版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1第4章微分中值定理
與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用§4.1微分中值定理一、羅爾(Rolle)定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理Page2中值定理應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三節(jié))推廣Page3一、羅爾(Rolle)定理費(fèi)馬(fermat)引理且存在證:
設(shè)則證畢Page4羅爾(Rolle)定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)
f(a)=f(b)使證:故在[a,b]上取得最大值
M
和最小值m.若M=
m,則因此在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)Page5若M>
m,則M和m
中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè)則至少存在一點(diǎn)使注意:1)定理?xiàng)l件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如,則由費(fèi)馬引理得Page6使2)定理?xiàng)l件只是充分的.本定理可推廣為在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)證明提示:
設(shè)證
F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理.Page7例1.證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設(shè)另有為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件,至少存在一點(diǎn)但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)Page8求證存在使例2.設(shè)可導(dǎo),且在連續(xù),證:因此至少存在顯然在上滿足羅爾定理?xiàng)l件,即設(shè)輔助函數(shù)使得Page9二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使思路:利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且證:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)即定理結(jié)論成立.證畢Page10拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論:若函數(shù)在區(qū)間I
上滿足則在
I上必為常數(shù).證:
在
I
上任取兩點(diǎn)日中值公式,得由的任意性知,在
I
上為常數(shù).令則Page11例3.證明等式證:
設(shè)由推論可知(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經(jīng)驗(yàn):欲證時(shí)只需證在
I
上Page12例4.證明不等式證:
設(shè)中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣室虼藨?yīng)有Page13設(shè)證明對(duì)任意有證:例5.不妨設(shè)Page14三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使?jié)M足:要證Page15證:
作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn)思考:
柯西定理的下述證法對(duì)嗎?兩個(gè)
不一定相同錯(cuò)!上面兩式相比即得結(jié)論.Page16柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率Page17例6.設(shè)至少存在一點(diǎn)使證:
結(jié)論可變形為設(shè)則在[0,1]上滿足柯西中值定理?xiàng)l件,因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)
,使即證明Page18例7.試證至少存在一點(diǎn)使證:
法1
用柯西中值定理.則f(x),F(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理?xiàng)l件,令因此即分析:Page19例7.試證至少存在一點(diǎn)使法2令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件,使因此存在Page20內(nèi)容小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的應(yīng)用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵:
利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)費(fèi)馬引理Page21思考與練習(xí)1.填空題1)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件,則中值2)設(shè)有個(gè)根,它們分別在區(qū)間上.方程Page222.
設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點(diǎn)使提示:由結(jié)論可知,只需證即驗(yàn)證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)Page233.
若可導(dǎo),試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有的零點(diǎn).提示:設(shè)欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)驗(yàn)證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.Page244.思考:在即當(dāng)時(shí)問是否可由此得出不能!因?yàn)槭且蕾囉趚
的一個(gè)特殊的函數(shù).因此由上式得表示x
從右側(cè)以任意方式趨于0.應(yīng)用拉格朗日中值定理得上對(duì)函數(shù)Page25費(fèi)馬(1601–1665)法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn).他特別愛好數(shù)論,他提出的費(fèi)馬大定理:1994年由英國數(shù)學(xué)家證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū),費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來的.Page26拉格朗日(1736–1813)法國數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來,數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.Page27柯西(1789–1857)法國數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)校編
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 診所內(nèi)部墻面施工合同
- 科技園區(qū)二手房預(yù)訂協(xié)議樣本
- 石油化工廠給水施工合同
- 劇本殺演員助理招聘合同
- 礦山施工圖設(shè)計(jì)合同
- 工業(yè)用房租賃中止協(xié)議
- 加速建筑行業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)的戰(zhàn)略實(shí)施方案
- 2025牧場租賃合同模板
- 醫(yī)療銷售年工作計(jì)劃
- 可利用廢物回收活動(dòng)總結(jié)
- 【MOOC】融合新聞:通往未來新聞之路-暨南大學(xué) 中國大學(xué)慕課MOOC答案
- JGJT46-2024《施工現(xiàn)場臨時(shí)用電安全技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》條文解讀
- 江蘇省環(huán)保集團(tuán)有限公司招聘筆試題庫2024
- 辦公耗材采購服務(wù)方案(技術(shù)方案)
- 西方思想經(jīng)典導(dǎo)讀智慧樹知到期末考試答案章節(jié)答案2024年湖南師范大學(xué)
- 10KV高壓線防護(hù)施工方案——杉木桿
- 石油鉆井八大系統(tǒng)ppt課件
- 北師大版二年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末考試復(fù)習(xí)計(jì)劃
- 人教PEP版六年級(jí)英語上冊(cè)《Unit4_B_Let’s_learn教學(xué)設(shè)計(jì)》
- 對(duì)標(biāo)管理辦法(共7頁)
- R語言入門教程(超經(jīng)典)
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論