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文檔簡(jiǎn)介
高數(shù)賽擬一總
高中學(xué)競(jìng)模擬題一一
試(考試時(shí):80分鐘滿分)一、填空(共8小題,
8
分)1、已知,點(diǎn)
(y)
在直線
x
上移動(dòng)當(dāng)x4
取最小值,點(diǎn)(y)
與原點(diǎn)的離是。、設(shè)
f
為正整數(shù)n(十進(jìn)制)的各數(shù)位上的數(shù)字的平之和,比如f
記
f(nf(),1
k
)f(nk
,k1,2,3...
,則
f
2010
(2010)
。3、如圖,正方體
ABCD1111
中,二面角
BD1
的數(shù)是。4、在
1,2,
,2010
中隨機(jī)選三個(gè)數(shù),能成遞增等差數(shù)的概率是。5、若正數(shù)
a,,c
滿足
abba
,則
ba
的最大值是。6在平面直角坐系中給兩點(diǎn)
M(和(1,4)點(diǎn)P在軸上移動(dòng),MPN取最大值時(shí),P的橫標(biāo)是。7、已知數(shù)列
a
0
,a1
,a
2
,...,
n
...,
滿足關(guān)系
a且0
,則2
ni
1ai
的值是。、函數(shù)
f(x)
xxxsinxcosxxxtanxxxcoscotx
在
x()2
時(shí)的最小值。二、解答(共題,
14分
)9設(shè)數(shù)列
{
n
}
滿足條件
a1
,且a2
n
n
(2,3,n
)求證:對(duì)任何正整數(shù)n,都有:
n
n
n
n3
10、已知曲線
:x
2
2
m
,x
為正常數(shù)直線l與曲線M實(shí)軸不垂,且依次交線x曲線、線于、B、C4
個(gè)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)。(1)若
AB|CD|
,求證:AOD的積為定值(2)若的面積等于AOD面的
13
,求證:
|AB|BCCD|4
11已知、是方
4
txtR)
的兩個(gè)不實(shí)根函數(shù)
f()2x
的定義域
[
.(Ⅰ)求
(t)f(xf(x);(Ⅱ)證:對(duì)于
u(0,i
2
)
(i1,2,3)
,若
sinusinu1
,則
111g(tan)(tanug(tanu)13
6
.5
二
試(考試時(shí):150分鐘一本題50分)如圖,和O12與的三邊所在的三條直線都相切,E,F,,H為切點(diǎn),并且EG、的延長(zhǎng)交于點(diǎn)。求證:直與垂直。
總分:200)PGHA1。2EBCF6
二本題50分)正實(shí)數(shù)
,z
,滿足xyz。證:
55yz55y2z2y
7
f(f()三、(本題50分)對(duì)每個(gè)正整數(shù)平方數(shù))[n不為平方數(shù)){}
n
,定義函數(shù)(其中[]表不超過(guò)x的最大整數(shù){}xx])
試求:
240
fk
的值。8
四本題分)在世界杯足球賽前
F
國(guó)的教練為了考察A,,A,A,,14567
這七名隊(duì),準(zhǔn)備讓他在三場(chǎng)訓(xùn)練比(每場(chǎng)比賽90分中都上場(chǎng),假在比賽的任何刻,這些隊(duì)都有且只有一在場(chǎng)上,并
A,,A13
每人上場(chǎng)總時(shí)間以分鐘為單位)均被7
整除,,AA5
每人上場(chǎng)總時(shí)間(以分鐘為單位均被13整除如果每場(chǎng)換人的數(shù)不限,那么按每名隊(duì)員場(chǎng)的總時(shí)間計(jì),有多少種不的情況?9
35.335.3答案與解一、填空1、。2224
xy
3422
時(shí)取最小,
此時(shí)x
2
y
2
=
354
。、4。
解:將
f(2010)記做,是有5423758從89開(kāi),f是周期為8的周期數(shù)列。故nf
2010
(2010)
2005
)f
5
)(895
。3、o。
解連結(jié)DC,作1
1
,垂足為延長(zhǎng)交于F,則
FEBD
,連結(jié)AE,由對(duì)稱性知
AEBD1
是二面角的平面角ABDA1連結(jié),設(shè)AB,則
2,
D1C1A1FE2,在RABD中11BD1AE2AE在AEC中,AE
A
D
B
C120
0
,而是
的補(bǔ)角,
FEA
0
。4。4018
解:三個(gè)成遞增等差列,設(shè)為
aa,
,按題意必滿足
2010,
d1004
。
對(duì)于給定
可以取L,2010d
.10
bc則bc則故三數(shù)成增等差數(shù)列個(gè)數(shù)為
1004
2d)
*1004.三數(shù)成遞等差數(shù)列的率為
d1005*1004C340182010
。5
174
。
解:由條,有,ab令
x,by
;則
a
y,2
,c
2
,從而原條可化為:yzzyxxy令
,tzt
,解得
t
1172
或t
12
,故
bt17az2461.解經(jīng)過(guò)M,兩點(diǎn)的圓的圓在線段垂直平分線
y上,設(shè)圓為
S()
,則圓的方程為:
)
2
y)
2
2(1
2
對(duì)于定長(zhǎng)弦在優(yōu)弧上對(duì)的圓周角會(huì)著圓的半徑小而角度增大所以,當(dāng)取最大值時(shí),過(guò)
M,
三點(diǎn)的圓S必與x軸相切于點(diǎn)P,即圓的方程中的a值必須滿足2(1)a3)
解得
a
或
a
.即對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P(1,0)和P
,而過(guò)點(diǎn)
MN,
的圓的半徑大于過(guò)
M,
的圓的半,所以
MP'N,故點(diǎn)P所求,所點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為
1.11
nnnnn0nix)nnnnn0nix)7、
13
(2
n
3)
.解:設(shè)
11bn0,1,2,...,則3)(6)18,annn即
3bn
0.nn
111b2(b)333故數(shù)列
13
是公比為2的等比數(shù)列,bn
1111b)3330
n
。nn1nbin2a3iiii
n
、解:1f(x))x
1cosxsinx
(sinxx)
4x)xcottancosxcot(由調(diào)和均值不等式
要使上式號(hào)成立,當(dāng)僅當(dāng)cotx(1)tanxcoscotxsinx(2)(1)(2)得
sinxxcosx
,即得
sinx
。因?yàn)?/p>
x
2
)
,所以當(dāng)
x
4
時(shí),
f(x)f()44
。所以
minfx)
。12
abab二、解答9證明:令
0
,則有
a
,且
1
akaak
kk
(k2,)于是
n
kaakk
kk由算術(shù)-幾何平均值不式,可得
aa2+01Laaann注意到
a01
,可知n
nann
nn
ann
n
,即
A
BPO
A10、解(1)設(shè)直線l:
kx代入x
y
2
m
得:(122得:2m2
,設(shè)
(
,y
)
,
C(2
,則有
x
bk
,
12
m1
,設(shè)
A
3
y
3
)
,
(,)4
,易得:,x1
1
,由
|||
|
,故
||
|x
|
,13
,121122,121122代入得
24(2m)1b()2223
,整理得:
(k
,又
|OA|
b|OD2
|
,
,
S
bm|
為定值.(2)設(shè)BC中點(diǎn)為,中點(diǎn)為
則
xx2
,
2
,所以
xP
Q
,P重合,從而
|DP|
,從而
|CD
,又的面積等于AOD
面積的,以3
|BC|
,從而
AB|CD|
.11、解Ⅰ)設(shè)
x1
x則4x22
tx1
22
tx0,24(t()x()122
12
則
2xfx)f(x)2x22
()x211(x22
又
1t()x(x)xxfx)f(x)1211故
f
在區(qū)間函。1Q4g(t)max(x)minf()f(
f(
(
14
t28tt222t2iii3ii33t28tt222t2iii3ii33
t
2
5251622516(Ⅱ)證)i
216(3)uucosiii2ucos2ui
224166162u169cos2uii
i1,2,3)u)sing)166166iiii
u)iQu且u(0,),i1,2,32i
u)iiii
,而均值不式與柯西不式中,等號(hào)不同時(shí)成立,
11)g(tanuu)(tanu)312二
試一、證明延長(zhǎng)PA交EF于D,則PEG和PHF別是與的線,由梅涅斯定理得:DECGgECGAPDBFAHgPAHB
11L
①②eO1
都是ABC的旁切圓,P15
====1CG(CAAB)BFHF2于是由①②、③得:DEGA
③O
1
G
A
H
O
2AH又RtAGO:Rt1
EBDCF∴
DEGAFDAH
=
AO1AO2而
,O1
三點(diǎn)共線且
OOFEF,2∴
PAx2525二明不等式可形為x552z5
即
xy22y22xy2522z52y
由柯西不式以及可得(
5
2
2
)(yzy
2
2
)
2
xyz
2
2
)
2
(
)
,即同理
x222xy2x22x2zx22y5x2yx2xy2z52yxy2上面三式加并利用xy22xy得x2222x2yxyyzxy2y52yxy216
n22k2k2k2kn22k2k2k2k三、解:對(duì)任
,N
*
,若
k2ak
2
,則
12k
,設(shè)則
1{}
11a
a2kkk[]aa{}
].讓
跑遍區(qū)間(k2(
2
)中的所整數(shù),則k
kk[][],{}ii于是
(na
f(a)ii
i
]
……①下面計(jì)算i
[
2ki
],
畫(huà)一張
k
的表,第i行中,是i行中的位數(shù)處填“*號(hào)則這行“*號(hào)共[]個(gè)全表“*號(hào)ii
2k[]i個(gè);另一面,按列收“*”號(hào)數(shù),第j列中,若jT(j)
個(gè)正因數(shù),則列使有
(j)
個(gè)“”號(hào),故全表*號(hào)個(gè)數(shù)共j
T(j)
個(gè),因此](j).iij示例如下ji
1
3
4
5
61
*
*
*
*
*
*
*
*
*3
*
*17
nn2562{}24025nn2562{}2402545
*6
*則
f()
j
[T(1)
(2)]
(n
1)[T
(4)]
[T
1)
(2n)]iij由此,f(k)Tk(k)]k
……②……③記
a(2k(2),k1,2,
易得
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