人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第一章集合與常用邏輯用語（二）

第一章集合與常用邏輯用語1.4.1充分條件與必要條件第1課時(shí)在初中，我們已經(jīng)對(duì)命題有了初步的認(rèn)識(shí)．一般地，我們把語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題．中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多命題可以寫成“若p，則q”“如果p，那么q”等形式．其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論．本節(jié)主要討論這種形式的命題．下面我們將進(jìn)一步考查“若p，則q”形式的命題中p和q的關(guān)系，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的三個(gè)常用的邏輯用語—充分條件、必要條件和充要條件．在命題（1）（4）中，由條件p通過推理可以得出結(jié)論q，所以它們是真命題．在命題（2）（3）中，由條件p不能得出結(jié)論q，所以它們是假命題．上述命題（1）（4）中的p是q的充分條件，q是p的必要條件．而命題（2）（3）中的p不是q的充分條件，q不是p的必要條件．充分條件：有它就行必要條件：沒它不行例：：開關(guān)A閉合是燈泡亮的什么條件？例：開關(guān)A閉合是燈泡亮的什么條件？判斷（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）××√×方法規(guī)律：充分條件，必要條件的兩種判別方法思考例1中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件，即“四邊形的兩組對(duì)角分別相等”．這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個(gè)不同的充分條件嗎？我們說p是q的充分條件，是指由條件p可以推出結(jié)論q，但這并不意味著只能由這個(gè)條件p才能推出結(jié)論q．一般來說，對(duì)給定結(jié)論q，使得q成立的條件p是不唯一的．例如，我們知道，下列命題均為真命題：①若四邊形的兩組對(duì)邊分別相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；②若四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；③若四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，則這個(gè)四邊形是平行四邊形．所以，“四邊形的兩組對(duì)邊分別相等”“四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”“四邊形的兩條對(duì)角線互相平分”都是“四邊形是平行四邊形”的充分條件．事實(shí)上，例1中命題（1）及上述命題①②③均是平行四邊形的判定定理．所以，平行四邊形的每一條判定定理都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件，即這個(gè)條件能充分保證四邊形是平行四邊形．類似地，平行線的每一條判定定理都給出了“兩直線平行”的一個(gè)充分條件，例如“內(nèi)錯(cuò)角相等”這個(gè)條件就充分保證了“兩條直線平行”．一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件．例2

下列“若p，則q”形式的命題中，哪些q是p的必要條件？（1）若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角線分別相等；（2）若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形的三邊成比例；（3）若四邊形的對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)四邊形是菱形；思考例2中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)必要條件，即“這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角分別相等”．這樣的必要條件是唯一的嗎？如果不唯一，你能給出“四邊形是平行四邊形”的幾個(gè)其他必要條件嗎？我們說q是p的必要條件，是指以p為條件可以推出結(jié)論q，但這并不意味著由p只能推出結(jié)論q．一般來說，給定條件p，由p可以推出的結(jié)論q是不唯一的．例如，下列命題都是真命題．①若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別相等；②若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等．③若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分．這表明，“四邊形的兩組對(duì)邊分別相等”“這個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”“四邊形的兩條對(duì)角線互相平分”都是“四邊形是平行四邊形”的必要條件．我們知道，例2中命題（1）及上述命題①②③均為平行四邊形的性質(zhì)定理．所以，平行四邊形的每條性質(zhì)定理都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)必要條件．類似地，平行線的每條性質(zhì)定理都給出了“兩直線平行”的一個(gè)必要條件．例如“同位角相等”是“兩直線平行”的必要條件，也就是說，如果同位角不相等，那么就不可能有“兩直線平行”．一般地，數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件第一章

集合與常用邏輯用語1.4充分條件與必要條件

第2課時(shí)教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》人教A版（2019）第一章《集合與常用邏輯用語》第四節(jié)《充分條件與必要條件》以下是“常用邏輯用語”的課時(shí)安排：第四節(jié)第五節(jié)課時(shí)內(nèi)容充分條件與必要條件（共2課時(shí)）全稱量詞與存在量詞（共2課時(shí)）所在位置教材第17頁教材第26頁新教材內(nèi)容分析通過列舉學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)命題，加深學(xué)生對(duì)命題的條件與結(jié)論的認(rèn)識(shí)，主要以“若p則q”形式的命題為載體，通過考察命題中的條件p與結(jié)論q之間的關(guān)系，學(xué)習(xí)充分條件、必要條件、充要條件這三個(gè)邏輯用語。全稱量詞和存在量詞是數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的量詞，教材通過豐富的數(shù)學(xué)實(shí)例，介紹了這兩類量詞的意義，探究了全稱量詞命題和存在量詞命題的否定，并鼓勵(lì)學(xué)生使用新的數(shù)學(xué)符號(hào)，使學(xué)生習(xí)慣于運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)一些數(shù)學(xué)內(nèi)容。核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過觀察實(shí)例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義會(huì)辨析充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分又不必要條件，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過數(shù)學(xué)實(shí)例，使學(xué)生理解全稱量詞、存在量詞的意義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；會(huì)判定命題的真假，會(huì)寫出命題的否定，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng)。教學(xué)主線命題的真假判斷學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。2．會(huì)對(duì)某些命題的充要條件進(jìn)行證明，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)。重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解充要條件的含義難點(diǎn)：充分性、必要性證明充要條件的關(guān)系（一）新知導(dǎo)入創(chuàng)設(shè)情境，生成問題我國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，墨子所著《墨經(jīng)》對(duì)充分條件、必要條件的描述：充分條件：“有之則必然，無之則未必不然”必要條件：“無之則必不然，有之則未必然”物理中的邏輯古文中的邏輯在①、②兩個(gè)電路中，A、C的開閉與燈泡B亮起來，會(huì)形成什么邏輯條件呢？思考你能舉生活中存在“充分條件或必要條件”的邏輯語句或事例嗎？思考（一）新知導(dǎo)入探索交流，解決問題【問題1】已知p:整數(shù)a是6的倍數(shù),q:整數(shù)a是2和3的倍數(shù).請(qǐng)判斷:p是q的充分條件嗎?p是q的必要條件嗎?[答案]p?q,故p是q的充分條件,又q?p,故p是q的必要條件.【思考1】通過判斷,你發(fā)現(xiàn)了什么?這種關(guān)系是否對(duì)任意一個(gè)“若p,則q”的命題只要具備上述命題的條件都成立?你能用數(shù)學(xué)語言概括出來嗎?[提示]可以發(fā)現(xiàn)：p既是q的充分條件,又是q的必要條件,且這種關(guān)系對(duì)“若p,則q”的命題只要具備p?q,q?p都成立,即p?q.（二）充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作________．此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的________________，簡(jiǎn)稱為充要條件(sufficientandnecessarycondition)．顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的_____________．概括地說，如果________，那么p與q互為充要條件．充分必要條件充要條件（二）充要條件（1）如果p是q的充要條件，那么p與q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題，這種說法對(duì)嗎？（2）“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？（3）p是q的條件判斷還有什么情況？【思考2】[答案]（1）正確。（2）p是q的充要條件說明p是條件，q是結(jié)論；p的充要條件是q說明q是條件，p是結(jié)論。（3）若p?q，但q?p，則稱p是q的充分不必要條件．若q?p，但p

?

q，則稱p是q的必要不充分條件．若p?q，且q?p，則稱p是q的既不充分也不必要條件。（二）充要條件【辯一辯】判斷正誤：(1)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件． ()(2)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題． ()(3)q不是p的必要條件時(shí)，“p?q”成立． ()【做一做】

充要A√√√（三）充要條件的判斷例1.

【思維引導(dǎo)】分兩個(gè)步驟進(jìn)行判斷:①判斷充分性p?q;②判斷必要性q?p.【解析】

（三）充要條件的判斷2.集合法【類題通法】充分、必要條件的判斷方法1.定義法若p?q，但q?p，則稱p是q的充分不必要條件．若q?p，但p?q，則稱p是q的必要不充分條件．若p?q，且q?p，則稱p是q的充要條件。若p?q，且q?p，則稱p是q的既不充分也不必要條件。記法關(guān)系A(chǔ)BBAA=B圖示結(jié)論p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p,q互為充要條件p是q的既不充分也不必要條件（三）充要條件的判斷【鞏固練習(xí)1】

[解析](1)∵p?q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要條件．(2)∵p?q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要條件．(3)∵p不能推出q，q?p，∴p是q的必要不充分條件．(4)∵ab＝0時(shí)，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出

“ab>0”，即p不能推出q.而當(dāng)ab>0時(shí)，有|ab|＝ab，即q?p.

∴p是q的必要不充分條件．（四）充要條件的探求與證明[思維引導(dǎo)]從充分性、必要性兩方面證明．易錯(cuò)提醒：充分性與必要性的推導(dǎo)方向不能弄錯(cuò)例2.

[證明]

②必要性

（四）充要條件的探求與證明【類題通法】在證明時(shí)要注意兩種敘述方式的區(qū)別：①p是q的充要條件，則由p?q證的是充分性，由q?p證的是必要性；②p的充要條件是q，則由p?q證的是必要性，由q?p證的是充分性．[證明]【鞏固練習(xí)2】

充要條件的證明分充分性的證明和必要性的證明．（四）充要條件的探求與證明例3.【思維引導(dǎo)】至少有一個(gè)負(fù)根可能是一個(gè)負(fù)根也可能是兩個(gè)負(fù)根，需要分類討論．[解析]

（四）充要條件的探求與證明(1)探求A成立的充要條件時(shí)，先將A視為條件，并由A推導(dǎo)結(jié)論(設(shè)為B)，再證明B是A的充分條件，這樣就能說明A成立的充要條件是B，即從充分性和必要性兩方面說明．(2)將原命題進(jìn)行等價(jià)變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時(shí)也是證明的過程，因?yàn)樘角筮^程每一步都是等價(jià)的，所以不需要將充分性和必要性分開來說明．【類題通法】探求充要條件的方法（四）充要條件的探求與證明【鞏固練習(xí)3】

[解析]

（五）操作演練素養(yǎng)提升[答案]1.B2.B3.A4.A

1．設(shè)x∈R，則“1<x<2”是“1<x<3”的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件

3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4.已知a，b為實(shí)數(shù)，則“a＋b>4”是“a，b中至少有一個(gè)大于2”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件課堂小結(jié)