高中數(shù)學(xué)人教B版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù) 第1章2

1．1導(dǎo)數(shù)1．函數(shù)的平均變化率1．瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)1．理解函數(shù)平均變化率的概念，會(huì)求函數(shù)的平均變化率．(重點(diǎn))2．理解瞬時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)的概念．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))3．會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．[基礎(chǔ)·初探]教材整理1函數(shù)的平均變化率閱讀教材P3～P4“例1”以上部分，完成下列問(wèn)題．函數(shù)的平均變化率的定義一般地，已知函數(shù)y＝f(x)，x0，x1是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，記Δx＝x1－x0，Δy＝y(tǒng)1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，則當(dāng)Δx≠0時(shí)，商________＝eq\f(Δy,Δx)稱作函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均變化率．【答案】eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)Δx表示x2－x1，是相對(duì)于x1的一個(gè)增量，Δx可以為零．()(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可負(fù)也可以為零．()(3)eq\f(Δy,Δx)表示曲線y＝f(x)上兩點(diǎn)(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的斜率．()【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)閱讀教材P6～P8，完成下列問(wèn)題．1．物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度設(shè)物體運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的關(guān)系是s＝f(t)，當(dāng)______________時(shí)，函數(shù)f(t)在t0到t0＋Δt之間的平均變化率________________趨近于常數(shù)，我們把這個(gè)常數(shù)稱為t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度．2．函數(shù)的瞬時(shí)變化率設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x0及其附近有定義，當(dāng)自變量在x＝x0附近改變量為Δx時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)地改變?chǔ)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果當(dāng)Δx趨近于0時(shí)，平均變化率______________________________趨近于一個(gè)常數(shù)l，那么常數(shù)l稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率．記作：當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)→l.還可以說(shuō)：當(dāng)Δx→0時(shí)，函數(shù)平均變化率的極限等于函數(shù)在x0的瞬時(shí)變化率l，記作eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝l.3．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0的__________，通常稱為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，并記作________，即f′(x0)＝____________.4．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)x__________的，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導(dǎo)．這樣，對(duì)開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)每個(gè)值x，都對(duì)應(yīng)一個(gè)________________．于是，在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(x)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)．記為_(kāi)_______________．【答案】1.Δt趨近于0eq\f(ft0＋Δt－ft0,Δt)\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)3．瞬時(shí)變化率f′(x0)eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)4．都是可導(dǎo)確定的導(dǎo)數(shù)f′(x)f′(x)或y′(或y′x)1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值與Δx值的正、負(fù)無(wú)關(guān)．()(2)瞬時(shí)變化率是刻畫(huà)某函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化快慢的物理量．()(3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，Δx，Δy都不可能為零．()【解析】(1)由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)只與x0有關(guān)，故正確．(2)瞬時(shí)變化率是刻畫(huà)某一時(shí)刻變化快慢的物理量，故錯(cuò)誤．(3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，Δy可以為零，故錯(cuò)誤．【答案】(1)√(2)×(3)×2．函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的瞬時(shí)變化率是_________________________．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：05410000】【解析】∵f(x)＝x2，∴函數(shù)f(x)在x＝1處的瞬時(shí)變化率是eq\o(lim,\s\up6(),\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do14(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do14(Δx→0))eq\f(1＋Δx2－12,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do14(Δx→0))(2＋Δx)＝2.【答案】2[質(zhì)疑·手記](méi)預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：[小組合作型]求函數(shù)的平均變化率(1)已知函數(shù)y＝f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝時(shí)，Δy的值為()A． B．C． D．(2)已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)，分別計(jì)算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時(shí)的平均變化率，并判斷在哪個(gè)區(qū)間上函數(shù)值變化得較快．【精彩點(diǎn)撥】(1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋－f(2)可得．(2)eq\x(求Δx＝x2－x1)→eq\x(求Δy＝fx2－fx1)→eq\x(計(jì)算\f(Δy,Δx))【自主解答】(1)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f－f(2)＝－22＝.【答案】B(2)自變量x從1變到2時(shí)，函數(shù)f(x)的平均變化率為eq\f(f2－f1,2－1)＝eq\f(2＋\f(1,2)－1＋1,1)＝eq\f(1,2)；自變量x從3變到5時(shí)，函數(shù)f(x)的平均變化率為eq\f(f5－f3,5－3)＝eq\f(5＋\f(1,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,3))),2)＝eq\f(14,15).因?yàn)閑q\f(1,2)<eq\f(14,15)，所以函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)在自變量x從3變到5時(shí)函數(shù)值變化得較快．1．求函數(shù)平均變化率的三個(gè)步驟第一步，求自變量的增量Δx＝x2－x1；第二步，求函數(shù)值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；第三步，求平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).2．求平均變化率的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)求點(diǎn)x0附近的平均變化率，可用eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)的形式．[再練一題]1．函數(shù)y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均變化率是()A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋(Δx)2【解析】∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋Δx2,Δx)＝2＋Δx，故選C.【答案】C求瞬時(shí)速度(1)以初速度v0(v0>0)垂直上拋的物體，t秒時(shí)的高度為s(t)＝v0t－eq\f(1,2)gt2，則物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為_(kāi)_________．(2)某物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝2t3，則物體在第t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度是__________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：05410001】【精彩點(diǎn)撥】先求出eq\f(Δs,Δt)，再求eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt).【自主解答】(1)∵Δs＝v0(t0＋Δt)－eq\f(1,2)g(t0＋Δt)2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v0t0－\f(1,2)gt\o\al(2,0)))＝v0Δt－gt0Δt－eq\f(1,2)gΔt2，∴eq\f(Δs,Δt)＝v0－gt0－eq\f(1,2)gΔt，∴eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝v0－gt0，即t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為v0－gt0.(2)∵當(dāng)t＝1時(shí)，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2Δt3＋6Δt2＋6Δt,Δt)＝2(Δt)2＋6Δt＋6，∴eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝6，則物體在第t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度是6.【答案】(1)v0－gt0(2)61．求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟(1)求時(shí)間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)；(3)求瞬時(shí)速度，當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)無(wú)限趨近于常數(shù)v，即為瞬時(shí)速度．2．求eq\f(Δy,Δx)(當(dāng)Δx無(wú)限趨近于0時(shí))的極限的方法(1)在極限表達(dá)式中，可把Δx作為一個(gè)數(shù)來(lái)參與運(yùn)算．(2)求出eq\f(Δy,Δx)的表達(dá)式后，Δx無(wú)限趨近于0就是令Δx＝0，求出結(jié)果即可．[再練一題]2．一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝3t－t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)．(1)求此物體的初速度；(2)求此物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度；(3)求t＝0到t＝2時(shí)的平均速度．【解】(1)初速度v0＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(sΔt－s0,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(3Δt－Δt2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(3－Δt)＝3，即物體的初速度為3m/s.(2)v瞬＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(32＋Δt－2＋Δt2－3×2－4,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(－Δt2－Δt,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(－Δt－1)＝－1，即物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為1m/s，方向與初速度方向相反．(3)eq\x\to(v)＝eq\f(s2－s0,2－0)＝eq\f(6－4－0,2)＝1，即t＝0到t＝2時(shí)的平均速度為1m/s.[探究共研型]求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示時(shí)間．探究1試求質(zhì)點(diǎn)在[1,1＋Δt]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度．【提示】eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(8－31＋Δt2－8－3×12,Δt)＝－6－3Δt.探究2當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，探究1中的平均速度趨近于何值？如何理解這一速度？【提示】當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)趨近于－6.這時(shí)的平均速度即為t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度．(1)求函數(shù)f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2)求函數(shù)y＝3x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．【精彩點(diǎn)撥】求函數(shù)f(x)在任意點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)都應(yīng)先求平均變化率，再求f′(x0)．【自主解答】(1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3Δx－Δx2,Δx)＝3－Δx，∴f′(－1)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(3－Δx)＝3.(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝6＋3Δx，∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(6＋3Δx)＝6.1．通過(guò)本例(1)進(jìn)一步感受平均變化率與瞬時(shí)變化率的關(guān)系，對(duì)于Δy與Δx的比值，感受和認(rèn)識(shí)在Δx逐漸變小的過(guò)程中趨近于一個(gè)固定的常數(shù)A這一現(xiàn)象．2．用定義求函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均變化率eq\f(Δy,Δx)；(3)求極限，得導(dǎo)數(shù)為f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).簡(jiǎn)記為：一差、二比、三趨近．[再練一題]3．求函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．【解】∵Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋1－eq\f(1,1＋Δx)＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx)，∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2.[構(gòu)建·體系]1．已知函數(shù)y＝f(x)＝2x2的圖象上點(diǎn)P(1,2)及鄰近點(diǎn)Q(1＋Δx,2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)的值為()A．4 B．4xC．4＋2Δx2 D．4＋2Δx【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－2×12,Δx)＝4＋2Δx.【答案】D2．一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝1－t＋t2，其中s的單位是：m，t的單位是：s，那么物體在3s末的瞬時(shí)速度是()A．7m/s B．6m/sC．5m/s D．8m/s【解析】∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(1－3＋Δt＋3＋Δt2－1－3＋32,Δt)＝5＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(5＋Δt)＝5(m/s)．【答案】C3．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律s＝eq\f(1,2)gt2，則在時(shí)間區(qū)間(3,3＋Δt)內(nèi)的平均速度等于________．(g＝10m/s2)【解析】Δs＝eq\f(1,2)g×(3＋Δt)2－eq\f(1,2)g×32＝eq\f(1,2)×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝30＋5Δt.【答案】30＋5Δt4．一質(zhì)點(diǎn)M按運(yùn)動(dòng)方程s(t)＝at2＋1做直線運(yùn)動(dòng)(