解排列組合應(yīng)用題的21種策略

解排列合用題的策略排列組問題是高考必考題它聯(lián)系實際動有趣但題型多樣思路靈活，易掌握，實證明，握題型和解方法，別模式，熟運用，解決排組合應(yīng)用題有效途；下面就談?wù)勁帕泻蠎?yīng)用題的題策略.1.相問題捆法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當作一個大元素參與排列.例1.,B,C,五人并排站成一排，如果A,必須相鄰且在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有（）A、60種B、48種C、36種D、24種解析A視為一人B固定在的右邊本題相當于4人的全排列，

24種，答案D2.相問題插排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（）A、1440種B、3600種C、4820種D、4800種解析除甲乙外其余5個排列數(shù)為5

種再用甲乙去插6個空位A6

種，不同的排法種數(shù)是A

2

3600種，B3.定問題縮法:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例3.A,C,DE五人并排站成一排，如須站的右邊（A,可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是（）A、24種B、60種C、90種D、120種解析：在A的右邊與B的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是51個元素全排列數(shù)的一半，即2

種，.4.標排位問分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排第1頁共8頁入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成例4.將數(shù)字，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有（）A、6種B、9種C、11種D、23種解析先把1填入方格中符合條件的有種方法第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格又有三種方法第三步填余下的兩個數(shù)字只有一種填法，共有3×3×1=9種填法，選B.5.有分配問逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例5.（1）有甲乙丙三項任務(wù)，甲需人承擔，乙丙各需一人承擔，從人中選出4人承擔這三項任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（）A、1260種B、2025種C、2520種D、5040種解析：先從10中選出2承擔甲項任務(wù)，再從剩下的8人中選人承擔乙項任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔丙項任務(wù)，不同的選法共有C10

C1187

種，.（2）12名同學(xué)分別到三個不同的路口進行流量的調(diào)查，若每個路口人，則不同的分配方案有（）C4C4AC44種B44C種C4A種D、128種3答案：A.6.員分配問分組法例6.（）4優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？解析四名學(xué)生分成3組

種方法把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校種，故共C

2A34

36種方法說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時常用先分組再分配（2）5本不同的書，全部分給4學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）A、480種B、240種C、120種D、96種第2頁共8頁答案：B.7.額分配問隔板法例710個三好學(xué)生名額分到個班級每個班級至少一個名額有多少種不同分配方案？解析：10個名額分到7個班級，就是把個名額看成10個相同的小球分成堆，每堆至少一個，可以在10個小球的個空位中插入6木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案C

84種.8.制條件的配問題類法:例8.某高校從某系的10優(yōu)秀畢業(yè)生中選4分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟開發(fā)建設(shè)其中甲同學(xué)不到銀川乙不到西寧共有多少種不同派遣方案？解析因為甲乙有限制條件所以按照是否含有甲乙來分類有以下四種情況：①若甲乙都不參加，則有派遣方案A種；②若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法然后安排其余學(xué)生有法所以共3③若乙參加而甲不8參加同理也A3種；④若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安8排其余8人到另外兩個城市有A種，共72方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為3A2.889.元問題分法：素多取出的情況也多種可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計數(shù)，最后總計.例9（）由數(shù)字0，，2，3，，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）A、210種B、300種C、464種D、600種解析按題意個位數(shù)字只可能是01234共5種情況分別有5

個，1A3AA1A,13,AA33333

個，合并總計300個,選B.（2）從1，2，?100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法（不計順序）共有多少種？解析取的兩個數(shù)中至少有一個能被7整除時的乘積就能被7整除，將這100個數(shù)組成的集視為全集能被7整除的數(shù)的集合記做第3頁共8頁9814個素,不被7做4,個元素；由此可知，從中任取2元素的取法有2

，從任取一個，又從A中任取一個共有C1

1

，兩種情形共符合要求的取法C14

114

C86

1295種.（3）從1，2，3?100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計順序）有多少種？解析：將I四個不相交的子集，能被4整除的數(shù)集A

；能被除余1數(shù)集B

97

，能被除余2數(shù)C除余3的數(shù)這四個集合中每一個有25個元素；從中任取兩個數(shù)符合要；BD各取一個數(shù)也符合要求C中任取兩個數(shù)也符合要求此外其它取法都不符合要求所以符合要求的取法共C1C種.252510.叉問題合法某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公(B)(A)()(AB).例10.從6名運動員中選出4人參加4×100米接力賽如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？解析：設(shè)全集=｛6人中任取人賽的排列｛甲跑第一棒的排列B=｛乙跑第四棒的排列根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：(I)(((A4A252種11.位問題先法某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。例名老師和4名獲獎學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？解析老師在中間三個位置上選一個有種4名同學(xué)在其余4個位置上有34種方法；所以共有13

4

72種。.12.多排問單排法:元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例12.（）6個不同的元素排成前后兩排，每3個元素，那么不同的排法第4頁共8頁種數(shù)是（）A、36種B、120種C、720種D、1440種解析前后兩排可看成一排的兩段因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共

種，C.（2）8個不同的元素排成前后兩排，每排4個素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？解析：看成一排，某個元素在前半段四個位置中選排2個，A2

種，1個元素排在后半段的四個位置中選一個有

種，其余5個元素任排個位置上有A種，故共有5

2A54

種排法13.至少“多”問用間接排除或分類:例13.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同的取法共有（）A、140種B、80種C、70種D、35種解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共

70種選.C解析2：至少要甲型和乙型電視機各一臺可分兩種情況：甲型臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法C2C112臺,C.414.排問題取后從幾類元素中取出符合題意的幾個元素安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（）四個不同球放入編號為1，，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？解析：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有C種，再排：在四個盒中每次排3個有A3種，故共CA3種444（2）9名乒乓球運動員，其中男5名，4名，現(xiàn)在要進行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？解析取男女運動員各2名

25

24

種四名運動員混和雙打練習(xí)2中排法，故共C2

2

種15.分合條問題除法在選取的總數(shù)中有一部分合條件可以從總第5頁共8頁數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求.例15.（1）以正方體的頂點為頂點的四面體共有（）A、70種B、64種C、58種D、52種解析：正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構(gòu)

四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實際共有4.（2四面體的頂點和各棱中點共點在其中取4個不共面的點不同的取法共有（）A、150種B、147種C、144種D、141種解析：10個點中任取4個點共

種，其中四點共面的有三種情況：①在四面體的四個面上，每面內(nèi)四點共面的情況為C4

，四個面共有

個；②過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個③過棱上三點與對棱中點的三角形共6個.所以四點不共面的情況的種數(shù)4C4.1016.排問題排法:不同元素放在圓無編號位置上的排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合的排法認為是相同的它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而首位末位之分，下列個普通排列：a,,;,,;aa,,a1224

n

在圓排列中只算一種為旋轉(zhuǎn)n!后可以重合，故認為相同個元素的圓排列數(shù)有種.因此可將某個元素固定n展成單排，其它元素全排列例16.5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列4

種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊2種方式不同的安排方24種不同站法.

1說明：個不同元素中取m個元素作圓形排列共有Am

種不同排法.17.重復(fù)的列求法:允許重復(fù)排列問題的特點是以元素為研究對象素不受位置的約束可逐一安排元素的位置一般不同元素排個不同第6頁共8頁位置的排列數(shù)n種法.例17.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)共有多少種不同方法？解析完成此事共分6步第一步將第一名實習(xí)生分配到車間有種不同方案，第二步：將第二名實習(xí)生分配到車間也7種不同方案，依次類推，由分步計數(shù)原理知共7

種不同方案.18.雜排列合問構(gòu)造模法:例18.馬路上有編號為1，，3?九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞也不能關(guān)掉兩端的兩盞求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？解析把此問題當作一個排對模型在盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的C種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有種.5說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題容易解決.19.素個數(shù)少的列組合題可以考慮舉法:例19.設(shè)有編號為1，，，，的五個球和編號為12，，，5的盒子現(xiàn)將這5個球投入5個盒子要求每個盒子放一個球且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方法？解析：從5個球中取出個與盒子對號C

種，還剩下3個球與個盒子序號不能對應(yīng)，利用枚舉法分析，如果剩下，4，5號球與3，4，5號盒子時，3號球不能裝入3號盒子，當3號球裝入4盒子時，4，5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時號球也只有1種裝法以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)C.20.雜的排組合題也可分解與合成:例20.（1）30030能被多少個不同偶數(shù)整除？解析先把30030分解成質(zhì)因