（文） 第2講 集合 教案

第二講集合適用學科數(shù)學適用年級高三（文）適用區(qū)域通用課時時長（分鐘）120知識點集合的含義與表示集合間的基本關系集合間的基本運算教學目標(1)集合的含義與表示①了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關系②能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題(2)集合間的基本關系①理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集②在具體情境中，了解全集與空集的含義(3)集合的基本運算①理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集②理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集③能使用韋恩圖（Venn）表達集合的關系及運算教學重點集合是高中數(shù)學的重要內容，在高考中主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，命題重點呈現(xiàn)三個方面：一是以函數(shù)的定義域、值域、不等式的解集為背景考查集合之間的交、并、補集的基本運算和集合之間包含關系，這是歷年高考的熱點，難度一般為低檔；二是以新定義集合以及集合運算為背景考查元素與集合之間的關系教學難點難度一般為中檔或中偏高檔；三是集合與其它知識相交匯，常與函數(shù)、方程、不等式、平面向量、幾何概型、三角等知識相結合。教學過程一、知識講解考點/易錯點1集合有關概念1、集合的含義：把研究的對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。2、集合三要素：確定性、互異性、無序性。說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。3、常見集合：自然數(shù)集：N，正整數(shù)集合：N＊或N+，整數(shù)集合：Z，有理數(shù)集合：Q，實數(shù)集合：R，復數(shù)集合：C.4、集合與元素間的關系對象與集合的關系是，或者，兩者必居其一.5、集合的表示方法（1）自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.（2）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.（3）描述法：{|具有的性質}，其中為集合的代表元素.（4）圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.6、集合的分類（1）含有有限個元素的集合叫做有限集.（2）含有無限個元素的集合叫做無限集.（3）不含有任何元素的集合叫做空集().考點/易錯點2集合間的基本關系1、子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集。記作.真子集：如果集合，但存在元素，且，則稱集合A是集合B的真子集.記作：AB.空集：把不含任何元素的集合叫做空集.記作：.并規(guī)定：空集合是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.2、子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質示意圖子集（或中的任一元素都屬于（1）（2）（3）若且，則（4）若且，則或真子集（或），且中至少有一元素不屬于（1）（為非空子集）（2）若且，則集合相等中的任一元素都屬于，中的任一元素都屬于（1）（2）3、已知集合有個元素，則它有個子集，它有個真子集，它有個非空子集，它有個非空真子集.4、如果集合A中含有n個元素，則集合A有個子集，個真子集.考點/易錯點3集合間的基本運算1、并集：一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集.記作：.2、交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.記作：.3、全集、補集：4、交集、并集、補集名稱記號意義性質示意圖交集且（1）（2）（3）并集或（1）（2）（3）補集（1）（2）二、例題精析【例題1】【題干】（2023·福建卷3）若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，則A∩B的子集個數(shù)為（）A．2B．3C．4D．16【答案】C【解析】A∩B＝{1，3}，子集共有22＝4個，故選C.【例題2】【題干】集合,，若，則的值為（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【解析】∵,,∴∴,故選D.【例題3】【題干】設集合，若，則下列關系正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于中只能取到所有的奇數(shù)，而中18為偶數(shù)。則。【例題4】【題干】已知全集，集合和的關系的韋恩（Venn）圖如圖1所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（）A．3個 B．2個 C．1個 D．無窮多個【答案】B【解析】由得，則，有2個，選B.【例題5】【題干】設集合，，則等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，所以，故選B.【例題6】【題干】設P、Q為兩個非空集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，則P＋Q＝________________.【答案】{1,2,3,4,6,7,8,11}【解析】P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．【例題7】【題干】(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可取值組成的集合；(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A，求由m的可取值組成的集合．【答案】(1){0，eq\f(1,3)，－eq\f(1,2)}；(2){m|m≤3}．【解析】(1)P＝{－3,2}．當a＝0時，S＝，滿足S?P；當a≠0時，方程ax＋1＝0的解為x＝－eq\f(1,a),為滿足S?P可使－eq\f(1,a)＝－3或－eq\f(1,a)＝2，即a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,2).故所求集合為{0，eq\f(1,3)，－eq\f(1,2)}．(2)當m＋1>2m－1，即m<2時，B＝，滿足B?A；若B≠，且滿足B?A，如圖所示，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m≥－3，,m≤3，))∴2≤m≤3.故m<2或2≤m≤3，即所求集合為{m|m≤3}．三、課堂運用【基礎】1．（2023·北京卷1）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，則A∩B＝（）A．{0}B．{－1，0}C．{0，1}D．{－1，0，1}【答案】B【解析】∵－1∈B，0∈B，1B，∴A∩B＝{－1，0}，故選B.2．（2023·安徽卷2）已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，則＝（）A．{－2，－1}B．{－2}C．{－1，0，1}D．{0，1}【答案】A【解析】因為A＝{x|x>－1}，所以＝{x|x≤－1}，所以＝{－2，－1}．3．（2023·天津卷1）已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，則A∩B＝（）A．(－∞，2]B．[1，2]C．[－2，2]D．[－2，1]【答案】D【解析】A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}．【鞏固】1．（2023·福州模擬3）設集合A＝{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(（x，y）))4x＋y＝6}，B＝{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(（x，y）))3x＋2y＝7}，則A∩B＝（）A．{x＝1或y＝2}B．{1，2}C．{(1，2)}D．(1，2)【答案】C【解析】解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝6，,3x＋2y＝7，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))故得到一個公共點，則交集為單元素點集，故選C.2．（2023·惠州三調1）已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B?A，則實數(shù)a的所有可能取值的集合為（）A．{－1}B．{1}C．{－1，1}D．{－1，0，1}【答案】D【解析】因為B?A，所以考慮B≠即a≠0時B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,a)))))，因此有－eq\f(1,a)∈A，所以a＝±1.特殊地，B＝即a＝0時滿足條件，所以實數(shù)a的所有可能取值的集合是{－1，0，1}．3．設集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實數(shù)a＝_______.【答案】1【解析】∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.4．設全集U是實數(shù)集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|eq\f(2,x－1)≥1}，則如圖中陰影部分所表示的集合是________．【答案】{x|1<x≤2}【解析】題圖中陰影部分可表示為(?UM)∩N，集合M為{x|x>2或x<－2}，集合N為{x|1<x≤3}，由集合的運算，知(?UM)∩N＝{x|1<x≤2}．【拔高】1．（2023·廣州模擬5）已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}與B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0}，若A?B，則a的取值范圍是________．【答案】[3，＋∞)【解析】集合A＝{x|1≤x≤4}，由A?B得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2a＋a＋2≤0，,42－2×4a＋a＋2≤0，))解得a≥3.2．已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－eq\f(1,2)<x≤2}．若B?A，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】－eq\f(1,2)<a≤2.【解析】當a＝0時，顯然B?A；當a<0時，若B?A，如圖，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)≤－\f(1,2)，,－\f(1,a)>2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－8，,a>－\f(1,2).))∴－eq\f(1,2)<a<0；當a>0時，如圖，若B?A，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)≤－\f(1,2)，,\f(4,a)≥2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，,a≤2.))∴0<a≤2.綜上知，當B?A時，－eq\f(1,2)<a≤2.3．已知集合A=，B=，若，求實數(shù)m的取值范圍?！敬鸢浮俊窘馕觥坎浑y求出A=，由，又，①若，即，則②若，即，，故由①②知：m的取值范圍是課程小結1．注意集合中元素的性質——互異性的應用，解答時注意檢驗．2．注意描述法給出的集合的元素．如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．3．注意的特殊性．在利用A?B解題時，應對A是否為進行討論．4．注意數(shù)形結合思想的應用．在進行集合運算時要盡可能借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化，一般地，集合元素離散時用Venn圖表示，元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，同時注意端點的取舍．5．注意補集思想的應用．在解決A∩B≠時，可以利用補集思想，先研究A∩B＝.的情況，然后取補集.6．在解決兩個數(shù)集關系問題時，避免出錯的一個有效手段即是合理運用數(shù)軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時，要對參數(shù)進行討論，分類時要遵循“不重不漏”的分類原則，然后對于每一類情況都要給出問題的解答．課后作業(yè)【基礎】1．（2023·四川卷1）設集合A＝{1，2，3}，集合B＝{－2，2}，則A∩B＝（）A．B．{2}C．{－2，2}D．{－2，1，2，3}【答案】B【解析】集合A與B中公共元素只有2.2．（2023·廣東卷1）設集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，則S∩T＝（）A．{0}B．{0，2}C．{－2，0}D．{－2，0，2}【答案】A【解析】S＝{－2，0}，T＝{0，2}，S∩T＝{0}，故選A.3．（2023·新課標全國卷Ⅰ1）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，則A∩B＝（）A．{1，4}B．{2，3}C．{9，16}D．{1，2}【答案】A【解析】集合B＝{1，4，9，16}，所以A∩B＝{1，4}．【鞏固】1．（2023·江蘇卷4）集合{－1，0，1}共有________個子集．【答案】8【解析】集合{－1，0，1}共有3個元素，故子集的個數(shù)為8.2．（2023·陜西卷1）設全集為R，函數(shù)f(x)＝eq\r(1－x)的定義域為M，則?RM為（）A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)【答案】B【解析】M＝{x|1－x≥0}＝{x|x≤1}，故?RM＝(1，＋∞)．3．設集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}．若A∩B＝，則實數(shù)a的取值范圍是______________．【答案】a≤0或a≥6【解析】由|x－a|<1得－1<x－a<1，即a－1<x<a＋1.由圖可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6.4．已知集合A＝{x|eq\f(x－5,x＋1)≤0}，B＝{x|x2－2x－m<0}(1)當m＝3時，求A∩(?RB)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求實數(shù)m的值．【答案】(1)A∩(?RB)＝{x|3≤x≤5}；(2)8【解析】由eq\f(x－5,x＋1)≤0，所以－1<x≤5，所以A＝{x|－1<x≤5}