【金教程】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 8.5軌跡問(wèn)題課件 文 新人教B

最新考綱解讀1．了解解析幾何的基本思想和坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的方法．2．理解軌跡的概念，能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，運(yùn)用求軌跡的常用方法求曲線的軌跡方程．3．掌握求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的幾種常見(jiàn)方法．高考考查命題趨勢(shì)1．求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程是解析幾何的基本問(wèn)題之一，是高考的熱點(diǎn)．2．解軌跡問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)有二，一是找出約束動(dòng)點(diǎn)變動(dòng)的幾何條件，二是找出影響動(dòng)點(diǎn)變動(dòng)的因素．3．在2009年高考中全國(guó)共有4套試題在此命題主要考查求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程或圓錐曲線方程．如2009湖南20；2009寧夏20，估計(jì)2011年求圓錐曲線方程仍是高考的熱點(diǎn)，難度偏難.1.動(dòng)點(diǎn)軌跡看成適合某幾何條件的點(diǎn)的集合．2．求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法(1)軌跡類型已確定的，一般用待定系數(shù)法．(2)定義法：如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可依定義寫(xiě)出軌跡方程．(3)直接法：動(dòng)點(diǎn)滿足的條件在題目中有明確的表述且軌跡類型未知的，一般用直接法．(4)相關(guān)點(diǎn)法：一動(dòng)點(diǎn)隨另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，一般用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法又叫相關(guān)點(diǎn)法．(5)參數(shù)法：有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn)，但較容易發(fā)現(xiàn)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)常常受另一個(gè)變量的影響，我們稱這個(gè)變量為參數(shù)，根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個(gè)參數(shù)來(lái)分別表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，間接地把坐標(biāo)x，y聯(lián)系起來(lái)，得到用參數(shù)表示的方程．這種方法叫參數(shù)法．如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程．(6)交軌法：求兩動(dòng)曲線的交點(diǎn)的問(wèn)題，常常通過(guò)解方程組得出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再消去參數(shù)求出軌跡方程的方法．(7)幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何條件(如：線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì))．根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法．3．直接法求軌跡方程的方法步驟(1)建系：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系．(2)設(shè)點(diǎn)：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)．(3)列式：列出幾何等式：P＝{M|P(M)}．(4)代換：代入坐標(biāo)M(x，y)，列出方程F(x，y)＝0.(5)化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)方程形式．(6)證明：(略)，注意對(duì)特殊情況的討論．4．體會(huì)“設(shè)而不求”在解題中的簡(jiǎn)化運(yùn)算功能(1)求弦長(zhǎng)時(shí)用韋達(dá)定理設(shè)而不求．(2)弦中點(diǎn)問(wèn)題用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求．5．體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合等思想方法在解題中的運(yùn)用.1.求軌跡方程與求軌跡的區(qū)別(1)若是求軌跡方程，我們應(yīng)選擇合適的方法求出其方程，最后“補(bǔ)漏”和“去掉增多”的點(diǎn)即可，若軌跡有不同的情況，應(yīng)分類討論，以保證它的完整性．即求軌跡方程就是求得的方程加限制條件．(2)若求軌跡，則不僅要求求出其軌跡方程，而且還需要說(shuō)明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，在何處，即圖形的形狀、位置、大小都需說(shuō)明、討論清楚．最后“補(bǔ)漏”和“去掉增多”的點(diǎn)，若軌跡有不同的情況，應(yīng)分別討論，以保證它的完整性．2．估計(jì)計(jì)2011年高高考對(duì)求求軌跡方方程仍是是重點(diǎn)(1)對(duì)對(duì)于求曲曲線(或或軌跡)的方程程這類問(wèn)問(wèn)題，高高考常常常不給出出圖形或或不給出出坐標(biāo)系系，以考考查學(xué)生生理解解解析幾何何問(wèn)題的的基本思思想方法法和能力力．(2)借借助求軌軌跡方程程，進(jìn)而而深入考考查與圓圓錐曲線線有關(guān)的的最值問(wèn)問(wèn)題、參參數(shù)范圍圍問(wèn)題，，這類問(wèn)問(wèn)題的綜綜合性較較大，解解題中需需要根據(jù)據(jù)具體問(wèn)問(wèn)題、靈靈活運(yùn)用用解析幾幾何、平平面幾何何、函數(shù)數(shù)、不等等式、三三角知識(shí)識(shí)，正確確的構(gòu)造造不等式式或方程程，體現(xiàn)現(xiàn)了解析析幾何與與其他數(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)識(shí)的聯(lián)系系.一、選擇題題1．與兩點(diǎn)點(diǎn)(－3,0)，(3,0)距離的平平方和等于于38的點(diǎn)點(diǎn)的軌跡方方程是()A．x2－y2＝10B．x2＋y2＝10C．x2＋y2＝38D．．x2－y2＝38[解析]設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐坐標(biāo)為(x，y)由題意得得：(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝38，化簡(jiǎn)得：x2＋y2＝10.[答案]B2．若－－|x－y＋3|＝0，則點(diǎn)M(x，y)的軌跡是是()A．圓B．橢圓C．雙曲線線D．拋物物線[答案]C3．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，則則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A．雙曲線線B．雙曲線線左支C．一條射射線D．雙曲線線右支[解析]由雙曲線的的第一定義義知?jiǎng)狱c(diǎn)的的軌跡是一一條射線．．[答案]C4．(遼寧高考考卷)已知知點(diǎn)A(－2,0)、B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足＝x2，則點(diǎn)P的軌跡是()A．圓B．．橢圓C．雙曲線線 D．．拋物線[解析]∵P(x，y)滿足＝x2，∴(x＋2)(x－3)＋y2＝x2，化簡(jiǎn)得：y2＝x＋6.即點(diǎn)點(diǎn)P的軌跡是一一條拋物線線．[答案]D5．過(guò)橢圓圓4x2＋9y2＝36內(nèi)一一點(diǎn)P(1,0)引動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)M的軌跡方程程是()A．4x2＋9y2－4x＝0B．4x2＋9y2＋4x＝0C．4x2＋9y2－4y＝0D．4x2＋9y2＋4y＝0[答案]A二、解答題6．已知拋物物線C：y2＝4x，若橢圓左焦焦點(diǎn)及相應(yīng)的的準(zhǔn)線與拋物物線C的焦點(diǎn)F及準(zhǔn)線l分別重合，試試求橢圓短軸軸端點(diǎn)B與焦點(diǎn)F連線中點(diǎn)P的軌跡方程．．[解題思路]探求動(dòng)點(diǎn)滿足足的幾何關(guān)系系，在轉(zhuǎn)化為為方程．[解]由拋物線y2＝4x，得焦點(diǎn)F(1,0)，，準(zhǔn)線l：x＝－1.設(shè)P(x，y)，則B(2x－1,2y)，設(shè)橢圓中心為為O′，則|FO′|∶|BF|＝e，又設(shè)點(diǎn)B到l的距離為d，則|BF|d＝e，∴|FO′|∶|BF|＝|BF|∶d，即(2x－2)2＋(2y)2＝2x·(2x－2)，，化簡(jiǎn)簡(jiǎn)得得P點(diǎn)軌跡方方程為y2＝x－1(x>1).例1(1)在在直角坐坐標(biāo)平面面內(nèi)，已已知兩點(diǎn)點(diǎn)A(－2,0)和和B(2,0)，Q為該平面面內(nèi)的一一動(dòng)點(diǎn)且且線段BQ的垂直平平分線交交AQ于點(diǎn)P.|AQ|＝6.證明|PA|＋|PB|為常數(shù)數(shù)，并寫(xiě)寫(xiě)出點(diǎn)P的軌跡T的方程．．[證明]如圖所示示：連結(jié)PB.∵線段段BQ的垂直平平分線與與AQ交于點(diǎn)P，∴|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，，∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PQ|＝|AQ|＝6(常數(shù))．又|PA|＋|PB|>|AB|，從而而P點(diǎn)的軌跡跡T是中心在在原點(diǎn)，，以A、B為兩個(gè)焦焦點(diǎn)，長(zhǎng)長(zhǎng)軸在x軸上的橢橢圓，其中，2a＝6,2c＝4，∴∴a＝3，c＝2，b2＝5.(2)若若點(diǎn)P到直線x＋2＝0的距離離比它到到點(diǎn)(3,0)的距離離小1，，則點(diǎn)P的軌跡為為()A．圓B．橢橢圓C．雙曲曲線D．拋物物線[解析]把P到直線x＝－2向向左平移移一個(gè)單單位，兩兩個(gè)距離離就相等等了，它它就是拋拋物線的的定義．．[答案案]D[解]若將原原方程程平方方，化化簡(jiǎn)后后并不不能直直接判判斷出出軌跡跡是什什么曲曲線，，注意意式子子結(jié)構(gòu)構(gòu)的特特點(diǎn)，，左邊邊可看看成點(diǎn)點(diǎn)M到點(diǎn)(2,0)的距距離，，從而而可聯(lián)聯(lián)想右右邊可可化為為點(diǎn)M到直線線x＋y－2＝＝0的的距離離，即即有，，由此聯(lián)聯(lián)想到到橢圓圓的第第二定定義，，就很很簡(jiǎn)單1．定定義法法：如如果動(dòng)動(dòng)點(diǎn)的的軌跡跡滿足足某種種已知知曲線線的定定義，，則可可依定定義寫(xiě)寫(xiě)出軌軌跡方方程．．2．借借助圓圓錐曲曲線的的定義義求某某些軌軌跡問(wèn)問(wèn)題，，如：：橢圓圓、雙雙曲線線、拋拋物線線的定定義是是經(jīng)常常考查查的內(nèi)內(nèi)容，，除了了在大大題中中考查查軌跡跡時(shí)用用到外外，經(jīng)經(jīng)常在在選擇擇題、、填空空題中中也有有出現(xiàn)現(xiàn)，屬屬中等等偏易易題．．3．在在例1(2)中中考查查拋物物線的的定義義，將將點(diǎn)P到x＝－2的距距離，轉(zhuǎn)化化為點(diǎn)P到x＝－3的距距離，體現(xiàn)現(xiàn)了數(shù)學(xué)上上的轉(zhuǎn)化與與化歸的思思想．思考探究1(春季季高考題)已知橢圓的的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上一一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，如果延長(zhǎng)長(zhǎng)F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么動(dòng)動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是()A．圓B．橢圓C．雙曲線線一支D．拋拋物線[解析]因?yàn)閨PQ|＝|PF2|，所以|QF1|＝|PQ|＋|PF1|＝|PF2|＋|PF1|.由橢圓第一一定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，故|QF1|＝2a，根據(jù)圓的定定義知點(diǎn)Q的軌跡是圓圓．[答案]A思考探究2一動(dòng)圓與圓圓x2＋y2＋6x＋5＝0外外切，同時(shí)時(shí)與圓x2＋y2－6x－91＝0內(nèi)切，求求動(dòng)圓圓心心M的軌跡方程程，并說(shuō)明明它是什么么樣的曲線線．[解解法法一一]設(shè)動(dòng)動(dòng)圓圓圓圓心心為為M(x，y)，，半半徑徑為為R，設(shè)設(shè)已已知知圓圓的的圓圓心心分分別別為為O1、O2，將圓圓方方程程分分別別配配方方得得：：(x＋3)2＋y2＝4，，(x－3)2＋y2＝100，，當(dāng)⊙⊙M與⊙⊙O1相切切時(shí)時(shí)，，有有|O1M|＝＝R＋2，，①①當(dāng)⊙⊙M與⊙⊙O2相切切時(shí)時(shí)，，有有|O2M|＝＝10－－R，②②將①①②②兩兩式式的的兩兩邊邊分分別別相相加加，，得得|O1M|＋＋|O2M|＝＝12，，[解解法法二二]由解解法法一一可可得得|O1M|＋由以上方程知，動(dòng)圓圓心M(x，y)到點(diǎn)O1(－3,0)和O2(3,0)的距離和是常數(shù)12，所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)為O1(－3,0)、O2(3,0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于12的橢圓，并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，∴2c＝6,2a＝12，∴c＝3，a＝6，∴b2＝36－9＝27，∴圓心軌跡方程為 ＝1.軌跡是橢圓.1．．當(dāng)當(dāng)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)所所滿滿足足的的集集合合條條件件已已知知時(shí)時(shí)，，就就可可用用直直接接法法求求此此動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡方方程程．．2．．在在求求動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)軌軌跡跡方方程程時(shí)時(shí)應(yīng)應(yīng)注注意意它它的的純純粹粹性性和和完完備備性性，，防防止止遺遺漏漏點(diǎn)點(diǎn)和和混混雜雜點(diǎn)點(diǎn)．．3．．常常見(jiàn)見(jiàn)的的求求軌軌跡跡方方程程的的方方法法：：?jiǎn)蝿?dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡問(wèn)問(wèn)題題————直直接接法法＋＋待待定定系系數(shù)數(shù)法法，，如如本本題題就就只只有有一一個(gè)個(gè)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)．．例3已知知△△ABC的頂頂點(diǎn)點(diǎn)A，B的坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別為為A(0,0)，，B(6,0)，，頂頂點(diǎn)點(diǎn)C在曲曲線線y＝x2＋3上上運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)，，求求△△ABC重心心的的軌軌跡跡方方程程．．[解解]設(shè)G(x，y)為為所所求求軌軌跡跡上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，，頂頂點(diǎn)點(diǎn)C的坐坐標(biāo)標(biāo)為為(x0，y0)，，則則由由重重心心坐坐標(biāo)標(biāo)公公式式得得：：因?yàn)闉轫旐旤c(diǎn)點(diǎn)C(x0，y0)在在曲曲線線y＝x2＋3上上，，所所以以有有3y＝(3x－6)2＋3，，整理理得得：：y＝3(x－2)2＋1，，即即為為所所求求軌軌跡跡方方程程1．．本本例例是是求求軌軌跡跡方方程程中中的的常常見(jiàn)見(jiàn)題題型型，，難難度度適適中中，，本本題題解解法法稱稱為為代代入入法法(或或相相關(guān)關(guān)點(diǎn)點(diǎn)法法)，，此此法法適適用用于于已已知知一一動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡方方程程，，求求另另一一動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)軌軌跡跡方方程程的的問(wèn)問(wèn)題題．．即即雙雙動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡問(wèn)問(wèn)題題——代代入入法法．．2．．用用代代入入法法求求軌軌跡跡方方程程時(shí)時(shí)，，要要注注意意對(duì)對(duì)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)所所滿滿足足的的條條件件進(jìn)進(jìn)行行等等價(jià)價(jià)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化．．如如本本例例中中曲曲線線y＝x2＋3上上沒(méi)有有與A、B共線的的點(diǎn)，，因此此，整整理就就得到到軌跡跡方程程；若若曲線線方程程為y＝x2－3，，則應(yīng)應(yīng)去掉掉與A、B共線時(shí)時(shí)所對(duì)對(duì)應(yīng)的的重心心坐標(biāo)標(biāo)．3．．若若題題中中沒(méi)沒(méi)有有給給出出坐坐標(biāo)標(biāo)系系，，一一定定要要根根據(jù)據(jù)題題中中的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)選選擇擇合合適適的的坐坐標(biāo)標(biāo)系系，，這這樣樣能能使使所所求求軌軌跡跡方方程程簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單．．思考探究4已知雙曲線－－y2＝1有動(dòng)點(diǎn)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是曲線的兩個(gè)個(gè)焦點(diǎn)，求△△PF1F2的重心M的軌跡方程．．例4拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)(0[解]

設(shè)直線AB：y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x，y)，由題意得：F(0,1)．又AB和RF是平行四邊形形的對(duì)角線，，∴x1＋x2＝x，y1＋y2＝y(tǒng)＋1.而y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝4k2－2，，消去k得x2＝4(y＋3)．由于直線和拋拋物線交于不不同兩點(diǎn)，∴Δ＝16k2－16>0，，∴k>1或k<－1，∴x>4或x<－4.∴頂點(diǎn)R的軌跡方程為為x2＝4(y＋3)，且|x|>4.1．如果求動(dòng)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)中x、y的關(guān)系不易找找到，也沒(méi)有有相關(guān)信息可可用時(shí)，則可可先考慮將x，y用一個(gè)或幾個(gè)個(gè)參數(shù)來(lái)表示示，消去參數(shù)數(shù)得軌跡方程程，此法稱為為參數(shù)法．2．參數(shù)法中中常選變角、、變斜率等為為參數(shù)．注意意參數(shù)的取值值范圍對(duì)方程程中的x和y范圍的影響．．思考探究5已知點(diǎn)A在橢圓上上運(yùn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B(0,9)、、點(diǎn)M在線段AB上，且，，試求動(dòng)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．．[解]由題意知B(0,9)，，設(shè)A(12cosα，6sinα)，并且設(shè)M(x，y)．1.△ABC的頂點(diǎn)A固定，點(diǎn)A的對(duì)邊BC的長(zhǎng)為2a，邊BC上的高為b，邊BC沿一條定直線線移動(dòng)，求△△ABC外心的軌跡方方程．[解]以BC所在定直線為為x軸，過(guò)A作x軸的垂線為y軸，建立直角角坐標(biāo)系，則則A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，b)，設(shè)△ABC的外心為M(x，y)．2．(廣東高考，，18)設(shè)函數(shù)f(x)＝－x3＋3x＋2分別在x1、x2處取得極小值值、極大值，，xOy平面上點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為為(x1，f(x1))、(x2，f(x2))．該平面面上動(dòng)P滿足，，點(diǎn)Q