流體力學(xué)基本方程組數(shù)學(xué)性質(zhì)及其分類

計(jì)算力學(xué)基礎(chǔ)第二章有限差分方法2.1流體力學(xué)基本方程組數(shù)學(xué)性質(zhì)及其分類2.1.1流體力學(xué)問題的物理分類在研究流體力學(xué)方程組數(shù)學(xué)性質(zhì)和分類之前，首先需要從物理角度來了解流體力學(xué)的基本問題。流體力學(xué)中流體流動(dòng)是非常復(fù)雜的，存在各種各樣的流動(dòng)問題，在分析流體力學(xué)各種流體流動(dòng)問題后，可以發(fā)現(xiàn)流體流動(dòng)大體上有兩大類物理問題：發(fā)展問題和平衡問題。發(fā)展問題是指一類瞬態(tài)的，和時(shí)間有關(guān)的，并隨時(shí)間變化的流體流動(dòng)問題。例如，瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題，非定常流體流動(dòng)和波傳播問題等。這類問題的基本方程（組）是雙曲型方程（組）或拋物型方程（組）。雙曲型方程（組）所控制的問題一般描述和時(shí)間有關(guān)的，不存在耗散效應(yīng)流體流動(dòng)和波傳播問題中。在這類問題中必須給出初始條件和t＞0時(shí)整個(gè)邊界上的邊界條件，因此，也把雙曲型方程（組）所控制的問題也稱為初邊值問題。流動(dòng)內(nèi)部允許存在間斷是雙曲型方程（組）最明顯的特點(diǎn)，例如，流體流動(dòng)中激波間斷。正因?yàn)榱鲃?dòng)內(nèi)部允許存在間斷，雙曲型方程（組）所控制的問題有一套獨(dú)特的數(shù)值算法。(1)發(fā)展問題拋物型方程（組）所控制的問題一般描述和時(shí)間有關(guān)的，伴隨著明顯耗散效應(yīng)流動(dòng)問題。例如，非定常粘性流動(dòng)、非定常熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散問題，在這類問題中一般必須給出初始條件和t＞0時(shí)整個(gè)邊界上的邊界條件，因此，也把拋物型方程（組）所控制的問題也稱為初邊值問題。在求解區(qū)域內(nèi)（即0＜x＜L和t＞0）某一點(diǎn)（）的擾動(dòng)只能影響以后的事件，而且，在時(shí)，解是隨著時(shí)間變化，并在空間擴(kuò)散，由于存在耗散效應(yīng)，保證求解區(qū)域內(nèi)解在時(shí)間總是光滑的，即使初始條件存在間斷。在這里特別要指出的是，并不是所有的發(fā)展問題都是非定常的。我們將會(huì)看到在某些定常問題中也可能由雙曲型方程（組）和拋物型方程（組）描述。(1)發(fā)展問題(2)平衡問題平衡問題是指一類定常態(tài)的，和時(shí)間無(wú)關(guān)的流體流動(dòng)問題，例如，各種粘性和無(wú)粘性定常流動(dòng)和熱傳導(dǎo)，或其他定常態(tài)問題。這類問題基本方程（組）是由橢圓型方程（組），最典型的橢圓型方程是拉普拉斯（Laplace）方程或泊松（Poisson）方程。在這類問題中一般只要給出t＞0時(shí)所有邊界上的邊界條件，就能求出橢圓型方程的解，而且解是唯一的，因此，也把橢圓型方程（組）所控制的問題也稱為邊值問題。在數(shù)值求解橢圓型方程（組）時(shí)，某一點(diǎn)的值和求解區(qū)域內(nèi)所有相鄰的點(diǎn)的值有關(guān)。同時(shí)即使在邊界上有間斷，橢圓型方程（組）的解在整個(gè)求解區(qū)域內(nèi)總是光滑的。2.1.2偏微分方程數(shù)學(xué)性質(zhì)和分類的意義

在數(shù)學(xué)上偏微分方程一般劃分為雙曲型、拋物型和橢圓型三種類型。不同類型方程所描述的流體流動(dòng)主要特征與物理背景都是很不一樣的，它們的數(shù)學(xué)性質(zhì)、定解條件提法和數(shù)值算法也是大相徑庭。一、二階線性微分方程的分類式中均不是等的函數(shù)。當(dāng)時(shí)，是雙曲型方程；當(dāng)時(shí)，是拋物型方程；當(dāng)時(shí)，是橢圓型方程。二、三種類型方程數(shù)學(xué)性質(zhì)的基本差別(1)三種類型偏微分方程的適定性要求對(duì)定解條件的提法不同。橢圓型方程：它的定解條件是第一類邊值條件（條件）：其中D

是邊界為的有界區(qū)域。如果把這個(gè)邊界條件作為方程的定解條件，則方程是適定的，即解存在、唯一且穩(wěn)定。雙曲型方程或拋物型方程或

它的定解條件必須既有初始條件，又有邊界條件。因此，把初邊值條件作為雙曲型方程或拋物型方程的定解條件是適定的。

二、三種類型方程數(shù)學(xué)性質(zhì)的基本差別(2)三種類型方程的解的光滑性是不同的，對(duì)它們的定解條件光滑性要求也不一樣。一般說來，橢圓型、拋物型方程解是充分光滑的，對(duì)定解條件光滑性要求不高；而雙曲型方程解可能出現(xiàn)弱解（流場(chǎng)中存在間斷，例如激波），雙曲型方程對(duì)定解條件光滑性要求較高。(3)三種類型方程的影響區(qū)和依賴區(qū)不同雙曲型方程和拋物型方程解的影響區(qū)是有界的。例如，在求解雙曲型方程時(shí)，為了和影響區(qū)特征一致，采用迎風(fēng)差分格式比較合理；而橢圓型方程解影響范圍遍及全流場(chǎng)，采用中心差分格式計(jì)算效果較好。二、三種類型方程數(shù)學(xué)性質(zhì)的基本差別一階擬線性偏微分方程組：式中和為n階列矢量。A,B為n×n矩陣。特征方程為是A,B矩陣中各對(duì)應(yīng)元素，為特征方程的系數(shù)。可解得特征根為：為n個(gè)相異實(shí)根雙曲型方程為n個(gè)重實(shí)根拋物型方程為n個(gè)虛根或復(fù)數(shù)根橢圓型方程若在n個(gè)特征根中有若干相異實(shí)根，若干重根，則是雙曲－拋物型方程組，方程組整體上屬于拋物型的若在n個(gè)特征根中有若干復(fù)數(shù)根，若干重根，則是拋物－橢圓型方程組，方程組整體上屬于橢圓型的

三、偏微分方程組的數(shù)學(xué)分類2.1.3模型方程及其數(shù)學(xué)性質(zhì)流體力學(xué)的基本方程是復(fù)雜的非線性方程組。這些方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)，如解的存在性、唯一性、數(shù)學(xué)提法的適定性等都還在研究中，且很難找到一般情況下方程的解析解或精確解，所以需要分析計(jì)算方法的一些基本特征，如方法的精度、收斂性、穩(wěn)定性以及數(shù)值解誤差特征等，且通過對(duì)模型方程的試算結(jié)果與其精確解進(jìn)行比較，驗(yàn)證計(jì)算方法的可靠性，進(jìn)一步改進(jìn)計(jì)算方法。2.1.3模型方程及其數(shù)學(xué)性質(zhì)線性模型方程單波方程（對(duì)流方程）（雙曲型）熱傳導(dǎo)方程（擴(kuò)散方程）（拋物型）線性Burgers方程（對(duì)流—擴(kuò)散方程）（雙曲—拋物型）Laplace

方程的邊值問題（橢圓型）非線性Burgers方程（雙曲—拋物型）一般來說，模型方程具有以下一些特點(diǎn)：２)模型方程自變量數(shù)目較少（只有一個(gè)空間自變量，即一維問題）１)模型方程未知量數(shù)目要求少（一般只含有一個(gè)未知量）３)模型方程最好是線性的（也可以是簡(jiǎn)單非線性模型方程）４)模型方程能較好的反映流動(dòng)的基本特征５)模型方程能找到解析解，可以和數(shù)值解進(jìn)行比較一、線性模型方程(1)單波方程（對(duì)流方程）（雙曲型）定解域：。c為常數(shù)，為給定的初值。擾動(dòng)傳播示意圖在（x,t）平面上引進(jìn)斜率為的直線族：。沿此直線族，擾動(dòng)波的幅值不隨時(shí)間而改變，傳播速度為c。該直線族也就是特征線。若初始條件是一個(gè)給定的三角形，則在時(shí)刻仍為此三角形，只是以速度c向前傳播了一段距離。當(dāng)c>0時(shí)，沿x的正向傳播，當(dāng)c<0時(shí)，沿負(fù)向傳播，而波形保持不變。擾動(dòng)以有限速度傳播是雙曲方程解的一重要特征。一、線性模型方程(2)熱傳導(dǎo)方程（擴(kuò)散方程）（拋物型）精確解：上述解隨著時(shí)間t的推移，初始擾動(dòng)波傳播逐漸被平滑，這種物理問題的擴(kuò)散過程與熱傳導(dǎo)中溫度均勻化過程相類似。不管初始分布如何集中，總是在瞬間影響于無(wú)窮遠(yuǎn)，它總是以無(wú)限速度傳播的，這是拋物型方程解的特征。（a）波動(dòng)方程（b）熱傳導(dǎo)方程（c）線性Burgers方程一、線性模型方程(3)

線性Burgers方程（對(duì)流－擴(kuò)散方程）（雙曲－拋物型）精確解：從圖（c）中可以看出，隨著時(shí)間的推移，該解的演變表現(xiàn)了擴(kuò)散與對(duì)流相耦合的物理過程，擾動(dòng)波以速度c傳播，但是由于擴(kuò)散作用，它不能保持波陣面。一、線性模型方程(4)Laplace

方程的邊值問題（橢圓型）a)Dirichlet問題b)Neumann問題c)Robin問題更為一般的是Poisson方程：由于這種方程描述穩(wěn)恒問題，因此沒有初值問題，但有邊值問題。二、非線性Burgers方程（雙曲—拋物型）該方程是一維非線性對(duì)流—擴(kuò)散方程，是N－S方程的一個(gè)較好的模型，空間一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)模擬N－S方程中的非線性對(duì)流項(xiàng)，方程右端二階