放球，，共有多少少種方法？？[分析]恰有1個(gè)空空盒，說(shuō)明明必定有1個(gè)盒子內(nèi)內(nèi)要放入2個(gè)球，先先分組再排排列計(jì)算.4個(gè)球放放在2個(gè)盒盒子內(nèi)要注注意分類(lèi)計(jì)計(jì)數(shù)．[解析](1)確定定1個(gè)空盒盒有C41種方法；選選2個(gè)球捆捆在一起有有C42種方法；把捆在一起起的2個(gè)小小球看成“一個(gè)”整體，則意意味著將3個(gè)球分別別放入3個(gè)個(gè)盒子內(nèi)，，有A33種方法．故共有C41C42A33＝144種種．[點(diǎn)評(píng)]解決排列、、組合綜合合題目，一一般是將符符合要求的的元素取出出(組合)或進(jìn)行分分組，再對(duì)對(duì)取出的元元素或分好好的組進(jìn)行行排列．其其中分組時(shí)時(shí)，要注意意“平均分分組”與“不平均分組組”的差異及分分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)．1．排列數(shù)數(shù)公式和組組合數(shù)公式式都有階乘乘形式與乘乘積形式，，前者多用用于對(duì)含有有字母的式式子進(jìn)行變變形與論證證，后者多多用于數(shù)字字計(jì)算，另另外要注意意公式自身身的條件．．2．對(duì)排列列、組合的的應(yīng)用題應(yīng)應(yīng)遵循兩個(gè)個(gè)原則：一一是按元素素的性質(zhì)進(jìn)進(jìn)行分類(lèi)；；二是按事事件發(fā)生的的過(guò)程進(jìn)行行分步．3．對(duì)于有有附加條件件的排列組組合應(yīng)用題題，通常從從三個(gè)途徑徑考慮：(1)以元元素為主考考慮，即先