上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試卷

上海實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試卷????????.????一.填空題1.已知向量

=(,??),??=(,??,且?,則實(shí)數(shù)??= .2.若??+??是關(guān)于??的實(shí)系數(shù)方程????+????+??=的一個(gè)復(fù)數(shù)根,則??= .3.已知向量

=(??,??),=(???,??),則在上的投影向量的坐標(biāo)為 .4.記????為數(shù)列{????}的前??項(xiàng)和,若????=??????+??,則????= .5.已知等差數(shù)列{????}的公差??≠??,且????+????+??????=????+????,則{????}的前15項(xiàng)和??????= .

?? ??

?? ????6.||=,?|=,????|=??,則向量與??的夾角為 .7.復(fù)數(shù)???????????????????的輻角主值是 .8.△中,?

?+?=??,??

? =??,則??= .?????????????????9.在矩形中,??=??⊥,垂足為??,則

??

?)的最大值是10.設(shè)??(??)是定義在??上的函數(shù),且對(duì)于任意的整數(shù)??,滿足??(??+??)???(??)≤??(??+??),??(??+????)???(??)≥??(??+??),??(???)=???????,則??(????????)的值為 .??????二.選擇題11??的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第（）象限?????A.一B.二 C.三 D.四12.設(shè)??為正整數(shù),則“數(shù)列{????}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{????}滿足?????????+??=????+???????+??”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要13.已知{????}為等比數(shù)列,下面結(jié)論中正確的是（）A.????+????≥??????B.????+

≥???????? ?? ??C.若????=????,則????=????D.若????>????,則????>????14.2021(如圖(1)曾借助三角函數(shù)得到了蝴蝶曲線的圖像,探究如下:如圖(2),平面上有兩定點(diǎn)??、??,兩動(dòng)點(diǎn)??、??,且

?|=?|=,

?繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?所形成的角記為,設(shè)函數(shù)??()=?????(????(??≤??≤??,其中??(??)=?? ??>???? ??=??,令??=??(,作=?,隨著的變化,就得到了點(diǎn)的軌跡,其形似“蝴蝶”,則??? ??<??以下4幅圖中,點(diǎn)??的軌跡(考慮蝴蝶的朝向)最有可能為()三.解答題15.已知向量(????????????????)=(??√??)??∈[????].(1)?,求??的值;(2)記??(??)=

??=??(??)的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的??的值.16.設(shè)復(fù)數(shù)??=????(其中、??∈),????=??+????=?(其中??∈).??(1)設(shè)??=??=??

??,若|????|=|????|,求出實(shí)數(shù)??的值;(2)若復(fù)數(shù)??滿足條件:存在實(shí)數(shù)??,使得????與????是某個(gè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根,求符合條件的復(fù)數(shù)??的模的取值范圍.17.????為等差數(shù)列{????}的前??項(xiàng)和,且????=??????=????,記????=[????????],其中[??]表示不超過(guò)??的最大整數(shù),如[????]=??[????????]=??.(1)求????、??????、????????;(2)求數(shù)列{????}的前2022項(xiàng)和.18.已知{????}是公差為2的等差數(shù)列,其前8項(xiàng)和為????,{????}是公比大于0的等比數(shù)列,????=??, ?????????=????(1)求{????}和{????}的通項(xiàng)公式;(2)記????=??????

??????

,??∈???.??(1)證明??

?

}是等比數(shù)列;∑(2)證明??∑??=??

√????????+?????????????????

<??√??.四.附加題19.設(shè)數(shù)列{????}的前??項(xiàng)和為????,若對(duì)任意正整數(shù)??,總存在正整數(shù)??,使得????=????,則稱{????}是“??數(shù)列”.(1)若數(shù)列{????}的前??項(xiàng)和為????=????(??∈???),證明:{????}是“??數(shù)列”;(2)設(shè){????}是等差數(shù)列,其首項(xiàng)????=??,公差??<??.若{????}是“??數(shù)列”,求??的值;(3)證明:對(duì)任意的等差數(shù)列{????},總存在兩個(gè)“??數(shù)列”{????}和{????},使得????=????+????(??∈???)成立.??+??20.稱一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)列{????}為“有趣的”,若|????|=??,且對(duì)任意正整數(shù)??,均有?????? +??+??????????????+??+???????+????|≥

=??.求最大的常數(shù)??,使得對(duì)一切有趣的數(shù)列

及任意正整數(shù)??,均有

+????+參考答案一.填空題1.???

2.2 3.(???,??) 4.??????? ????5.15 6.?????????????? 7.??+???? 8.??9.??????

??????.

?? ??【第10題】夾逼得??(??+????)???(??)=??(??+??),??(??+??)???(??)=??(??+??),∴[??(????????)???(????????)]+[??(????????)???(????????)]+?+[??(??)???(???)]=????????+????????+?+??即?=????????×???????=??????????????∴=?????????? ??????二.選擇題11.D????.?? ????.B ????.B三.解答題15.(1)????==??,=??(????)=???√???? ?????? ?????? ??16.(1)??=???;(2)(??,??)17.(1)????=??, ??????=??, ????????