連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

第八節(jié)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性小結(jié)思考題作業(yè)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第二章極限與連續(xù)1定理1如,則由于在其定義域內(nèi)連續(xù).

在x0點(diǎn)也連續(xù).一連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(函數(shù)和差積商的連續(xù)性)2如,

結(jié)論:

反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)定理2故同理,單調(diào)增加且連續(xù),單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).也是單調(diào)增加且連續(xù).單調(diào)減少且連續(xù).單調(diào)增加且連續(xù).單調(diào)減少且連續(xù).(反函數(shù)的連續(xù)性)3定理3(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.

設(shè)函數(shù)即且即則復(fù)合函數(shù)4定理4基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理5一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.二、初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)包含在定義域內(nèi)的區(qū)間51.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),如,注

在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);2.初等函數(shù)求極限的方法注

代入法.在x=0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.6例例解解7定義設(shè)f(x)在區(qū)間I上有定義,使得當(dāng)恒有若存在點(diǎn)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值,記為則稱(大)三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)8在閉區(qū)間上連續(xù)的注

(1)定理1中的條件“閉區(qū)間”和“連續(xù)性”定理4(最大值和最小值定理)函數(shù)一定有最大值和最小值.是不可少的.9在開區(qū)間(0,1)無最大值,如:(1)函數(shù)無最大值,無最小值.無最小值.有間斷點(diǎn)(2)函數(shù)10證由定理4(最值定理),定理5(有界性定理)有取則有11的零點(diǎn).定理6(零點(diǎn)定理)使得幾何意義:如圖所示.12幾何意義:之間的任何值(不會(huì)有任何遺漏).推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值至少有一個(gè)交點(diǎn).13例證由零點(diǎn)定理,注閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)常用于:證明某些等式或判斷某些方程根的存在性.14作業(yè)習(xí)題2.8(66頁)

1.2.(1)

4.5.7.提示15四、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性;復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性:初等函數(shù)的連續(xù)性:求極限的又一種方法.兩個(gè)定理;兩點(diǎn)意義.反函數(shù)的連續(xù)性;定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;注意條件

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