高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

第第頁(yè)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）題號(hào)一二三四總分得分一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）已知集合，則(

)A. B. C. D.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則可以為(

)A. B. C. D.已知，為兩個(gè)隨機(jī)事件，，，則“，相互獨(dú)立”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且，則實(shí)數(shù)的值為A. B. C. D.已知函數(shù)的部分圖象如圖，，則(

)A.

B.

C.

D.已知的展開(kāi)式只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，設(shè)，若，則(

)A. B. C. D.給出下列命題，其中真命題為(

)A.，

B.，；

C.，，

D.是的充要條件已知函數(shù)，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，當(dāng)取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值為(

)A. B. C. D.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）某地為響應(yīng)“扶貧必扶智，扶智就扶知識(shí)、扶技術(shù)、扶方法”的號(hào)召，建立農(nóng)業(yè)科技圖書(shū)館，供農(nóng)民免費(fèi)借閱，集了近年的借閱數(shù)據(jù)如下表：

年份年份代碼年借閱量萬(wàn)冊(cè)

根據(jù)上表，可得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則(

)A.

B.借閱量，，，，的上四分位數(shù)為

C.與的線性相關(guān)系數(shù)

D.年的借閱量一定不少于萬(wàn)冊(cè)下列結(jié)論正確的有(

)A.若，則

B.若，則

C.若，則

D.若，則已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則(

)A.函數(shù)

B.函數(shù)的周期為

C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

D.函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是直線已知奇函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，若在上單調(diào)遞增，則(

)A.在上單調(diào)遞減 B.

C. D.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）設(shè)，若，則

．某商場(chǎng)安排甲乙兩名員工，在門口為沒(méi)隨身攜帶口罩的顧客發(fā)放口罩．昨天，兩人共領(lǐng)到編號(hào)的個(gè)口罩，每人個(gè)，放在盒子里，自上而下依次發(fā)放，且甲乙二人發(fā)放是隨機(jī)的．若個(gè)口罩恰好發(fā)完，則不同的發(fā)放順序有

種．若函數(shù)和的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是

．如圖，在扇形中，，，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)且不與點(diǎn)，重合，于，于點(diǎn)，則四邊形面積的最大值為

．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）本小題分在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，．

求的值

求的面積．

本小題分目前，教師職業(yè)越來(lái)越受青睞，考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一當(dāng)前，中小學(xué)教師資格考試分筆試和面試兩部分已知某市年共有名考生參加了中小學(xué)教師資格考試的筆試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取人的筆試成績(jī)滿分分作為樣本，整理得到如下頻數(shù)分布表：

筆試成績(jī)?nèi)藬?shù)

由頻數(shù)分布表可認(rèn)為該市全體考生的筆試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中，近似為名樣本考生筆試成績(jī)的平均值同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替．

若，據(jù)此估計(jì)該市全體考生中筆試成績(jī)高于的人數(shù)結(jié)果四舍五入精確到個(gè)位

按照比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從筆試成績(jī)?yōu)楹偷目忌须S機(jī)抽取了人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人，記成績(jī)不低于分的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和均值．

參考數(shù)據(jù)：若∽，則，，

．本小題分已知數(shù)列中，，

求證：數(shù)列為等比數(shù)列

設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得的正整數(shù)的最小值．本小題分在斜三棱柱中，為等腰直角三角形，，側(cè)面為菱形，且，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，平面平面C.

證明：平面平面

求平面與平面的夾角的余弦值．

本小題分設(shè)橢圓，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在橢圓下外，且．

求橢圓的方程

若，點(diǎn)為橢圓上橫坐標(biāo)大于的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，并與直線，交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記，的面積分別為，，求的最小值．

本小題分已知函數(shù)．

討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

記較大的零點(diǎn)為，求證：．答案和解析1.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查集合運(yùn)算的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是知道并集的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題．

直接根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可求解．【解答】解：

集合，，

，

故選D．

2.【答案】

【解析】【分析】本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，

所以，，的終邊在第四象限，

則，

則．

故選D．

3.【答案】

【解析】【分析】本題考查了獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系與充要條件及其判斷，屬于基礎(chǔ)題?！窘獯稹拷猓撼浞中宰C明：若，相互獨(dú)立，則，，故充分性成立；

必要性證明：若，化簡(jiǎn)得，故必要性也成立

4.【答案】

【解析】【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題．

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可．【解答】解：由函數(shù)，可得，且，

則，

則實(shí)數(shù)的值為．

故選D．

5.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查根據(jù)三角函數(shù)的部分圖像求解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)．【解答】解：由圖可知，，則，

又，，

由圖可知，所以，所以，

所以，

因?yàn)?，所以?/p>

令，解得：

關(guān)于對(duì)稱，則，則，

則．

6.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用考查賦值法，屬于基礎(chǔ)題．

由題意得，，，，再令，令，即可得到結(jié)果．【解答】解：由題意得，，，，

，

令，得，

令，得，．

故選C．

7.【答案】

【解析】【分析】

本題主要考查全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷，考查充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷；利用當(dāng)時(shí)不等式成立判斷；利用當(dāng)時(shí)，不等式不成立判斷；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷．

【解答】

解：對(duì)于選項(xiàng)A，，所以該命題是假命題；

對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，所以該命題是假命題；

對(duì)于選項(xiàng)C當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，所以該命題是假命題；

對(duì)于選項(xiàng)D．時(shí)，時(shí)，

所以是的充要條件，所以該命題是真命題．

8.【答案】

【解析】【分析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值與最值．【解答】解：

由題意可知是方程的兩根，所以．

則，

令，

所以，

因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，

所以取最小值時(shí)，取最小值，

令，，

令，

所以在上單調(diào)遞增，又且，

所以在內(nèi)存在唯一的根，則，

即，即，

所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，所以，

所以取最小值，即取最小值時(shí)，．

9.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查回歸直線方程和相關(guān)系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，對(duì)各選項(xiàng)逐項(xiàng)判斷即可得解．【解答】解：把代入，可得，所以A正確；

由百分位數(shù)的定義知，，，，，的上四分位數(shù)為，所以B正確；

因?yàn)?，所以與正相關(guān)，所以，所以C正確；

把代入得，然而萬(wàn)冊(cè)是預(yù)測(cè)值，不是精確值，所以D錯(cuò)誤．

10.【答案】

【解析】【分析】本題考查了不等式性質(zhì)，涉及指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：由可得，即，而是增函數(shù)，所以成立，故A正確

由，可得，故，所以不成立，如，，故B錯(cuò)誤

當(dāng)，時(shí)，滿足，，故不成立，故C錯(cuò)誤

由可知，所以，

而在上單調(diào)遞增，所以，故D正確．

11.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，三角函數(shù)的周期性，單調(diào)性和對(duì)稱性．【解答】解：若將的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，

得到函數(shù)，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)故A正確，

最小正周期為：，故B正確，

當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)，故C正確，

當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤．

12.【答案】

【解析】【分析】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)中的單調(diào)性問(wèn)題，屬于較難題．

舉反例，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，可判斷根據(jù)函數(shù)的奇偶性易得，可判斷選項(xiàng)B；將條件轉(zhuǎn)化為，賦值，，，即可判斷選項(xiàng)C；因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因此有：，賦值，，即可判斷．【解答】解：當(dāng)時(shí)，滿足題目中的條件，但在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤．

因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，取得，故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ?/p>

將中的換成，可得：．

所以有．

取得：，所以．

取得：，所以．

，所以，故選項(xiàng)C正確；

由可得：，即．

取得：．

將中的換成，可得．

因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因此有：．

取得：，可得；

取得：，可得；，所以，故選項(xiàng)D正確．

故選BCD．

13.【答案】

【解析】【分析】本題考查了指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：正實(shí)數(shù)滿足，

則，

，

，，

則．

故答案為：．

14.【答案】

【解析】【分析】本題考查了排列組合的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．

先將個(gè)口罩均勻分成兩組，然后分給甲乙兩個(gè)人，自上而下依次發(fā)放，故順序固定，注意甲乙兩個(gè)的個(gè)口罩不一樣，所以需要進(jìn)行排列?！窘獯稹拷庀葘€(gè)口罩均勻分成兩組，然后分給甲乙兩個(gè)人，自上而下依次發(fā)放，故順序固定，

故共有種，

故答案為．

15.【答案】

【解析】【分析】解：的導(dǎo)數(shù)為，

的導(dǎo)數(shù)為，

設(shè)，則，

，即，化簡(jiǎn)得

，

聯(lián)立消得，，

令，

可得在上單調(diào)遞增，又

在上有唯一零點(diǎn)，

方程有唯一解，即，

則，．

故，切線的斜率為，切線的方程為．

故答案為：【解答】本題考查了切線方程的求法，屬于中檔題。

16.【答案】

【解析】【分析】本題考查了三角恒等變換，屬于中檔題．【解答】解：因?yàn)?，，，?/p>

所以，，，

則四邊形的面積為

，

當(dāng)，即時(shí)，四邊形的面積取到最大值．

17.【答案】解：由正弦定理知，

又，所以，

所以，所以．

由知，

，

記的面積為因?yàn)椋?/p>

所以

．

故的面積為．

【解析】本題主要考查了三角恒等變換，正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式．

18.【答案】解：由題意，，

此時(shí)，故，

所以該市全體考生中筆試成績(jī)高于的人數(shù)約為人．

進(jìn)入面試的考生中筆試成績(jī)位于、的人數(shù)之比為，則抽取的人中成績(jī)不低于分的人數(shù)為，所以隨機(jī)變量的取值為，，．

，，，

所以的分布列為

所以．

【解析】本題主要考查正態(tài)分布曲線及其性質(zhì)，屬于中檔題．

依據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得計(jì)算出，根據(jù)，由估計(jì)該市全體考生中筆試成績(jī)高于的人數(shù)，再根據(jù)題意計(jì)算的分布列即可。

19.【答案】解：由得，

所以，

因?yàn)?，則是公比為的等比數(shù)列．

由得．

所以，

所以．

所以，因?yàn)榕c互素，所以．

因?yàn)?/p>

，

所以正整數(shù)的最小值為．

【解析】本題考查了等比數(shù)列的判斷，數(shù)列的綜合應(yīng)用問(wèn)題，屬于中檔題．

20.【答案】解：證明：分別取，的中點(diǎn)和，連接，，，

因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，且，

因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以，且，

所以，且，

所以四邊形是平行四邊形，所以．

因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，

又平面平面，且平面平面，

所以平面，所以平面，

因?yàn)槠矫?，所以平面平面?/p>

因?yàn)閭?cè)面為菱形，且，所以為正三角形，所以，

由知平面平面，所以，，兩兩垂直設(shè)，則．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則，，，，

所以，，，

設(shè)平面的法向量為，

則令，得．

設(shè)平面的法向量為，

則令，得，

則，，

所以平面與平面的夾角的余弦值為．

【解析】本題主要考查直線與平面垂直，平面與平面垂直二面角的平面角的向量求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力．

21.【答案】解：因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓外，且，所以，即，

由解得，，所以橢圓的方程為．

解法一：設(shè)點(diǎn)，，并設(shè)直線．

將直線代入方程得，即，

因?yàn)橹本€與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以，即．

直線的方程為直線的方程為，

聯(lián)立方程得，同理得，

所以．

所以，，

所以

，

令，則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．

故當(dāng)時(shí)，取得最小值．

解法二：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立得，

因?yàn)橹本€與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以，即．

由題意得直線，的直線方程分別為，，設(shè)，

由得，同理得，

所以，

又當(dāng)直線斜率不存在時(shí)也滿足．

所以

同理可得，

又因?yàn)?，由?duì)稱性不妨設(shè)，則，

設(shè)，則，，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值．

解法三：設(shè)點(diǎn)，，則直線，與軸的交點(diǎn)為，

由于直線，，

聯(lián)立方程得，

聯(lián)立方程

則

，

同理：

，

由此，，所以，其中

所以

．

【解析】本題考查了直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于難題。

22.【答案】解：的定義域?yàn)?，?/p>

，

令，則，所以單調(diào)遞減．

因?yàn)椋?，由此可得存在唯一，使得?/p>

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，

又，所以存在，使得．

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

因?yàn)?/p>