集合的概念及其基本運算

1

1.集合元素的三個特征：

、

、

.

2.元素與集合的關系是

或

關系，用符號

或

表示.3.集合的表示法：

、

、圖示法、區(qū)間法.4.常用數集：自然數集

；正整數集

（或

）；整數集

；有理數集

；實數集

.要點梳理確定性互異性無序性屬于不屬于列舉法描述法第一章集合與簡易邏輯§1.1集合的概念及其基本運算N+QNZRZ*25.集合的分類:按集合中元素個數劃分,集合可以分為

、

、

.6.子集、真子集及其性質對任意的x∈A，都有x∈B，則A

B（或B

A）.

若A

B，且在B中至少有一個元素x∈B，但x

A

，則

A

B（或B

A）.

若A含有n個元素，則A的子集有

個，A

的非空子集有

,A的非空真子集有

個.7.集合相等若A

B且B

A，則A=B.有限集無限集空集2n2n-12n-238.集合的并、交、補運算并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}；交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}；補集:

UA={x|x∈U,且xA}.

U為全集，UA表示A相對于全集U

的補集.9.集合的運算性質并集的性質：

A=A；AA=A；AB=BA；

AB=ABA.

交集的性質：

A=

；AA=A；AB=BA；AB=AAB.

補集的性質：

A∪(UA)=U；A∩(UA)=

；U(

UA)=A；

U(A∩B)=(UA)∪(UB)；U(A∪B)=(UA)∩(UB)41.（2008·山東理，1）滿足M{a1，a2，a3，a4}，且M

∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的個數是（）

A.1B.2C.3

D.4

解析

由題意知a1,a2必屬于M,a3M,a4不一定,故選B.

2.（2009·成都市第一次診斷性檢測）設集合A=｛x│-1＜

x≤2,x∈N｝，則A∪B等于 （）

A.｛1，2，3｝B.｛0，1，2，3｝

C.｛2｝D.｛-1，0，1，2，3｝基礎自測BB53.設全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a-5|}，M

U,

UM

={5，7}，則a的值為（）

A.2或-8B.-8或-2

C.-2或8

D.2或8

解析

∵UM={5，7}，∴M={1，3}，∴|a-5|=3，∴a=8或a=2.4.（2008·四川理，1）設集合U={1，2，3，4，5}，A={1，

2，3}，B={2，3，4}，則U(A∩B)等于（）

A.{2，3}B.{1，4，5}C.{4，5}D.{1，5}

解析

∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∩B={2，3}.

又U={1，2，3，4，5}，∴U(A∩B）={1，4，5}.DB65.設U為全集，非空集合A、B滿足AB，則下列集合為空集的是（）

A.A∩B

B.A∩(UB)

C.B∩(UA)D.(UA)∩(UB)

解析

畫出滿足條件的Venn圖，如圖，由圖可知A∩(UB)=.B7

若a，b∈R，集合{1,a+b，a}={0，，b}，求b-a的值.【思維啟迪】由{1,a+b,a}={0,,b}可知，a≠0,因此只能a+b=0，然后利用兩集合相等的條件列出方程組，分別求出a

、b的值即可.

解

由{1,a+b,a}={0,,b}可知a≠0,

則只能a+b=0,則有以下對應關系： ①或 ②由①得符合題意；②無解.

所以b-a=2.題型一集合概念8探究拓展

（1）解決該類問題的基本方法為：利用集合中元素的特點，列出方程組求解.但解出后應注意檢驗，看所得結果是否符合元素的互異性.（2）解決此類問題還可以根據兩集合中元素的和相等、元素的積相等，列方程求解，但仍然要檢驗.9

已知集合A={x|0＜ax+1≤5},集合B={x|-＜x≤2}.

(1)若AB，求實數a的取值范圍；

(2)若BA，求實數a的取值范圍；

(3)A、B能否相等？若能,求出a的值；若不能，試說明理由.【思維啟迪】利用數軸作工具，使問題得到解決.題型二集合與集合的關系10解

A中不等式的解集應分三種情況討論：①若a=0，則A=R；②若a＜0，則A={x|≤x＜-};③若a＞0,則A={x|-＜x≤}.（1）當a=0時，若AB，此種情況不存在.當a＜0時，若AB，如圖,11則∴

∴a＜-8.當a>0時，若AB，如圖,12∴a≥2.綜上知，此時a的取值范圍是a＜-8或a≥2.（2）當a=0時，顯然BA；當a＜0時，若BA，如圖,則

∴-＜a＜0；當a>0時，若B

A，如圖,13（3）當且僅當A、B兩個集合互相包含時，A=B.

由（1）、（2）知，a=2.14探究拓展

在解決兩個數集關系問題時，避免出錯的一個有效手段即是合理運用數軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數的不等式（或方程）時，要對參數進行討論.分類時要遵循“不重不漏”的分類原則，然后對每一類情況都要給出問題的解答.分類討論的一般步驟：①確定標準；②恰當分類；③逐類討論；④歸納結論.15

（12分）設集合A={x|x2-3x+2=0},

B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}.(1)若A∩B={2},求實數a的值;(2)若A∪B=A,求實數a的取值范圍;(3)若U=R,A∩(UB)=A,求實數a的取值范圍.【思維啟迪】對于含參數的集合的運算,首先解出不含參數的集合,而后根據已知條件求參數.題型三集合的基本運算16解

由x2-3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1,2}.(1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入B中的方程,得a2+4a+3=0，∴a=-1或a=-3.1分當a=-1時,B={x|x2-4=0}={-2,2},滿足條件;當a=-3時,B={x|x2-4x+4=0}={2},滿足條件;綜上,a的值為-1或-3.3分17(2)對于集合B,Δ=4（a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴BA,

①當Δ＜0,即a＜-3時,B=，滿足條件;②當Δ=0,即a=-3時,B={2},滿足條件;③當Δ＞0,即a＞-3時,B=A={1,2}才能滿足條件,5分則由根與系數的關系得綜上,a的取值范圍是a≤-3.

7分18(3)∵A∩(UB)=A,∴A

UB,∴A∩B=.8分①若B=,則Δ＜0a＜-3適合;②若B≠,則a=-3時,B={2},A∩B={2},不合題意;a＞-3,此時需1B且2B.將2代入B的方程得a=-1或a=-3(舍去);將1代入B的方程得a2+2a-2=0a=-1±

.∴a≠-1且a≠-3且a≠-1±.

11分綜上,a的取值范圍是a＜-3或-3＜a＜-1-或-1-＜a＜-1或-1＜a＜-1+或a＞-1+

.12分探究拓展

解決含參數問題的集合運算,首先要理清題目要求,看清集合間存在的相互關系,注意分類討論、數形結合思想的應用,還要注意空集作為一個特殊集合與非空集合間的關系，在解題中漏掉它極易導致錯解.19

若集合A1，A2滿足A1∪A2=A，則稱（A1，A2）集合A的一種分拆，并規(guī)定：當且僅當A1=A2時，（A1，A2）與(A2,A1）為集合A的同一種分拆，則集合

A={1，2，3}的不同分拆種數是（）

A.27B.26C.9D.8【思維啟迪】所謂“分拆”不過是并集的另一種說法，關鍵是要分類準確. 題型四關于集合的“新定義型”問題A20解析

①A1=時，A2={1，2，3}，只有一種分拆；②A1是單元素集時（有3種可能），則A2必須至少包含除該元素之外的兩個元素，也可能包含3個元素，有兩類情況（如A1={1}時，A2={2，3}或A2={1，2，3}），這樣A1是單元素集時的分拆有6種；③A1是兩個元素的集合時（有3種可能），則A2必須至少包含除這兩個元素之外的另一個元素，還可能包含A1中的1個或2個元素（如A1={1，2}時，A2={3}或A2={1，3}或A2={2，3}或A2={1，2，3}），這樣A1

是兩個元素的集合時的分拆有12種；④A1是三個元素的集合時（只有1種），則A2可能包含0，1，2或3個元素（即A1={1，2，3}時，A2可以是集合{1，2，3}的任意一個子集），這樣A1={1，2，3}時的分拆有23=8種.所以集合A={1，2，3}的不同分拆的種數是1+6+12+8=27.21探究拓展

解此類問題的關鍵是理解并掌握題目給出的新定義（或新運算）.思路是找到與此新知識有關的所學知識幫助理解.同時，找出新知識與所學相關知識的不同之處，通過對比加深對新知識的認識.22

方法與技巧1.解題時要特別關注集合元素的三個特性，特別是互異性，要進行解題后的檢驗.注意將數學語言與集合語言進行相互轉化.2.空集在解題時有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,時刻關注對空集的討論,防止漏掉.3.解題時注意區(qū)分兩大關系:一是元素與集合的從屬關系；二是集合與集合的包含關系.

23

失誤與防范1.解答集合題目,認清集合元素的屬性(是點集、數集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個先決條件.2.韋恩圖示法和數軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心.3.要注意AB、A∩B=A、A∪B=B、UA

UB、A∩(UB)=

這五個關系式的等價性.241.設含有三個實數的集合可表示為{a,a+d,a+2d},也可表示為

{a,aq,aq2}，其中a、d、q∈R,求常數q.

解

依元素的互異性可知，a≠0，d≠0,q≠0,q≠±1.

由兩集合相等，有（1）或由（1）得a+2a(q-1)=aq2,∵a≠0,∴q2-2q+1=0,∴q=1(舍去).

由(2)得a+2a(q2-1)=aq,∵a≠0,∴2q2-q-1=0,∴q=1或q=-∵q≠1,∴q=-.綜上所述,q=-.252.（1）若集合P={x|x2+x-6=0}，S={x|ax+1=0}，且SP，求a的可取值組成的集合；

(2)若集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，且B

A，求由m的可取值組成的集合.

解

（1）P={-3，2}.當a=0時，S=，滿足SP；

當a≠0時，方程ax+1=0的解為x=-，為滿足SP，可使-=-3或-=2，即a=或a=-

故所求集合為{0，，-}.26（2）當m+1＞2m-1，即m＜2時，B=，滿足BA；若B≠，且滿足BA，如圖所示,則即∴2≤m≤3.綜上所述，m的取值范圍為m<2或2≤m≤3，即所求集合為{m|m≤3}.273.

已知集合A={x|x2+(2+a)x+1=0，x∈R

}，B={x∈R|x＞0},

試問是否存在實數a,使得A∩B=？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

解方法一

假設存在實數a滿足條件A∩B=，則有（1）當A≠時，由A∩B=、B={x∈R|x＞0},

知集合A中的元素為非正數.

設方程x2+(2+a)x+1=0的兩根為x1,x2，則由根與系數的關系，得

解得a≥0;

（2）當A=時，則有Δ=(2+a)2-4＜0,

解得-4＜a＜0.

綜上(1)、(2)，知存在滿足條件A∩B=的實數a,其取值范圍是（-4,+∞）.28方法二

假設存在實數a滿足條件A∩B≠,則方程x2+(2+a)x+1=0的兩實數根x1,x2至少有一個為正，因為x1·x2=1＞0,所以兩根x1,x2均為正數.則由根與系數的關系，得解得即a≤-4.又∵集合{a|a≤-4}的補集為{a|a＞-4},∴存在滿足條件A∩B=的實數a,其取值范圍是（-4,+∞）.294.設集合S={A0,A1,A2,A3}，在S上定義運算為：AiAj=Ak,

其中k為i+j被4除的余數,i,j=0,1,2,3，則滿足關系式

(x

x)A2=A0的x（x∈S）的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

解析

驗證法：（A0A0）A2=A0

A2=A2≠A0，∴A0不滿足關系式；（A1

A1）

A2=A2

A2=A0，∴A1符合關系式；（A2

A）A2=A0

A2=A2≠A0,∴A2不滿足關系式；（A3

A3）A2=A2

A2=A0，∴A3符合關系式.B301.(2008·江蘇理，2)定義集合運算:A*B=｛z│z=xy,x∈A,

y∈B｝.設A=｛1，2｝，B=｛0，2｝，則集合A*B的所有元素之和為 （）

A.0 B.2 C.3 D.6

解析

∵z=x·y,x∈A,y∈B,∴z的取值有1×0=0，1×2=2，2×0=0，2×2=4，故A*B=｛0，2，4｝.

∴集合A*B的所有元素之和為：0+2+4=6.2.（2009·武漢武昌區(qū)調研測試)設集合

則（）

A.M∩N=MB.M∩N=NC.M∩N=D.M

N=MDA313.C4.(2008·安徽理，2)集合A={y∈R|y=lgx，x＞1}，B={-2，

-1

，1，2}，則下列結論中正確的是（）

A.A∩B={-2，-1}B.（RA）∪B=（-∞，0）