彈簧振子模型

動量二彈簧振子模型★如下列圖輕彈簧的一端固定，另一端與滑塊B相連，B靜止在水平直導軌上，彈簧處在原長狀態(tài)。另一質(zhì)量與B同樣的滑塊A,從導軌上的P點以某一初速度向B滑行。當A滑過距離li時，與B相碰，碰撞時間極短，碰后A、B緊貼在一起運動，但互不粘連。已知最后A恰好返回到出發(fā)點P并停止?；瑝KA和B與導軌的動摩擦因數(shù)都為，運動過程中彈簧最大形變量為l2,重力加速度為g。求A從P點出發(fā)時的初速度電?！浮锶鐖D8所示，木塊B和木塊C的質(zhì)量分別為3/4M和M固定在長為L,勁度系數(shù)為k的彈簧的兩端，靜止于圓滑的水平面上。一質(zhì)量為1/4M的木塊A以速度v水平向右與木塊對心碰撞并粘在一起運動，求彈簧達到最大壓縮量時的彈性勢能?！锶缦铝袌D，為水平氣墊導軌，滑塊A、B用輕彈簧相連，今將彈簧壓緊后用輕繩系在A、B上，爾后以恒定的速度V0向右運動，已知A、B質(zhì)量分別為mi、m2,且mi<m2,滑動中輕繩突然斷開，當彈簧第一次恢復到自然長度時，滑塊A的速度恰好為零。求：(1)繩斷開到第一次恢復到自然長度過程中彈簧開釋的彈性勢能EP；(2)在此后運動過程中，滑塊B可否會有速度等于零的時辰？試經(jīng)過定量解析、議論，來證明你的結(jié)論。(Ep=mi(mi+m2)vo2/2m2;不行能)ABv0★如下列圖，質(zhì)量為m2和m3的兩物體靜止在圓滑的水平面上，它們之間有壓縮的彈簧，一質(zhì)量為mi的物體以速度vo向右沖來，為防備觸犯，彈簧將m2、m3向右、左彈開,m3與mi碰后即粘合在一起。問m3的速度最少應多大，才能使此后m3和m2不發(fā)生碰撞？m1m2m3(mim2m3)★圖6所示，在圓滑的水平面上，物體A跟物體B用一根不計質(zhì)量的彈簧相連，另物體C跟物體B靠在一起，但不與B相連，它們的質(zhì)量分別為mA=0.2kg,mB=mc=0.1kg.現(xiàn)使勁將C、B和A壓在一起，使彈簧縮短，在這過程中，外力對彈簧做功7.2J.爾后，由靜止開釋三物體.求：(1)彈簧伸長最大時，彈簧的彈性勢能.(2)彈簧從伸長最大回復到原長時，A、B的速度.(設彈簧在彈性限度內(nèi))解析：(1)在水平方向上因不受外力，故動能守恒.從靜止開釋到恢復原長時，物體B、C擁有同樣的速度VBC,物體A的速度為VA,則有:mAVA+(mB+mc)VBC=0由機械能守恒得:E彈=—mAVA2+—(mB+mC)vBC222解得：VA=6(m/s),VBC=-6m/s(取水平向右為正).此后物體C將與B分開而向左做勻速直線運動.物體A、B在彈簧的彈力作用下做減速簧被拉長，因為A的動量大，故在同樣的沖量作用下，B先減速至零爾后向右加速,此時右且大于B的速度，彈簧連續(xù)拉伸，直至A、B速度相等，彈簧伸長最大,設此時A、B

運動，彈的速度向的速度為V.由水平方向動量守恒可列式:mAVA+mBVBC=(mA+mB)v由機械能守恒可列式：1mAVA2+—mBVBC2=—(mA+mB)v2+E彈，222食軍得:V=2m/s,E彈'=4.8J(2)設彈簧從伸長最大回到原長時A的速度為VI,B的速度為V2,由動量守恒可列式:(mA+mB)V=mAV1+mBV2由機械能守恒又可列式：—(mA+mB)v2+E彈，=—mAv"+—mBV22222解得：VI=-2m/s(v1=6m/s舍去)；V2=10m/s(V2=-6m/s舍去)此時A向左運動，速度大小為2m/s；B向右運動，速度大小為10m/s.答案：(1)4.8J(2)VA=2m/s,VB=10m/s★質(zhì)量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地上。平衡時，彈簧的壓縮量為h,如下列圖，一物塊從鋼板正上方距離為3h的A處自由著落，打在鋼板上，并馬上與鋼板一起向下運動，但其實不粘連。它們到達最低點后又向上運動。已知物塊質(zhì)量也為m時，點時，

它們恰能回到。點，若物塊質(zhì)量為2m,仍從A點處自由著落，則物塊與鋼板回到o還有向上的速度，求物塊向上運動到達的最高點與。點的距離。h/2)(★質(zhì)量為M的小車置于水平面上，小車的上表面由圓滑的1/4圓弧和圓滑平面組成，圓弧半徑為R,車的右端固定有一不計質(zhì)量的彈簧?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的滑塊從圓弧最高處無初速下滑，如下列圖，與彈簧相接觸并壓縮彈簧。求：(1)彈簧擁有最大的彈性勢能；(2)當滑塊與彈簧分別時小車的速度。(mgR；(2m2gR/M(Mm))★在納米技術中需要搬動或修理原子，一定使在不斷地坐熱熨斗(速率約幾百米每秒)的原子幾乎靜止下來且能在一個小的空間地域內(nèi)停留一段時間，為此已發(fā)了然“激光制冷”技術，若把原子和入射光子分別類比為一輛小車和一個小球，則“激光制冷”與下述的模型很近似。一輛質(zhì)量為m的小車(一側(cè)固定一輕彈簧)，以速度vo水平向右運動，一動量大小為P,質(zhì)量可以忽略的小球水平向左射入小車并壓縮彈簧至最短，接著被鎖定一準時間t,再清除鎖定使小球以大小為2P的動量水平向右彈出，緊接著不斷重復上述過程，最后小車將停下來。設地面和車廂均為圓滑，除鎖準時間t夕卜，不計小球在小車上運動和彈簧壓縮、伸長的時間，求：(1)、小球第一次入射后再彈出時，小車的速度的大小和這一過程中小車動能的減少許；、從小球第一次入射開始到小車停止運動所經(jīng)歷的時間。(1、3voP-9P2/2m;2、ot/3P)(1)如圖1,在圓滑水平長直軌道上，放著一個靜止的彈簧振子，它由一輕彈簧兩端各聯(lián)絡一個小球組成，兩小球質(zhì)量相等。現(xiàn)忽然給左端小球一個向右的速度V第一次0,求彈簧恢復到自然長度時，每個小球的速度。(2)如圖2,將N個這樣的振子放在該軌道上，最左側(cè)的振子1被壓縮至彈簧為某一長度后鎖定，靜止在適合地址上，這時它的彈性勢能為E0。其余各振子間都有必然的距離，現(xiàn)清除對振子1的鎖定，任其自由運動，當它第一次恢復到自然長度時，恰好與振子2碰撞,Hl此后，連續(xù)發(fā)生一系列碰撞，每個振子被碰后恰好都是在彈簧第一次恢復到自然長度時與下一個振子相碰.求全部可能的碰撞都發(fā)生后，每個振子彈性勢能的最大值。已知本題中兩球發(fā)生碰撞時，速度交換，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度。解析：(1)設每個小球質(zhì)量為m,以u1、u2分別表示彈簧恢復到自然長度時左右兩端小球的速度.由動量守恒和能量守恒定律有mu1mu2mu0(以向右為速度正方向)^mu；1mu21mu2解得i°2。或i0,u2u°uu,uu212220因為振子從初始狀態(tài)到彈簧恢復到自然長度的過程中，彈簧素來是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球連續(xù)減速，使右端小球連續(xù)加速，所以應該取解：u10,u2u0(2)以vi、vi'分別表示振子1清除鎖定后彈簧恢復到自然長度時左右兩小球的速度，規(guī)定向右為速度的正方向，由動量守恒和能量守恒定律，mvi+mvi'=0—mv2—mv2EE°解侍^E0E0E0E02mv2mv^-，v忻或vvvi^-.-，在這一過程中，彈簧素來是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故應取解：乂EMJ旦振子i與振子2碰撞后，因為交換速度，振子i右端小球速?m'.m度變成0,左端小球速度仍為v〔，此后兩小球都向左運動，當它們向左的速度同樣時，彈簧被拉伸至最長，彈性勢能最大，設此速度為vi0,依據(jù)動量守恒定律：2mvi0mvi用Ei表示最大彈性勢能，由能量守恒有-^mvi20【mv%Ei—mv；2222,i解得Ei-E04★在原子核物理中，研究核子與核子關系的最有效路子是“雙電荷交換反應”，這種反應的前半部分過程和下述力學模型近似，兩個小球A和B用輕質(zhì)彈簧相連，在圓滑的水平直軌道上處于靜止狀態(tài)，在它們左側(cè)有一垂直于軌道的固定擋板P,右側(cè)有一小球C沿軌道以速度v°射向B球，如下列圖，C與B發(fā)生碰撞并馬上結(jié)成一個整體D,在它們連續(xù)向左運動的過程中，當彈簧長度變到最短時，長度忽然被鎖定，不再改變，爾后A球與擋板P發(fā)生碰撞，碰后A、D都靜止不動，A與P接觸而不粘連，過一段時間，忽然清除鎖定(鎖定及清除鎖定均無機械能損失)，已知A、B、C三球的質(zhì)量均為m。(1)求彈簧長度剛被鎖定后A球的速度。(2)求在A球走開擋板P此后的運動過程中，彈簧的最大彈性勢能。■4芝『°七=★質(zhì)量為m的小球B與質(zhì)量為2m的小球C之間用一根輕質(zhì)彈簧連接，現(xiàn)把它們放置在豎直固定的內(nèi)壁圓滑的直圓筒內(nèi)，平衡時彈簧的壓縮量為X0,如下列圖，設彈簧的彈性勢能與彈簧的形變量(即伸長量或縮短量)的平方成正比。小球A從小球B的正上方距離為3X0的P處自由落下，落在小球B上馬上與小球B粘連在一起向下運動，它們到達最低點后又向上運動。已知小球A的質(zhì)量也為m時，它們恰能回到。點(設3個小球直徑相等，且遠小于xo，略小于直圓筒內(nèi)徑)，問小球A最少在B球正上方多少距離處自由落下，與B球粘連后一起運動，可帶動小球C離開筒底。解析：設小球

A由初始地址著落至小球

B碰撞前的速度為

vo,由機械能守恒得mg3x0=2mvo2(1)所以vo=6gxo(2)設小球A與小球B碰撞后共同速度為Vi,由動量守恒得mvo=2mvi(3)所以vi=2.6gxo(4)設彈簧初始的彈性勢能為EP,則碰撞后回到。點機會械能守恒得2mgxo=22mvi2+Ep(5)1(6)由⑴(3)(5)式可礙E=2mgxoP小球B處于平衡時，有(設k為彈簧的勁度系數(shù))kxo=mg當小球C恰好被拉離筒底時，有kx=2mg(8)由(7)(8)可知，x=2xo(9)依據(jù)題中條件可知，小球C恰好被拉離筒底時，彈簧彈性勢能E'P=4EP(10)設小球A最少在B球正上方h處高處著落，且與小球B碰撞前速度為v3,由機械能守恒