圓錐曲線的弦長與最值

..18圓錐曲線的弦長與最值1.斜率為的直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),則的最大值為 A. B. C. D.2.已知直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),若橢圓的離心率為,焦距為,則線段的長是 A. B. C. D.3.過橢圓的左焦點(diǎn)作直線和橢圓交于,兩點(diǎn),且,則這樣的直線的條數(shù)為 A. B. C. D.4.已知橢圓,左右焦點(diǎn)分別為,,過的直線交橢圓于,兩點(diǎn),若的最大值為,則的值是 A. B. C. D.5.橢圓與直線相交于,兩點(diǎn),,兩點(diǎn)在橢圓上,若四邊形為平行四邊形,則直線的方程為 A. B. C. D.6.拋物線的焦點(diǎn)為,過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線相交于,兩點(diǎn),若,則拋物線的方程為 A. B. C. D.7.設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為,傾斜角為鈍角的直線過且與交于,兩點(diǎn),若,則的斜率為 A. B. C. D.8.已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),則直線與拋物線相交弦的弦長為 A. B. C. D.9.已知拋物線,過焦點(diǎn)作直線與拋物線交于點(diǎn),〔點(diǎn)在軸下方,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱,若直線斜率為,則直線的斜率為 A. B. C. D.10.已知為拋物線的焦點(diǎn),過作兩條互相垂直的直線,,直線與交于,兩點(diǎn),直線與交于,兩點(diǎn),則的最小值為 A. B. C. D.11.已知,分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓的離心率,直線通過點(diǎn),且傾斜角是．〔1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2若直線與橢圓交于,兩點(diǎn),求的面積．12.已知的兩個(gè)頂點(diǎn)為,,周長為．〔1求頂點(diǎn)的軌跡方程；〔2若直線與點(diǎn)的軌跡交于,兩點(diǎn),求的面積．13.已知橢圓的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,且該三角形的面積為．〔1求橢圓的方程；〔2設(shè),是橢圓的左右焦點(diǎn),若橢圓的一個(gè)內(nèi)接平行四邊形的一組對邊過點(diǎn)和,求這個(gè)平行四邊形面積的最大值．14.已知點(diǎn),橢圓的離心率為,是橢圓的右焦點(diǎn),直線的斜率為,是坐標(biāo)原點(diǎn)．〔1求的方程；〔2設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于,兩點(diǎn),當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí),求直線的方程．15.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),,是它的兩個(gè)頂點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn),與橢圓相交于,兩點(diǎn)．〔1若,求的值；〔2求四邊形面積的最大值．16.在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓：〔的右焦點(diǎn)在直線：上,且橢圓的離心率為．〔1求橢圓的方程；〔2設(shè)與相交于,兩點(diǎn),點(diǎn),在上．若四邊形的對角線,求四邊形面積的最大值．17.設(shè),分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．〔1若是該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn),求的最大值和最小值；〔2設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,且為銳角〔其中為坐標(biāo)原點(diǎn),求直線的斜率的取值范圍．18.已知橢圓〔的左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,橢圓的離心率為,過點(diǎn)〔作斜率不為的直線,交橢圓于,兩點(diǎn),點(diǎn),且為定值．〔1求橢圓的方程；〔2求面積的最大值．19.已知斜率為的直線與拋物線相交于,兩點(diǎn),如果線段的長等于,求直線的方程．20.已知圓過定點(diǎn),且與直線相切,圓心的軌跡為,曲線與直線相交于,兩點(diǎn)．〔1求曲線的方程；〔2當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí),求的值．21.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線交軸于點(diǎn),過作直線交拋物線于,兩點(diǎn),且．〔1求直線的斜率；〔2若的面積為,求拋物線的方程．22.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),若點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離．〔1求拋物線的方程；〔2設(shè)過點(diǎn)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為點(diǎn),且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求的值．23.如圖,已知拋物線,過點(diǎn)作斜率分別為,的兩條直線,與拋物線相交于點(diǎn),和,,且,分別是,的中點(diǎn)．〔1若,,求線段的長；〔2若,求面積的最小值．24.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)；拋物線的焦點(diǎn)在軸上,頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)．在,上各取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于表格中：〔1求,的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2已知定點(diǎn),為拋物線上一動點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓于,兩點(diǎn),求面積的最大值．25.如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),且拋物線上點(diǎn)處的切線與圓相切于點(diǎn)．〔1當(dāng)直線的方程為時(shí),求拋物線的方程；〔2當(dāng)正數(shù)變化時(shí),記,分別為,的面積,求的最小值．18圓錐曲線的弦長與最值答案第一部分1.C [解析]設(shè),兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,直線的方程為,由消去,得,則,．所以當(dāng)時(shí),．2.B [解析]由已知,,,所以,,橢圓方程為．聯(lián)系直線方程與橢圓方程得所以．3.B [解析]提示：橢圓的焦點(diǎn)弦中,最短的是通經(jīng)〔過焦點(diǎn)與長軸垂直的弦長,最長的是長軸．4.D [解析]由橢圓的定義得,,所以,因?yàn)榈淖畲笾禐?所以的最小值為,當(dāng)直線與軸垂直的時(shí)候,最小,所以此時(shí),代入橢圓方程解得．5.B 6.D [解析]由題意可知過焦點(diǎn)的直線方程為,聯(lián)立拋物線方程整理可得,所以,,所以,又求得,所以拋物線的方程為．7.D [解析]由,得,設(shè)所在直線方程為,聯(lián)立,得．設(shè),,則,因?yàn)?所以,因?yàn)閮A斜角為鈍角,所以．8.B 9.C 10.A [解析]如圖,,直線與交于,兩點(diǎn),直線與交于,兩點(diǎn),要使最小,則與,與關(guān)于軸對稱,即直線的斜率為,又直線過點(diǎn),則直線的方程為,聯(lián)立方程組則,所以,所以,所以的最小值為．方法二：設(shè)直線的傾斜角為,則的傾斜角為,根據(jù)焦點(diǎn)弦長公式可得,．所以．因?yàn)椋?所以當(dāng)時(shí),最小,最小值為．第二部分11.〔1由已知得,,又,解得：,,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．

〔2由〔知,,直線的斜率為,所以直線的方程為：,聯(lián)立得,解得,,所以,點(diǎn)到直線的距離為：,所以．12.〔1由題意,得,根據(jù)橢圓定義,知頂點(diǎn)在以,為焦點(diǎn),長軸長為的橢圓上,所以頂點(diǎn)的軌跡方程為．

〔2設(shè),,則,的坐標(biāo)是方程組的解,解得或所以,,所以,又點(diǎn)到直線的距離為,所以的面積為．13.〔1設(shè)橢圓的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,由題意知,,由勾股定理可知,,即,則,所以,所以,所以,所以,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

〔2設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),連接,．則整理得：,由韋達(dá)定理,得：,,所以,所以,橢圓的內(nèi)接平行四邊形面積為,令,則,注意到在上單調(diào)遞減,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立．故這個(gè)平行四邊形面積的最大值為．14.〔1設(shè),由條件知,得,又,所以,,故的方程為：．

〔2當(dāng)軸時(shí),不合題意,故設(shè),,,聯(lián)立得．當(dāng),即時(shí),,．從而．又點(diǎn)到直線的距離．所以的面積為,設(shè),則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取""．所以,即時(shí)等號成立,且滿足,所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí),的方程為或．15.〔1由題設(shè)條件可得,橢圓的方程為,直線的方程為．設(shè),,,其中,由得,解得由,得,所以．由是上,得,所以．所以,化簡,得,解得,或．

〔2根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和式可知,點(diǎn),到的距離分別為,,又,所以四邊形的面積為當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號成立．故四邊形面積的最大值為．16.〔1在直線中,令,得．由題意,右焦點(diǎn),即．又,則,又,則．所以橢圓的方程為．

〔2由解得或因此．由題意可設(shè)：〔．設(shè),．由得．于是,．所以．由已知,四邊形的面積,當(dāng)時(shí),,所以四邊形面積的最大值為．17.〔1易知,,,所以,,設(shè),則因?yàn)?故當(dāng),即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),有最小值；當(dāng),即點(diǎn)為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí),有最大值．

〔2顯然直線不滿足題設(shè)條件,可設(shè)直線,,,聯(lián)立消去,整理得,所以由得所以又因?yàn)?即,所以故由①,②得18.〔1設(shè),因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,且橢圓的左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,所以,又橢圓的離心率為,得,于是有．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．

〔2設(shè),,直線的方程為：,由整理得．,,,,要使為定值,則,解得或〔舍,當(dāng)時(shí),,點(diǎn)到直線的距離,面積．所以當(dāng),面積的最大值為．19.設(shè)的方程為,有消去并整理,得．設(shè),,則,．因?yàn)?所以．即,解得．從而的方程為．即．20.〔1設(shè)圓心的坐標(biāo)為,由題意,知圓心到定點(diǎn)和直線的距離相等,故圓心的軌跡的方程為．

〔2由方程組消去,并整理得．設(shè),,則,．設(shè)直線與軸交于點(diǎn),則．所以因?yàn)?所以,解得．經(jīng)檢驗(yàn),均符合題意,所以．21.〔1過,兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,易知,,因?yàn)?所以,所以為的中點(diǎn),又是的中點(diǎn),所以是的中位線,所以,而,所以,所以,,所以,而,所以；

〔2因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),是的中點(diǎn),所以,所以,所以,所以拋物線的方程為．22.〔1由拋物線定義知,拋物線的準(zhǔn)線方程為．因?yàn)閽佄锞€方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,所以,即,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．

〔2設(shè)直線或〔舍去,,,解方程組消去,得,由題意,得,．因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,解得,驗(yàn)證知成立．所以,,,,所以．23.〔1設(shè),,不妨設(shè),則設(shè)直線的方程為,代入,可得,所以,,因?yàn)?所以,所以,．所以,因?yàn)?所以線段和關(guān)于軸對稱,所以線段的長為．

〔2因?yàn)?所以兩直線互相垂直,設(shè),則,將代入,得,則,,所以．同理,所以,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,所以面積的最小值為．24.〔1設(shè),由題意知,點(diǎn)一定在橢圓上,則點(diǎn)也在橢圓上,分別將其代入,得,,解得,,所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．設(shè),依題意知,點(diǎn)在拋物線上,代入拋物線的方程,得,所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

〔2設(shè),,,由知,故直線的