高中數(shù)學(xué)人教B版1第二章圓錐曲線與方程 第3章32

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．下列結(jié)論不正確的是()A．若y＝3，則y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，則f′(1)＝3C．若y＝－eq\r(x)＋x，則y′＝－eq\f(1,2\r(x))＋1D．若y＝sinx＋cosx，則y′＝cosx＋sinx【解析】∵y＝sinx＋cosx，∴y′＝(sinx)′＋(cosx)′＝cosx－sinx．故選D.【答案】D2．函數(shù)y＝(eq\r(x)＋1)(eq\r(x)－1)的導(dǎo)數(shù)等于()A．1 B．－eq\f(1,2\r(x))\f(1,2x) D．－eq\f(1,4x)【解析】因?yàn)閥＝(eq\r(x)＋1)(eq\r(x)－1)＝x－1，所以y′＝x′－1′＝1.【答案】A3．曲線y＝eq\f(x,x＋2)在點(diǎn)(－1，－1)處的切線方程為()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2【解析】∵y′＝eq\f(x′x＋2－xx＋2′,x＋22)＝eq\f(2,x＋22)，∴k＝y(tǒng)′|x＝－1＝eq\f(2,－1＋22)＝2，∴切線方程為y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.故選A.【答案】A4．已知曲線y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一條切線的斜率為eq\f(1,2)，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：25650118】A．3 B．2C．1 \f(1,2)【解析】因?yàn)閥′＝eq\f(x,2)－eq\f(3,x)，所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，eq\f(x,2)－eq\f(3,x)＝eq\f(1,2)，解得x＝3(x＝－2不合題意，舍去)．【答案】A5．函數(shù)f(x)＝x3的斜率等于1的切線有()A．1條 B．2條C．3條 D．不確定【解析】∵f′(x)＝3x2，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則3xeq\o\al(2,0)＝1，得x0＝±eq\f(\r(3),3)，即在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),9)))和點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),9)))處有斜率為1的切線．故選B.【答案】B二、填空題6．已知f(x)＝eq\f(5,2)x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，則x＝________.【解析】因?yàn)閒′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以5x－3x2＝－2，解得x1＝－eq\f(1,3)，x2＝2.【答案】－eq\f(1,3)或27．若曲線處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a＝________.【解析】【答案】648．已知函數(shù)f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))cosx＋sinx，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值為________．【解析】∵f′(x)＝－f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))sinx＋cosx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)，得f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(2)－1.∴f(x)＝(eq\r(2)－1)cosx＋sinx，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝1.【答案】1三、解答題9．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(x＋1)2(x－1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝eq\f(ex＋1,ex－1).【解】(1)法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1.(2)y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝eq\f(ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′,ex－12)＝eq\f(exex－1－ex＋1ex,ex－12)＝eq\f(－2ex,ex－12).10．設(shè)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常數(shù)a，b∈R.求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f【導(dǎo)學(xué)號(hào)：25650119】【解】因?yàn)閒(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－eq\f(3,2).所以f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2－3x＋1，從而f(1)＝－eq\f(5,2).又f′(1)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－3，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為：y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.[能力提升]1．函數(shù)y＝x2cosx的導(dǎo)數(shù)為()A．y′＝2xcosx－x2sinx B．y′＝2xcosx＋x2sinxC．y′＝x2cosx－2xsinx D．y′＝xcosx－x2sinx【解析】y′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx.【答案】A2．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(sinθ,3)x3＋eq\f(\r(3)cosθ,2)x2＋tanθ，其中θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12)))，則導(dǎo)數(shù)f′(1)的取值范圍是()A．[－2,2] B．[eq\r(2)，eq\r(3)]C．[eq\r(3)，2] D．[eq\r(2)，2]【解析】f′(x)＝x2sinθ＋eq\r(3)xcosθ，∴f′(1)＝sinθ＋eq\r(3)cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))，∵θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，∴f′(1)∈[eq\r(2)，2]．【答案】D3．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，則f′(0)＝________.【解析】因?yàn)閒(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋3)(x＋4)·(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)，所以f′(0)＝1×2×3×4×5＝120.【答案】1204．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)求證：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：25650120】【解】(1)7x－4y－12＝0可化為y＝eq\f(7,4)x－3.當(dāng)x＝2時(shí)，y＝eq\f(1,2).又f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq\f(3,x).(2)證明：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由y′＝1＋eq\f(3,x2)可知曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為：y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)，即y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,x0)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)．令x＝0，得y＝－eq\f(6,x0)，從而得切線與直線x＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\v