【走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 123二項(xiàng)定理課件（北師大）

考綱解讀1．能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理．2．會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題．考向預(yù)測(cè)1．本節(jié)內(nèi)容的考查熱點(diǎn)是通項(xiàng)公式，可以求指定項(xiàng)，或已知某項(xiàng)，求指數(shù)n等．2．本節(jié)內(nèi)容的考查通常用選擇題、填空題的方式進(jìn)行．知識(shí)梳理1．二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋Cn2an－2b2＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中的系數(shù)Cnr(r＝0,1,2，…，n)叫做

．式中的Cnran－rbr叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的

，用Tr＋1表示，即展開(kāi)式的第

項(xiàng)；Tr＋1＝

.二項(xiàng)式系數(shù)通項(xiàng)r＋1Cnran－rbr2．二項(xiàng)展開(kāi)式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為

.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為

.(3)字母a按

排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按

排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從

，Cn1，一直到Cnn－1，

.n＋1n降冪升冪Cn0Cnn3．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)在二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的

相等．(2)如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，

的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，

的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大．(3)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于

，即

.(4)二項(xiàng)式展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和

奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，即

.二項(xiàng)式系數(shù)中間一項(xiàng)中間兩項(xiàng)2nCn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n等于Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝2n－1[答案]

A[答案]

B3．(2009·江西西文)若Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnnxn能被7整除除，則x，n的值可能為為()A．x＝4，n＝3B．x＝4，n＝4C．x＝5，n＝4D．x＝6，n＝5[答案]C[解析]考查二項(xiàng)式式定理．因?yàn)镃n1x＋Cn2x2＋…＋Cnnxn＝Cn0x0＋Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnnxn－1＝(1＋x)n－1能被7整除，代代入選項(xiàng)檢檢驗(yàn)易知選選C.4．(2010·全國(guó)國(guó)卷Ⅰ文)(1－x)4(1－)3的展開(kāi)式中中x2的系數(shù)是()A．－6B．－3C．0D．．3[答案]A[解析]該題考查求求展開(kāi)式的的特定項(xiàng)，，用生成法法．∵(1－)3的有理項(xiàng)為為1和3x，故要出現(xiàn)現(xiàn)x2，需從(1－x)4因式中找x2項(xiàng)和x項(xiàng)，即C42(－x)2和－C41x，∴x2項(xiàng)為C42(－x)2·1－C41·x·3x＝－6x2，∴選A.[答案]66．(2010·全國(guó)卷卷Ⅱ文)(x＋)9的展開(kāi)式中中的x3的系數(shù)是__________．[答案]847．若(1＋2x)6展開(kāi)式中第第2項(xiàng)大于于它的相鄰鄰兩項(xiàng)，試試求x的取值范圍圍．[點(diǎn)點(diǎn)評(píng)評(píng)]求二二項(xiàng)項(xiàng)展展開(kāi)開(kāi)式式中中某某些些特特殊殊項(xiàng)項(xiàng)、、常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)、、有有理理項(xiàng)項(xiàng)、、無(wú)無(wú)理理項(xiàng)項(xiàng)或或它它們們的的系系數(shù)數(shù)等等問(wèn)問(wèn)題題．．利利用用通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式寫(xiě)寫(xiě)出出其其一一般般式式，，再再令令其其中中r取某某些些特特定定值值是是解解決決該該類(lèi)類(lèi)型型問(wèn)問(wèn)題題常常用用方方法法．．[答案案]B[答案案]B[例例2]若若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋……＋＋a1x＋a0，求求(1)a1＋a2＋……＋＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.[解解析析]所求求結(jié)結(jié)果果與與各各項(xiàng)項(xiàng)系系數(shù)數(shù)有有關(guān)關(guān)，，可可以以考考慮慮用用““特特殊殊值值””法法，，整整體體解解決決．．(1)令令x＝0，，則則a0＝－－1；；令令x＝1，，則則a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128①∴a1＋a2＋…＋a7＝129.(3)已已知知(x＋1)2009＝a0＋a1x＋a2x2＋……＋＋a2009x2009，則則a0＋a1＋a2＋……＋＋a1004＝()A．．22009B．．22008C．．21005D．．21004[答答案案](1)49－1(2)A(3)B[解析](1)在在(1－－3x)9展開(kāi)式中中奇數(shù)項(xiàng)項(xiàng)為正，，偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)為負(fù)．．故|a1|＋|a2|＋…＋＋|a9|＝－a1＋a2－a3＋…－a9.令x＝－1，，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝49.令x＝0，得得a0＝1.故故|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝49－1.[例3]已知知f(x)＝(＋＋3x2)n展開(kāi)式中中各項(xiàng)的的系數(shù)和和比各項(xiàng)項(xiàng)的二項(xiàng)項(xiàng)式系數(shù)數(shù)和大992.(1)求求展開(kāi)式式中二項(xiàng)項(xiàng)式系數(shù)數(shù)的最大大項(xiàng)．(2)求求展開(kāi)式式中系數(shù)數(shù)最大的的項(xiàng)．[分析]展開(kāi)式中中二項(xiàng)式式系數(shù)的的最大項(xiàng)項(xiàng)應(yīng)是中中間項(xiàng)，，并要根根據(jù)n的奇偶性性來(lái)確定定是兩項(xiàng)項(xiàng)還是一一項(xiàng)；系系數(shù)最大大項(xiàng)的系系數(shù)，應(yīng)應(yīng)滿(mǎn)足它它不小于于前一項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)數(shù)，也不不小于后后一項(xiàng)的的系數(shù)，，若設(shè)第第r＋1項(xiàng)為為展開(kāi)式式的系數(shù)數(shù)最大項(xiàng)項(xiàng)，則應(yīng)應(yīng)滿(mǎn)足第第r＋1項(xiàng)的的系數(shù)大大于或等等于第r項(xiàng)及第r＋2項(xiàng)的的系數(shù)．．[解析](1)令令x＝1，則則二項(xiàng)式式各項(xiàng)系系數(shù)和為為f(1)＝＝(1＋＋3)n＝4n，展開(kāi)式中中各項(xiàng)的的二項(xiàng)式式系數(shù)之之和為2n.由題意，，知4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0.∴(2n＋31)(2n－32)＝0.∴2n＝－31(舍)或2n＝32.∴n＝5.由于n＝5為奇奇數(shù)，∴展開(kāi)式中中二項(xiàng)式式系數(shù)最最大項(xiàng)為為中間兩兩項(xiàng)，它它們是[解析]根據(jù)二項(xiàng)項(xiàng)式系數(shù)數(shù)的性質(zhì)質(zhì)，列方方程求解解n.系數(shù)的的絕對(duì)值值最大問(wèn)問(wèn)題需要要列不等等式組求求解．由題意知知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，，∴2n＝32，，解得n＝5.[點(diǎn)評(píng)]在運(yùn)用二二項(xiàng)式定定理時(shí)不不能忽視視展開(kāi)式式中系數(shù)數(shù)的正負(fù)負(fù)符號(hào)．．當(dāng)然還還需考慮慮二項(xiàng)式式系數(shù)與與展開(kāi)式式某項(xiàng)的的系數(shù)之之間的差差異：二二項(xiàng)式系系數(shù)只與與二項(xiàng)式式的指數(shù)數(shù)和項(xiàng)數(shù)數(shù)有關(guān)，，與二項(xiàng)項(xiàng)式無(wú)關(guān)關(guān)；而項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)數(shù)不僅與與二項(xiàng)式式的指數(shù)數(shù)和項(xiàng)數(shù)數(shù)有關(guān)，，還與二二項(xiàng)式有有關(guān)．值值得注意意的是，，本例中中是求“系數(shù)的絕絕對(duì)值最最大的項(xiàng)項(xiàng)”，若改改為“系數(shù)最最大的的項(xiàng)”又該如如何處處理？？因?yàn)闉榈?項(xiàng)的的系數(shù)數(shù)為負(fù)負(fù)值，，所以以系數(shù)數(shù)最大大項(xiàng)必必是第第3項(xiàng)項(xiàng)或第第5項(xiàng)項(xiàng)中的的某一一項(xiàng)．．比較較這兩兩項(xiàng)的的系數(shù)數(shù)C10228與C10426大小即即可.[例4](1)求求證：：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，且n>2)；(2)求S＝C271＋C272＋…＋＋C2727除以9的余余數(shù)．．[分析析](1)把3n化為(2＋＋1)n展開(kāi)后后放縮縮證明明；(2)求出出系數(shù)數(shù)和構(gòu)構(gòu)造二二項(xiàng)展展開(kāi)式式求解解．[解析析](1)證明明：∵n∈N*，且n>2，，∴3n＝(2＋1)n展開(kāi)后后至少少有四四項(xiàng)，，而(2＋1)n＝2n＋Cn1×2n－1＋…＋＋Cnn－1×2＋＋1≥≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，故3n>(n＋2)·2n－1.(2)S＝C271＋C272＋…＋C2727＝227－1＝＝89－1＝＝(9－1)9－1＝C9099－C91×98＋…＋C98×9－C99－1＝9(C90×98－C91×97＋…＋C98)－2∵C90×98－C91×97＋…＋C98是正整整數(shù)，，∴S被9除除的余余數(shù)為為7.[點(diǎn)評(píng)評(píng)]冪指數(shù)數(shù)含n的不等等式(n∈N*)，用用二項(xiàng)項(xiàng)式定定理證證明，，有時(shí)時(shí)比用用數(shù)學(xué)學(xué)歸納納法證證明要要簡(jiǎn)捷捷得多多．用用二項(xiàng)項(xiàng)式定定理證證明不不等式式時(shí)，，要根根據(jù)n的最小小值確確定展展開(kāi)后后的最最少項(xiàng)項(xiàng)數(shù)，，然后后視具具體情情況確確定應(yīng)應(yīng)該保保留多多少項(xiàng)項(xiàng)．這這實(shí)際際上是是一個(gè)個(gè)放縮縮適量量的問(wèn)問(wèn)題．．利用二二項(xiàng)式式定理理解決決整除除性問(wèn)問(wèn)題時(shí)時(shí)，關(guān)關(guān)鍵是是要巧巧妙地地構(gòu)造造二項(xiàng)項(xiàng)式，，其基基本思思路是是：要要證明明一個(gè)個(gè)式子子能被被另一一個(gè)式式子整整除，，只要要證明明這個(gè)個(gè)式子子按二二項(xiàng)式式定理理展開(kāi)開(kāi)后的的各項(xiàng)項(xiàng)均能能被另另一個(gè)個(gè)式子子整除除即可可．因因此，，一般般要將將被除除式化化為含含有相相關(guān)除除式的的二項(xiàng)項(xiàng)式，，然后后再展展開(kāi)．．此時(shí)時(shí)常采采用““配湊湊法”、“消去法法”配合整整除的的有關(guān)關(guān)知識(shí)識(shí)來(lái)處處理．．(1)22012除以9的余余數(shù)是是()A．1B．2C．5D．8(2)1－－90C101＋902C102－903C103＋…＋＋(－－1)k90kC10k＋…＋＋9010C1010除以88的的余數(shù)數(shù)是()A．－－1B．．1C．－－87D．．87[答案案](1)C(2)B[解析析](1)22012＝4××22010＝4(9－－1)670＝4(9670－C67019669＋C67029668＋…－1)，展展開(kāi)式式中共共671項(xiàng)項(xiàng)，最最后一一項(xiàng)為為4××(－－1)＝－－4，，故余余數(shù)為為9－－4＝＝5.答案案選C.(2)1－－90C101＋902C102－903C103＋…＋(－－1)k90kC10k＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋＋1)10＝8810＋C101889＋C102888＋…＋C10988＋＋1，，前10項(xiàng)項(xiàng)均可可被88整整除，，故余余數(shù)為為1.答案案選B.1．運(yùn)運(yùn)用二二項(xiàng)式式定理理一定定要牢牢記通通項(xiàng)Tr＋1＝Cnran－rbr，注意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相同，，但具體到到它們展開(kāi)開(kāi)式的某一一項(xiàng)時(shí)是不不相同的，，我們一定定要注意順順序問(wèn)題，，另外二項(xiàng)項(xiàng)展開(kāi)式的的二項(xiàng)式系系數(shù)與該項(xiàng)項(xiàng)的(字母母)系數(shù)是是兩個(gè)不同同概念，前前者只指Cnr，而后者是是指字母外外的部分．．2．求二項(xiàng)項(xiàng)展開(kāi)式中中指定的項(xiàng)項(xiàng)，通常是是先根據(jù)已已知條件求求