第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1．平面的基本性質(zhì) 公理1：如果一條直線上的_______在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)． 公理2：過_________的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面． 公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們________________過該點(diǎn)的公共直線．兩點(diǎn)不共線有且只有一條

1．平面的基本性質(zhì)2．空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言符號語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語言符號語言a，b是異面直線a?α2．空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系平行相交任何相交平行在平面內(nèi)平行相交空間點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系銳角或直角

平行．

相等或互補(bǔ)．

一個(gè)理解兩種方法三個(gè)作用ABCDA1B1C1D1Q平面的基本性質(zhì)

ABCDA1B1C1D1GEF1．證明共面問題的依據(jù)是公理2及其推論，包括線共面，點(diǎn)共面兩種情況，常用方法有：(1)直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面．(2)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．(3)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α、β重合．

2、證明多點(diǎn)共線的方法是利用公理3，只需說明這些點(diǎn)都是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，則必在這兩個(gè)平面的交線上。3、證明三線共點(diǎn)的一般方法，即證明點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，直線是這兩個(gè)平面的交線。

設(shè)A，B，C，D是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確的是________． ①若AC與BD共面，則AD與BC共面； ②若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線； ③若AB＝AC，DB＝DC，則AD＝BC； ④若AB＝AC，DB＝DC，則AD⊥BC. 【思路點(diǎn)撥】

①可用公理進(jìn)行判斷；②可用反證法進(jìn)行判斷；③可利用幾何直觀進(jìn)行判斷；④可由線面垂直，推出線線垂直．空間兩條直線的位置關(guān)系

③【解】

由公理1知，命題①正確．對于②，假設(shè)AD與BC共面，由①正確得AC與BD共面，這與題設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，從而結(jié)論正確．對于③，如圖，當(dāng)AB＝AC，DB＝DC，使二面角A—BC—D的大小變化時(shí)，AD與BC不一定相等，故不正確．對于④，如圖，取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，DE，則由題設(shè)得BC⊥AE，BC⊥DE.根據(jù)線面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE，從而AD⊥BC.1．判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)B的直線是異面直線．(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面．

如圖7－3－4所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為棱D1C1、C1C的中點(diǎn)，求證直線BN與MB1是異面直線。

方法一：定義法方法二：反證法如圖，在三棱錐A－BCD中，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，ABCDEF（1）若AB=CD，AB與CD成300，求EF與AB所成的角；（2）若EF＝7，AC＝10，BD＝6，求異面直線AC與BD所成的角。600150或750

求兩異面直線所成的角，利用中位線平移化成兩相交直線所成的角。異面直線所成的角

若三棱錐A-BCD是正四面體，則EF與AB所成角是多少？1、直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°C2．如圖7－3－7所示是三棱錐D—ABC的三視圖，點(diǎn)O在三個(gè)視圖中都是所在邊的中點(diǎn)，則異面直線DO和AB所成角的余弦值等于()

AACBDO方法一ACBDOB/C/方法二ABDEFGC