連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

第一章函數(shù)與極限（五）第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點x0連續(xù)則函數(shù)在點x0也連續(xù)第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性證明：乘積的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2反函數(shù)的連續(xù)性（單調(diào)減少）（單調(diào)減少）......定理3設(shè)函數(shù)yf[g(x)]由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成

二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性證明：因為例1

求極限解：例2

求極限解：設(shè)函數(shù)yf[g(x)]由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成U(x0)Dfog若函數(shù)ug(x)在點x0連續(xù)函數(shù)yf(u)在點u0g(x0)連續(xù)則復(fù)合函數(shù)yf[j(x)]在點x0也連續(xù)，即定理4設(shè)函數(shù)yf[g(x)]由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成

例3解設(shè)函數(shù)yf[g(x)]由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成U(x0)Dfog若函數(shù)ug(x)在點x0連續(xù)函數(shù)yf(u)在點u0g(x0)連續(xù)則復(fù)合函數(shù)yf[j(x)]在點x0也連續(xù)，即定理3結(jié)論

1.基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的

2.一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的注:

所謂定義區(qū)間就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間（如果f(x)是初等函數(shù)

且x0是f(x)的定義區(qū)間內(nèi)的點則）三、初等函數(shù)的連續(xù)性

例4

解

利用連續(xù)性求極限舉例利用連續(xù)性求極限舉例利用連續(xù)性求極限舉例例5求

解

所以第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、有界性與最大值最小值定理最大值與最小值最大值和最小值定理

若y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則y=f(x)在[a,b]上一定能取得最大值和最小值

（證明這個定義需要用到有界性定理，致密性定理和確界原理）注：兩個條件缺一不可！不是閉區(qū)間連續(xù)性不滿足2/4/202316介值定理

若y=

f(x)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)且f(a)f(b)

則對于f(a)與f(b)之間的任意一個常數(shù)C

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少有一點x

使得f(x)=C(a<x<b)

推論（零點定理）

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)且f(a)與f(b)異號

則在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少一點x使f(x)=0注:

如果x0使f(x0)=0

則x0稱為函數(shù)f(x)的零點

零點定理的幾何意義這說明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(01)內(nèi)至少有一個根是x

例1證明方程x3?4x2+1=0在區(qū)間(01)內(nèi)至少有一個實根證明設(shè)f(x)=x3?4x2+1則f(x)在閉區(qū)間[01]上連續(xù)

并且f(0)=1>0

f(1)=?2<0

根據(jù)零點定理在