第二章1被控過程的數(shù)學(xué)模型-單容多容

第二章被控過程的數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型

用數(shù)學(xué)的方法來描述系統(tǒng)輸出量與輸入量之間的關(guān)系，這種系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)描述就稱為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。由于在過渡過程中，系統(tǒng)的輸出（即被控變量）隨時(shí)間而變化，因而在描述系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)模型中不僅會出現(xiàn)這些變量本身，而且也包含這些變量的各階導(dǎo)數(shù)，所以，系統(tǒng)特性方程式是微分方程式，它是表示系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型最基本的形式。2.1概述2.1概述建立數(shù)學(xué)模型的意義

在研究與分析一個(gè)控制系統(tǒng)時(shí)，不僅要定性地了解系統(tǒng)的工作原理及特性，而且還要定量地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)和整定調(diào)節(jié)器的參數(shù)。尤其實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)過程的最優(yōu)控制，不充分掌握數(shù)學(xué)模型，無法最優(yōu)設(shè)計(jì)。指導(dǎo)生產(chǎn)工藝及其設(shè)備的設(shè)計(jì)。

可以確定有關(guān)因素對整個(gè)被控過程的影響，起到指導(dǎo)作用。對被控過程進(jìn)行數(shù)學(xué)模型仿真研究。

可以獲取代表或逼近真實(shí)過程的大量數(shù)據(jù)，為控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和調(diào)試提供大量所需信息，降低設(shè)計(jì)成本和加快設(shè)計(jì)進(jìn)度。這些都離不開數(shù)學(xué)模型。過程數(shù)學(xué)模型的兩種描述形式：

非參量形式和參量形式非參量形式

用曲線或數(shù)據(jù)表格表示。可以通過記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到，有時(shí)也可以通過計(jì)算得到，它的特點(diǎn)是形象、清晰，比較容易看出其定性的特征。但是，由于它們?nèi)狈?shù)學(xué)方程的解析性質(zhì)，要直接利用它來進(jìn)行系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)往往比較困難，必要和可能時(shí)，可以對它們進(jìn)行一定的數(shù)學(xué)處理來得到參量模型的形式。2.1概述參量形式：

當(dāng)數(shù)學(xué)模型是采用數(shù)學(xué)方程式來描述時(shí)，稱為參量模型。參量模型按其討論域可分為時(shí)域模型、復(fù)數(shù)域模型和頻域模型。時(shí)域模型包括微分方程、差分方程等，其特點(diǎn)是具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，不足之處是當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)改變或某個(gè)參數(shù)變化時(shí)，就要重新列寫并求解微分方程。(a)微分方程對于線性連續(xù)的控制系統(tǒng)，通常用常系數(shù)線性微分方程式來描述，如果以r(t)表示輸入量，C(t)表示輸出量，則系統(tǒng)特性可用下列微分方程式來描述：2.1概述

式中及分別為與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。它們與系統(tǒng)的特性有關(guān)，一般需要通過系統(tǒng)的內(nèi)部機(jī)理分析或大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理才能得到。2.1概述(b)傳遞函數(shù)復(fù)數(shù)域模型包括系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖，傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為零初始條件下，輸出量（響應(yīng)函數(shù)）的拉普拉斯變換與輸入量（輸入函數(shù)）的拉普拉斯變換之比。拉普拉斯變換為：2.1概述

傳遞函數(shù)三要素：線性定常系統(tǒng)；零初始條件；輸出與輸入的拉氏變換之比。

零初始條件：輸入及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0-時(shí)刻均為0；輸出及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0-時(shí)刻均為0。形式上記為：2.1概述傳遞函數(shù)的性質(zhì)：1）傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)；2）傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)輸入量形式無關(guān)；3）傳遞函數(shù)與微分方程有相通性，可相互轉(zhuǎn)換；4）傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換。2.1概述傳遞函數(shù)列寫大致步驟：方法一：列寫系統(tǒng)的微分方程；消去中間變量；在零初始條件下取拉氏變換；求輸出與輸入拉氏變換之比；方法二：列寫系統(tǒng)中各元件的微分方程；在零初始條件下求拉氏變換；整理拉氏變換后的方程組，消去中間變量；整理成傳遞函數(shù)的形式；2.1概述(c)頻率特性

頻域模型主要描述系統(tǒng)的頻率特性，應(yīng)用頻率特性在實(shí)際工作中不需要進(jìn)行大量的計(jì)算，就能比較迅速地分析系統(tǒng)中各個(gè)參量對系統(tǒng)性能的影響以及可以直接研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而不必求出系統(tǒng)的特征根。將傳遞函數(shù)中換成，即為頻率特性。因此，如果已知各個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，就不需要逐一推導(dǎo)每個(gè)環(huán)節(jié)的頻率特性，而是以代替求取。反之把頻率特性中換成，就可得到該環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2.1概述建立數(shù)學(xué)模型的方法：物理機(jī)理方法建模

根據(jù)過程的內(nèi)在機(jī)理，運(yùn)用已知的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)的能量（物料）平衡關(guān)系，用數(shù)學(xué)推理的方法建立數(shù)學(xué)模型。實(shí)驗(yàn)辨識（系統(tǒng)辨識和參數(shù)估計(jì)法）

根據(jù)過程輸入、輸出的實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)，通過辨識和參數(shù)估計(jì)建立過程的數(shù)學(xué)模型。混合法

首先通過機(jī)理分析確定過程模型的結(jié)構(gòu)形式，然后利用實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)來確定模型中各參數(shù)的大小。2.1概述2.2采用物理機(jī)理方法建模(1)單容過程的建模

只有一個(gè)存儲容量的過程。自衡單容過程和無自衡單容過程。自衡過程：被控過程在擾動(dòng)作用下，平衡狀態(tài)被破壞后，無需操作人員或儀表的干預(yù)，依靠自身能夠恢復(fù)平衡的過程。無自衡過程：被控過程在擾動(dòng)作用下，平衡狀態(tài)被破壞后，若無操作人員或儀表的干預(yù)，依靠自身能力不能恢復(fù)平衡的過程。自衡過程的階躍響應(yīng)圖無自衡過程的階躍響應(yīng)圖例1：右圖為單容液位過程，液位高度h為被控量，液體體積流量Q1為控制量，閥1的開度控制Q1，由閥2控制Q2。建立該過程的數(shù)學(xué)模型。解:最終求解的數(shù)學(xué)模型是h和Q1的關(guān)系。依據(jù)：動(dòng)態(tài)能量平衡。（指單位時(shí)間內(nèi)流入與流出能量之差等于被控過程內(nèi)能量存儲量的變化量。）

2.2物理機(jī)理方法建模增量形式:動(dòng)態(tài)能量平衡:(1)(2)2.2物理機(jī)理方法建模(3)將（3）式帶入（2）式，可得微分方程：(4)帶有純時(shí)延的單容過程：若以Q0為控制量，閥門1變化后，Q0流經(jīng)長度為L的管道后進(jìn)入貯罐，液位才能變化。Τ0：指純時(shí)延時(shí)間。Q0流經(jīng)為L的管道需要時(shí)間。2.2物理機(jī)理方法建模2.2物理機(jī)理方法建模單容過程的階躍響應(yīng)無時(shí)延的階躍響應(yīng)有時(shí)延階躍響應(yīng)例2

右圖為由電爐和加熱容器組成的溫度過程。容器內(nèi)水溫T1保持恒定，為被控參數(shù)，即輸出量。電爐連續(xù)給水供熱Q1為輸入量（控制參數(shù)）。盛水容器向室內(nèi)散發(fā)熱量Q2，室溫為T2，試建立溫度過程的數(shù)學(xué)模型。2.2物理機(jī)理方法建模（1）2.2物理機(jī)理方法建模散失熱量Q2為：式中，Kr-傳熱系數(shù)，A-面積，T2-室內(nèi)溫度。（2）保溫材料的熱阻：（3）將(2)(3)帶入(1)，用增量表示，微分方程為：(4)2.2物理機(jī)理方法建模檢測儀表數(shù)學(xué)模型

Km(s)=1/(0.1s+1)執(zhí)行器和調(diào)節(jié)閥數(shù)學(xué)模型

Ka(s)=1/(0.1s+1)PID調(diào)節(jié)器的數(shù)學(xué)模型

Wc