動(dòng)力氣象-第九章(大氣波動(dòng)1)

波動(dòng)是大氣運(yùn)動(dòng)的重要形式，許多大氣現(xiàn)象都可以用波動(dòng)方式進(jìn)行研究。除了大尺度的天氣波動(dòng)外、大氣中（基本方程中）還存在其他波動(dòng)。形成大氣波動(dòng)的因子不同，如可壓縮性、層結(jié)、重力和科氏力等，不同因子形成不同類(lèi)型的波動(dòng)，主要有四類(lèi)基本波動(dòng)：聲波，重力波，慣性波，大氣長(zhǎng)波。第九章大氣波動(dòng)主要內(nèi)容§1波動(dòng)的基本概念§2群速度，波的頻散效應(yīng)★§3微擾法與基本方程組的線(xiàn)性化★§4大氣聲波§5重力外波和重力慣性外波★§6重力內(nèi)波、慣性波與重力慣性?xún)?nèi)波§7羅斯貝波（RossbyWave）★§8濾波問(wèn)題重點(diǎn)：相速度和群速度，微擾法，重力波和羅斯貝波§1波動(dòng)的基本概念1.波動(dòng)定義振動(dòng)在彈性媒介中的傳播波動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)由于受力的作用圍繞某個(gè)平衡位置振動(dòng)（振蕩），而振動(dòng)在空間的傳播形成波動(dòng)。波動(dòng)需要二個(gè)條件：1）振動(dòng)2）能夠傳播：質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)之間建立聯(lián)系例如：?jiǎn)蝹€(gè)單擺擺動(dòng)，不能引起其它單擺擺動(dòng)；但用一根線(xiàn)把它們的擺球連起來(lái)，則一個(gè)擺動(dòng)可以傳播出去。波動(dòng)機(jī)制缺一不可振蕩機(jī)制傳播機(jī)制波動(dòng)的最大特點(diǎn)：周期性（復(fù)數(shù)表示）——時(shí)間上周期變化；空間上周期分布

——有規(guī)律、重復(fù)發(fā)生——可預(yù)測(cè)。2.波動(dòng)與振動(dòng)的聯(lián)系與區(qū)別1）波動(dòng)是振動(dòng)的傳播形式；2）波動(dòng)是能量傳播的一種基本形式；3）振動(dòng)是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，是僅以時(shí)間為自變量的運(yùn)動(dòng)，主要屬于常微分方程問(wèn)題（如慣性振蕩）；4)波動(dòng)是以時(shí)間、空間為變量的方程，屬于偏微分方程問(wèn)題（如慣性波）。3.簡(jiǎn)諧波物體作簡(jiǎn)諧波時(shí)，它受到一恢復(fù)力作用，其大小與物體位移成正比，方向與位移方向相反。設(shè)物體在y方向運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)量為M，恢復(fù)力為F=-Ky，K為比例系數(shù)，則振動(dòng)方程為：

稱(chēng)為角頻率

其解為：y=c1sint+c2cost=Acos(t-)簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程為線(xiàn)性常微分方程，簡(jiǎn)諧振動(dòng)也稱(chēng)為線(xiàn)性振動(dòng)。簡(jiǎn)諧穩(wěn)定移動(dòng)形成的波就是簡(jiǎn)諧波。

波動(dòng)的數(shù)學(xué)模型：一維的簡(jiǎn)諧波可以表示為：y=Acos(t-)=Acos(kct-)

（A為振幅，kc=，c為波速，k為波數(shù)，為初位相）事實(shí)上，根據(jù)Fourier迭加原理，大氣中所有運(yùn)動(dòng)可視為不同頻率、不同振幅的簡(jiǎn)諧波的迭加。任選參考點(diǎn)O為x

軸的坐標(biāo)原點(diǎn)，O點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程為y|x＝0=Acos(t-)

?。?時(shí)，y|x=0=Acos(t)任取一點(diǎn)

B，距離O點(diǎn)為

x，當(dāng)振動(dòng)傳到B點(diǎn)，B點(diǎn)的振動(dòng)比O點(diǎn)落后一段時(shí)間，c是波速?！矫婧?jiǎn)諧波波動(dòng)方程（k是波數(shù)）

對(duì)于空氣的微團(tuán)，若其任何一物理量q（位移、運(yùn)動(dòng)速度等）僅在x方向呈現(xiàn)周期變化（波動(dòng)），則可以用周期函數(shù)表示：

q(x,y,z,t)=A(y,z)cos(kx-t-)=A(y,z)cos

≡kx?t-=k(x?ct)?，稱(chēng)為位相

表示一維波、直線(xiàn)波，對(duì)應(yīng)偏微分方程中的弦振動(dòng)。其中A,k,c,,,皆為波參數(shù)。一維波動(dòng)(只隨x變化)，波動(dòng)在x方向上傳播。

一維波動(dòng)≠一維運(yùn)動(dòng)一維運(yùn)動(dòng):

=kx?t=k(x?ct),

=kc,

=0同樣：q(x,y,z,t)=A(z)cos(kx+ly-t-)表示二維波、平面波，對(duì)應(yīng)偏微分方程中的膜振動(dòng)。二維波動(dòng)(=0)：

渦旋運(yùn)動(dòng)（大氣長(zhǎng)波）的斜槽結(jié)構(gòu)用二維波動(dòng)表達(dá)。q(x,y,z,t)=Acos(kx+ly+mz-t-)

表示三維波、立體波，對(duì)應(yīng)偏微分方程中的空間振動(dòng)。

典型波動(dòng)：4.波動(dòng)的表達(dá)—波參數(shù)簡(jiǎn)諧波：x

q=Acos(kx-t-)=Acos其中，A—振幅：離開(kāi)平衡位置最大的距離；A=max|q|

L—波長(zhǎng)：固定時(shí)刻相鄰兩個(gè)同位相點(diǎn)之間的距離，即一個(gè)完整的波形的長(zhǎng)度。=kx-t-=(2/L)x-(2/T)t-

位相

L—波長(zhǎng)：固定時(shí)刻相鄰兩個(gè)同位相點(diǎn)之間的距離；q=Acos(kx-t-)=Acos[k(x+L)-t-]kx-t-+2=k(x+L)-t-2=kLL

=2/kT—周期：質(zhì)點(diǎn)完成一個(gè)全振動(dòng)需要的時(shí)間；q=Acos(kx-t-)=Acos[kx-(t+T)-]kx-t-+2=kx-t-T-2=T

T=2/

T

=L/c

c—波速或相速：等位相線(xiàn)或者等位相面的移動(dòng)速度，即槽的移速；c

=L/T波動(dòng)學(xué)中，求解天氣系統(tǒng)移動(dòng)的問(wèn)題，即求解波速c的問(wèn)題。k—波數(shù)：k

=2/L2距離內(nèi)波的數(shù)目。

—圓頻率（角頻率）：

=2/T

2時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)完成全振動(dòng)的次數(shù)。

T=2/=L/c

=2c/L

kc一個(gè)周期，正好移動(dòng)一個(gè)全波形。相速度（波速，c）：c=dx/dt=/k波參數(shù)1)振幅（A）：振動(dòng)所產(chǎn)生的最大位移：A=max|y|2)位相（

）；=k(x?ct)?,初位相：=?等位相線(xiàn)（面）：位相相同的點(diǎn)構(gòu)成的線(xiàn)（面）。3)相速度（波速，c）：等位相線(xiàn)（面）移動(dòng)的速度。c=dx/dt|＝const

或c=/k4）波長(zhǎng)L：固定時(shí)刻相鄰兩個(gè)等位相點(diǎn)之間的距離。5）波數(shù)k：用位相角所表示的單位距離內(nèi)所包含的波長(zhǎng)為L(zhǎng)的數(shù)目。k=2/L或k=?/?x而氣象中的繞地球一周波的數(shù)目為2R/L=2

acos/L，其中L為波長(zhǎng)。6）周期T：固定位置上振動(dòng)重復(fù)（波形復(fù)原）一次所需要的時(shí)間。T=L/c=2/kc=2/7）頻率v：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)振動(dòng)次數(shù)。v=1/T8）圓頻率

：用2位相角表示的單位時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)。

=2v=2/T=kc或=?/?t波的傳播方向振動(dòng)方向（一）橫波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向和波的傳播方向互相垂直的波。

特點(diǎn)：波峰和波谷又分為：水平橫波與鉛直橫波5.橫波與縱波

（二）縱波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向和波的傳播方向相同的波。

特點(diǎn)：疏密波的傳播方向振動(dòng)方向6.波動(dòng)的數(shù)學(xué)表示任一個(gè)波動(dòng)，可以用無(wú)窮多個(gè)不同波長(zhǎng)、不同強(qiáng)度的簡(jiǎn)諧波（單波、單色)疊加而形成數(shù)學(xué)上，任一周期函數(shù)都可以用傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)表達(dá)：m=0,1,2,3…波長(zhǎng)L=l/mm:緯向波數(shù)目（整數(shù)）如果是線(xiàn)性波動(dòng)，則波動(dòng)方程為：取波動(dòng)形式解為——簡(jiǎn)諧波解

1）某個(gè)簡(jiǎn)諧波最具有代表性

2）每個(gè)簡(jiǎn)諧波都滿(mǎn)足原方程，都具有相同性質(zhì)解§2群速度，波的頻散效應(yīng)振幅表示了波動(dòng)強(qiáng)度（能量E正比A2）?？紤]“線(xiàn)性波動(dòng)傳播”時(shí)，使用單個(gè)簡(jiǎn)諧波解考慮波動(dòng)強(qiáng)度變化時(shí)，應(yīng)該用多個(gè)簡(jiǎn)諧波疊加——稱(chēng)群波或波群或波列或波包。多個(gè)簡(jiǎn)諧波迭加，至少是2個(gè)?？疾於€(gè)振幅A相同，頻率與波數(shù)相近的簡(jiǎn)諧波迭加的結(jié)果（僅僅考慮x方向傳播）。群波或波群或波列或波包復(fù)數(shù)的歐拉公式：ei=cos+isin

波數(shù)為k，圓頻率為，振幅為q*

(x,t)的波動(dòng)q*為調(diào)幅波（波包）相速度與群速度：相速度是位相的傳播速度，如槽脊的移速群速度是振幅/能量的移動(dòng)速度。頻率方程

頻率方程：波速c（或頻率）一般是基本氣流，波數(shù)k（或波長(zhǎng)L）及其他參數(shù)（如g,H,f,）的函數(shù)，即稱(chēng)為波速方程或頻率方程（頻率與波數(shù)之間的關(guān)系式）。頻散波與非頻散波圓頻率與波數(shù)k及表征介子物理性質(zhì)的參數(shù)1,2,3,

…之間的關(guān)系式稱(chēng)為頻散關(guān)系式（頻散方程）。=(k,1,2,3,…)相速度c=/k=(k,1,2,3,…)/k

c僅僅與1,2,3,

…有關(guān)，與k無(wú)關(guān)非頻散波c與1,2,3,

…有關(guān)，也與k有關(guān)頻散波群速度cg=c

c與k,