時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

時(shí)域離散系統(tǒng)的第五章§5.1引言§5.2用信號(hào)流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)§5.3無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)§5.4有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)§5.5狀態(tài)變量分析法（略）§5.1

引言一、什么是濾波狹義地說(shuō)：濾波是把信號(hào)中的某些頻率分量分離出來(lái)或去掉，能完成這種功能的設(shè)備就稱(chēng)為濾波器。廣義地說(shuō)：濾波是指某種信號(hào)處理成為另一種信號(hào)的過(guò)程，因此濾波器就是一個(gè)系統(tǒng)。二、數(shù)字濾波器DF（DigitalFilter）所謂數(shù)字濾波器指的是對(duì)輸入數(shù)字信號(hào)x(n)按一定要求進(jìn)行運(yùn)算，然后輸出數(shù)字信號(hào)y(n)的過(guò)程。它可以是一種算法，亦可是一種數(shù)字處理設(shè)備。一般情況下，數(shù)字濾波器是一線性非移變系統(tǒng)，與模擬濾波器的差別：1、處理信號(hào)不同：數(shù)字濾波器處理數(shù)字信號(hào)（以序列表示）模擬濾波器處理連續(xù)信號(hào)（以波形表示）2、實(shí)現(xiàn)的方式不同：數(shù)字濾波器可用數(shù)字硬件結(jié)構(gòu)或軟件實(shí)現(xiàn)，或二者結(jié)合使用。 （數(shù)字硬件：加法器、乘法器、延時(shí)器）模擬濾波器由分立元件組合電路網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)。 （分立元件：電阻、電容、晶體管等。）數(shù)字濾波器是一類(lèi)非常重要的線性非移變系統(tǒng)，對(duì)于一個(gè)確定的數(shù)字濾波器，就有其確定的系統(tǒng)函數(shù)H(z)與單位沖激響應(yīng)h(n)。其性能不僅由H(z)決定，還有其算法結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。信號(hào)流圖表示法是一種有效的系統(tǒng)算法結(jié)構(gòu)表示法，用它來(lái)表示數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)，一目了然。（運(yùn)算步驟、乘法、加法次數(shù)、所用存儲(chǔ)單元）數(shù)字濾波器§5.2用信號(hào)流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)一、信號(hào)流圖及其表示法信號(hào)流圖是由連接節(jié)點(diǎn)的有向分支構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，是表示信號(hào)流通的幾何圖形。數(shù)字網(wǎng)絡(luò)信號(hào)流圖x(n)z-1y(n)ABa0b1a1x(n)z-1y(n)ABa0b1a1CYX1、節(jié)點(diǎn)。2、支路（連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向線段，系數(shù)叫做支路傳輸。3、源節(jié)點(diǎn)，只有輸出支路與之相連的節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為源節(jié)點(diǎn)，或輸入節(jié)點(diǎn)。4、匯點(diǎn)，只有輸入支路與之相連的節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為匯點(diǎn)，或輸出節(jié)點(diǎn)。5、混合節(jié)點(diǎn)。6、開(kāi)路徑或通路（從某一節(jié)點(diǎn)出發(fā)，終止到另一節(jié)點(diǎn)，且每節(jié)點(diǎn)只通過(guò)一次）。7、自環(huán)（從某一節(jié)點(diǎn)出發(fā)，終止在同一節(jié)點(diǎn)的路徑且每節(jié)點(diǎn)只通過(guò)一次）。8、節(jié)點(diǎn)變量值（等于流入該節(jié)點(diǎn)的全部信號(hào)的疊加，流出信號(hào)不計(jì)）。9、延時(shí)器z-1相當(dāng)于延時(shí)器b(n)=a(n-1)x(n)z-1y(n)ABa0b1a1CYXaX1bX2X1X2a+bX1X3abX1X3abX2X1X3abX2X4cX3abX1X4ac二、信號(hào)流圖的簡(jiǎn)化：1、支路的合并相加：相乘：2、節(jié)點(diǎn)的吸收：消去X23、自環(huán)消除cX1X3abX2==X1X3X1X3abbc三、根據(jù)信號(hào)流圖求系統(tǒng)函數(shù)匯點(diǎn)與源點(diǎn)之間的函數(shù)關(guān)系，即為系統(tǒng)函數(shù)。有三種方法求解

a.將信號(hào)流圖逐步化簡(jiǎn)，得到系統(tǒng)函數(shù)

b.用信號(hào)流圖代數(shù)方程組求解

c.用Mason公式求系統(tǒng)函數(shù)X3X1X2XX4X5YH1H2H3H4-G1-G2-G3-G41、信號(hào)流圖代數(shù)方程組法設(shè)X為源點(diǎn)，Y為匯點(diǎn)，系統(tǒng)函數(shù)為H=Y/X由流程圖可得如下方程組變形用系數(shù)行列式表示方程方程1左右兩邊同除H1

方程組補(bǔ)齊變量為X的代數(shù)余子式Y(jié)=X5只需求X5由克萊姆法則X5=D5/D；D是系數(shù)矩陣的行列式2、Mason公式通路傳輸：通路邊界間（開(kāi)始節(jié)點(diǎn)與終止節(jié)點(diǎn)之間）各支路傳輸之積為通路傳輸；環(huán)路傳輸：繞環(huán)路一周，各支路傳輸之積；不接觸：兩條通路間或兩個(gè)環(huán)路間或一條通路與一個(gè)環(huán)路之間，若無(wú)公共節(jié)點(diǎn)則稱(chēng)它們互不接觸。Mason公式：D為流圖的行列式。D=1-（所有環(huán)路傳輸之和）+（每?jī)蓚€(gè)互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和）-（每三個(gè)互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和）+……gi

是從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條通路傳輸。Di則是此通路流圖的余子式。Di=1-（與此通路不接觸的各環(huán)路傳輸之和）+（與此通路不接觸的每?jī)蓚€(gè)互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和）-（與此通路不接觸的每三個(gè)互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和）+……所有環(huán)路：①-G2H2②

-G3H3③

-G4H4④-G1H2H3H4

D=1-(-G2H2-G3H3-G4H4-G1H2H3H4)+(G2H2G3H3+

G2H2G4H4)所有通路g1=H1H2H3H4此通路流圖余子式D1=1X3X1X2XX4X5YH1H2H3H4-G1-G2-G3-G4例：x(n)X(z)cY(z)y(n)az-1x(n)X(z)cY(z)y(n)az-1x(n)X(z)cY(z)y(n)az-1四、信號(hào)流圖的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置定理：將信號(hào)流圖全部支路反向，且保持全部支路傳輸不變，并將源點(diǎn)和匯點(diǎn)交換位置，則當(dāng)信號(hào)流圖中只有一個(gè)源點(diǎn)和一個(gè)匯點(diǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)置后的流圖與原圖傳輸函數(shù)相同。說(shuō)明：對(duì)于同一傳輸函數(shù)，存在著多種不同的算法結(jié)構(gòu)，即對(duì)同一個(gè)系統(tǒng)有多種不同的實(shí)現(xiàn)方案。不同的方案，數(shù)學(xué)運(yùn)算復(fù)雜度不同，所用加法器、乘法器、延遲器件數(shù)目不同，系統(tǒng)特性對(duì)于乘法器系數(shù)變化的靈敏度不同。應(yīng)選擇乘法器少的結(jié)構(gòu)，提高速度應(yīng)選擇延遲器少的結(jié)構(gòu)，減少存儲(chǔ)電路應(yīng)選擇對(duì)乘法器系數(shù)變化靈敏度低的結(jié)構(gòu)，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性算法結(jié)構(gòu)的選擇對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)非常重要?！?.3IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)離散系統(tǒng)差分方程描述分為遞歸型和非遞歸型數(shù)字濾波器可分為: 無(wú)限沖激響應(yīng)IIR（InfiniteImpulseResponse）

有限沖激響應(yīng)FIR（FiniteImpulseResponse）IIR濾波器都是遞歸型的，F(xiàn)IR濾波器一般都是非遞歸的IIR濾波器特點(diǎn)： ⑴h(n)無(wú)限長(zhǎng)； ⑵H(z)在有限z平面上存在極點(diǎn)，因果穩(wěn)定的系統(tǒng)其全部極點(diǎn)一定在單位圓內(nèi)； ⑶結(jié)構(gòu)存在輸出到輸入的反饋，即遞歸型。x(n)z-1y(n)a0b1a1z-1z-1z-1z-1z-1aMaM-1b2bN根據(jù)方程直接得到圖1數(shù)字網(wǎng)絡(luò)一、直接型遞歸差分方程：圖2直接Ⅰ型信號(hào)流圖x(n)y(n)z-1y1(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1a1b1a0a2aM-1aMb2bN-1bN將差分方程兩邊Z變換用信號(hào)流圖表示為如圖2所示，直接I型可看成兩個(gè)獨(dú)立網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)。故有故有得系統(tǒng)函數(shù)是N節(jié)延時(shí)鏈結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，不過(guò)它是對(duì)y(n)延時(shí)，因而是個(gè)反饋網(wǎng)絡(luò)；與H(z)分母對(duì)應(yīng)，實(shí)現(xiàn)濾波器極點(diǎn)。第二個(gè)網(wǎng)絡(luò)是對(duì)輸入x(n)的M節(jié)延時(shí)鏈結(jié)構(gòu)，即每個(gè)延時(shí)抽頭后加權(quán)相加，即是一個(gè)橫向網(wǎng)絡(luò)；與H(z)分子對(duì)應(yīng)，實(shí)現(xiàn)濾波器零點(diǎn)。第一個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖3直接Ⅱ型信號(hào)流圖x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1a1a0a2aM-1aMz-1z-1z-1z-1b1b2bN-1bN線性非移變級(jí)聯(lián)系統(tǒng)總輸入輸出關(guān)系和子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)次序無(wú)關(guān)H(z)=H1(z)·H2(z)=H2(z)·H1(z)可將兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)交換，得x(n)y(n)a1a0a2aM-1aMz-1z-1z-1z-1b1b2bN-1bN圖4正準(zhǔn)型直接型與正準(zhǔn)型共同缺點(diǎn)是系數(shù)ai與bi對(duì)濾波器的性能控制作用不明顯，且系統(tǒng)頻率特性對(duì)于其零、極點(diǎn)位置變化靈敏度高。易出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，尤其當(dāng)階次高時(shí)更明顯（N大）。所以，直接型一般不用，正準(zhǔn)型當(dāng)階次高時(shí)也不采用。二、正準(zhǔn)型（典范型）由圖3知兩列傳輸為z-1的支路有相同的輸入可把它們合并。這樣可節(jié)省一半延時(shí)單元。例5-3-1已知某IIR系統(tǒng)函數(shù)，畫(huà)出直接型、正準(zhǔn)型的結(jié)構(gòu)流圖解：為了得到直接型結(jié)構(gòu)，必須將H(z)代為z-1的有理式；注意反饋部分系數(shù)符號(hào)x(n)8-411z-1-2z-1z-1y(n)5/4-3/41/8z-1z-1z-1y(n)5/4-3/41/8-411-28x(n)z-1z-1z-1由于系數(shù)ai與bi為實(shí)數(shù)，零點(diǎn)ci與極點(diǎn)di只有兩種可能，或是實(shí)根，或是共軛復(fù)根。(A=a0/b0=a0)三、級(jí)聯(lián)型對(duì)H(z)因式分解把單實(shí)根因子看成a2i與b2i為0的二階因子的特例，并設(shè)N≥ML為N/2到N范圍內(nèi)的某一整數(shù)，當(dāng)M=N時(shí)（L對(duì)(N+1)/2取整）將共軛因子組合成實(shí)系數(shù)的二階因子。xi(n)yi(n)a1iz-1z-1-b1ia2i-b2i二階基本結(jié)構(gòu)xi(n)yi(n)a1iz-1-b1i一階基本結(jié)構(gòu)圖5級(jí)聯(lián)型H1(z)H2(z)HL(z)x(n)y(n)A級(jí)聯(lián)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)例5-3-2設(shè)IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)為：11z-1z-111y(n)1z-11x(n)解：設(shè)將系統(tǒng)函數(shù)變形為：級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：a1i與a2i確定第i對(duì)零點(diǎn)，b1i與b2i確定第i對(duì)極點(diǎn)，即子網(wǎng)絡(luò)零、極點(diǎn)是系統(tǒng)的零極點(diǎn)；調(diào)整任何一個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)都不影響其它零、極點(diǎn)，具有獨(dú)立性，便于較準(zhǔn)確的實(shí)現(xiàn)H(z)特性，靈敏度特性好；級(jí)聯(lián)次序可以互換，零、極點(diǎn)對(duì)的搭配為任意，不同的方案總的系統(tǒng)函數(shù)都相同，但系統(tǒng)特性對(duì)于零、極點(diǎn)位置變化的靈敏度不同，涉及到最優(yōu)化問(wèn)題。式中若M=N，第三項(xiàng)為c0，若M<N，第三項(xiàng)為零將共軛因子組合成實(shí)系數(shù)的二階因子。四、并聯(lián)型將H(z)按部分分式展開(kāi)并聯(lián)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)xi(n)yi(n)a1iz-1z-1-b1ia0i-b2i二階基本結(jié)構(gòu)xi(n)yi(n)a0iz-1-b1i一階基本結(jié)構(gòu)由上式可知系統(tǒng)由N1個(gè)一階系統(tǒng)、N2個(gè)二階系統(tǒng)，以及延時(shí)加權(quán)單元并聯(lián)組合而成。當(dāng)M=N時(shí)，延時(shí)單元為c0

將一階實(shí)極點(diǎn)看成二階的特例，且令M=N，則有分子比分母小一階圖6并聯(lián)型特點(diǎn)：并聯(lián)支路極點(diǎn)是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的極點(diǎn)，但零點(diǎn)不是，因而可獨(dú)立調(diào)整極點(diǎn)位置，靈敏度特性好（但不能控制零點(diǎn)）；此外，并聯(lián)型結(jié)構(gòu)運(yùn)算誤差比級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)小（級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu),前級(jí)的輸出是后級(jí)的輸入）。H1(z)H2(z)HL(z)x(n)y(n)c0由系統(tǒng)函數(shù)可得例5-3-3用并聯(lián)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)解：系統(tǒng)函數(shù)變形為：x(n)y(n)1z-161z-114-61z-1§5.4FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)FIR濾波器特點(diǎn)： ⑴h(n)在有限個(gè)n值處不為零，即有限長(zhǎng)； ⑵H(z)在|z|>0處收斂，在|z|>0處只有零點(diǎn)，而全部極點(diǎn)都在z=0處（因果系統(tǒng)）； ⑶結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒(méi)有輸出到輸入的反饋，但有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率抽樣結(jié)構(gòu)）也包含有反饋的遞歸部分。令x(n)=d(n)，代入差分方程y(n)即為單位沖激響應(yīng)h(n)，則有h(n)在0～N-1區(qū)間外為0，即h(n)長(zhǎng)度有限，因此這樣的濾波器叫有限沖激響應(yīng)(FIR)濾波器。非遞歸差分方程：由z=0為系統(tǒng)的N-1階極點(diǎn)，有N-1個(gè)零點(diǎn)在有限z平面的任意位置一、直接型根據(jù)上式可畫(huà)出FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)；因?yàn)槭蔷矸e和，又可稱(chēng)為是卷積型；或者稱(chēng)為FIR濾波器的橫截型結(jié)構(gòu)。將H(z)展開(kāi)，可得h(0)h(1)h(2)h(N-1)z-1z-1z-1z-1x(n)y(n)h(N-2)x(n)y(n)z-1z-1h(0)z-1h(1)h(2)h(N-1)z-1圖7橫截型（一）根據(jù)轉(zhuǎn)置定理圖8橫截型（二）x(n)y(n)z-1z-1h(0)z-1h(1)h(N-1)z-1h(N-2)將上圖放倒，得到若系數(shù)a2i=0，則為一階因式；K表示(N-1)/2到(N-1)范圍內(nèi)的某一整數(shù)x(n)y(n)a11z-1z-1a01a21a12z-1z-1a02a22a1Kz-1z-1a0Ka2K圖9級(jí)聯(lián)型圖中每個(gè)網(wǎng)絡(luò)控制一對(duì)零點(diǎn)，即零點(diǎn)可單獨(dú)控制，且系統(tǒng)特性隨零點(diǎn)位置變化的靈敏度好；但此結(jié)構(gòu)所需的乘法次數(shù)比橫截型多二、級(jí)聯(lián)型將H(z)分解成實(shí)系數(shù)二階因子的乘積形式設(shè)則(把系統(tǒng)分為兩部分級(jí)聯(lián)的形式)1、第一個(gè)子網(wǎng)絡(luò)He(z)

梳狀濾波器，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖x(n)-z-Ny(n)三、頻率采樣型FIR濾波器也可以用遞歸算法來(lái)計(jì)算。H(z)可由H(k)通過(guò)一個(gè)內(nèi)插式精確的恢復(fù)。在z=0處有N階極點(diǎn)，零點(diǎn)是1的N次方根，共N個(gè)均勻的分布在單位圓上k=0～Ｎ-1Im(z)Re(z)0z0zN-1z1He(z)的頻率響應(yīng)為故其幅度響應(yīng)為w02p/N4p/N6p/N……性質(zhì)：He(z)是一個(gè)FIR子系統(tǒng)x(n)y(n)z-1WN0z-1WN-1z-1WN-(N-1)…H(0)H(1)H(N-1)Im(z)Re(z)0z0zN-1z1此外該網(wǎng)絡(luò)在z=0處有一階零點(diǎn)，在有限z平面上有N-1個(gè)零點(diǎn)，此網(wǎng)絡(luò)稱(chēng)為無(wú)損耗并聯(lián)諧振器。2、第二個(gè)子網(wǎng)絡(luò)Hk(z)是N個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)是一個(gè)IIR子系統(tǒng)。每個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)都有一個(gè)極點(diǎn)WN-k，此子網(wǎng)絡(luò)共有N個(gè)極點(diǎn)均勻分布在單位圓上。Im(z)Re(z)0z0zN-1z1Im(z)Re(z)0z0zN-1z1梳狀濾波器在單位圓上的零點(diǎn)正是并聯(lián)諧振器在單位圓上的極點(diǎn)，因此當(dāng)兩網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)時(shí)，相互抵消。另外在z=0處的極點(diǎn)與一階零點(diǎn)也相互抵消，最后保留在z=0處的N-1階極點(diǎn)和有限z平面上的N-1個(gè)零點(diǎn)。兩系統(tǒng)級(jí)聯(lián)y(n)z-1WN0z-1WN-1z-1WN-(N-1)…H(0)H(1)H(N-1)x(n)-z-N1/N圖10頻率抽樣型結(jié)構(gòu)頻率抽樣型結(jié)構(gòu)主要特點(diǎn)是在頻率采樣點(diǎn)wk，H(ejwk)=H(k)因此只要調(diào)整H(k)就可以有效的調(diào)整系統(tǒng)的頻率特性。缺點(diǎn)：He(z)的零點(diǎn)由延時(shí)來(lái)實(shí)現(xiàn)，Hk(z)的極點(diǎn)由復(fù)數(shù)乘法來(lái)實(shí)現(xiàn)，因此在實(shí)際上二者不能準(zhǔn)確的完全抵消，從而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果極點(diǎn)落在單位圓外，系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。結(jié)構(gòu)如圖：Im(z)Re(z)0z0zN-1z1r1Im(z)Re(z)0z0zN-1z1r1這樣即使極點(diǎn)不能完全被零點(diǎn)抵消由于是在單位圓內(nèi)，也不會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定但要注意H(k)未作修正。頻率采樣型的修正1、將單位圓上所有零、極點(diǎn)移到單位圓內(nèi)半徑為r的圓上，r≈1，用rz-1來(lái)代替He(z)和Hk(z)中的z-1Re(z)0z0zN-1z1r1因此可將第k個(gè)和第N-k個(gè)諧振器合并成一個(gè)實(shí)系數(shù)的二階網(wǎng)絡(luò)N為偶數(shù)2、將并聯(lián)諧振器中的運(yùn)算都化為實(shí)數(shù)運(yùn)算諧振器的各個(gè)根為使系數(shù)為實(shí)數(shù)，將共軛根合并。共軛根在半徑為r的圓周上以實(shí)軸為軸成對(duì)稱(chēng)分布，滿足利用即可導(dǎo)出N為偶數(shù)時(shí)總共合并了N-2個(gè)（i=1～N/2-1）還剩k=0和k=N/2兩點(diǎn)0z0zN-1z1r1zN/2當(dāng)k=N/2時(shí)0z0zN-1z1r1N為奇數(shù)時(shí)總共合并了N-1個(gè)（i=1～(N-1)/2）還剩k=0點(diǎn)當(dāng)k=0時(shí)z-1-rH(N/2)z-1rH(0)z-1z-1b1i-r2b0i2rcos(2pi/N)圖11頻率抽樣型修正結(jié)構(gòu)N為奇數(shù)時(shí)無(wú)此項(xiàng)H1(z)H