人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第七章復(fù)數(shù)

第7章

復(fù)數(shù)7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念創(chuàng)設(shè)情境

①在整數(shù)集內(nèi)解方程3x－2＝0．

②在自然數(shù)集內(nèi)解方程x＋3＝0．

③在有理數(shù)集內(nèi)解方程

x2－2＝0．無解．添加負(fù)整數(shù)，在整數(shù)集內(nèi)方程的根為x＝－3．無解．添加分?jǐn)?shù)，在有理數(shù)集內(nèi)方程的根為無解．添加無理數(shù)，在實(shí)數(shù)集內(nèi)方程的根為數(shù)系的擴(kuò)充過程創(chuàng)設(shè)情境數(shù)系的擴(kuò)充過程自然數(shù)分?jǐn)?shù)有理數(shù)無理數(shù)實(shí)數(shù)負(fù)數(shù)②③整數(shù)①分?jǐn)?shù)

數(shù)集擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)集返回探究1：這個(gè)方程在實(shí)數(shù)集能得到解決嗎？小組活動(dòng)探究

我們能否仿照前面數(shù)集的每一次擴(kuò)充過程將實(shí)數(shù)集再次擴(kuò)充，使得在新的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決呢？思考引入一個(gè)新數(shù)：滿足對(duì)于一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．

建構(gòu)數(shù)學(xué)

1.復(fù)數(shù)的概念

形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù).全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般用字母C表示.2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式實(shí)部復(fù)數(shù)通常用字母

z表示，即虛部其中

稱為虛數(shù)單位。（a、bR）

規(guī)定：（1）i2＝－1；

（2）實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算，在進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法與

乘法的運(yùn)算律(包括交換律、結(jié)合律和分配律)仍然成立．建構(gòu)數(shù)學(xué)試一試

把下列式子化為a+bi（a、bR）的形式，并分別指出它們的實(shí)部和虛部。3-2i=

；-2i=

；4=

；0=

.4+0i0+(-2)i0+0i3+(-2)i建構(gòu)數(shù)學(xué)比較探究

通過以上幾個(gè)例子，復(fù)數(shù)z=a+bi可以是實(shí)數(shù)嗎？需要滿足什么條件？3.復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)a＋bi復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間有什么關(guān)系？復(fù)數(shù)集虛數(shù)集實(shí)數(shù)集純虛數(shù)集數(shù)學(xué)應(yīng)用牛刀小試1、下列數(shù)中，實(shí)數(shù)有

；虛數(shù)有

；其中純虛數(shù)是

。4，2－3i，0，4，0，2－3i，

數(shù)學(xué)應(yīng)用例1.實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，復(fù)數(shù)（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？解:（1）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)。（2）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)。（3）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是

純虛數(shù)。數(shù)學(xué)應(yīng)用

當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)

是（1）實(shí)數(shù)（2）虛數(shù)（3）純虛數(shù)．(3)m＝－2解:(1)m＝(2)m變式練習(xí)思考1

a＝0

是z＝

a＋

bi(a，bR)為純虛數(shù)的

條件.必要不充分?jǐn)?shù)學(xué)應(yīng)用探究2：例1中,實(shí)數(shù)m取什么值時(shí),復(fù)數(shù)z是6＋2i

?4.復(fù)數(shù)相等

如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．若a、b、c、d∈R，

a+bi=c+di探究3：兩個(gè)復(fù)數(shù)可以比較大小嗎?數(shù)學(xué)應(yīng)用注意：兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小,但是兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小。例2

已知

，其中x、y∈R

,

求x與y的值。解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組例2

已知

，其中x、y∈R

,

求x與y的值。數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用

已知，其中求解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組解得：變式練習(xí)復(fù)數(shù)有關(guān)的概念：數(shù)系的擴(kuò)充重要數(shù)學(xué)思想：分類討論.回顧小結(jié)1、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；2、復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部；3、虛數(shù)、純虛數(shù)；4、復(fù)數(shù)相等：復(fù)數(shù)Z=a+bi11)00(ba，非純虛數(shù)1=)00(ba，純虛數(shù)1)0(b虛數(shù)(=)0b實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)分類：若a、b、c、d∈R，

a+bi=c+di課后練習(xí)第7章

復(fù)數(shù)7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示．實(shí)數(shù)

數(shù)軸上的點(diǎn)

（形）（數(shù)）一一對(duì)應(yīng)創(chuàng)設(shè)情境

回顧初中在幾何上，我們用什么來表示實(shí)數(shù)?思考探究1：類比實(shí)數(shù)的表示，復(fù)數(shù)如何來表示？創(chuàng)設(shè)情境回憶…一個(gè)復(fù)數(shù)由什么惟一確定？復(fù)數(shù)的一般形式？實(shí)部虛部其中

稱為虛數(shù)單位。（a、bR）復(fù)數(shù)z＝a＋bi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a，b)xyobaZ(a，b)

建立了平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面x軸——實(shí)軸y軸——虛軸（數(shù)）（形）——復(fù)數(shù)平面(簡(jiǎn)稱復(fù)平面)一一對(duì)應(yīng)z＝a＋bi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a，b)（形）小組活動(dòng)探究1.復(fù)平面

探究2：建構(gòu)數(shù)學(xué)

實(shí)軸、虛軸上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系返回建構(gòu)數(shù)學(xué)思考：復(fù)平面內(nèi)，表示一對(duì)共軛虛數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)具有怎樣的位置關(guān)系?關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱建構(gòu)數(shù)學(xué)試一試1．如果復(fù)平面內(nèi)表示兩個(gè)虛數(shù)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么它們的實(shí)部和虛部分別滿足什么關(guān)系？2．“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上”的____________條件．互為相反數(shù)充要條件例1.已知復(fù)數(shù)z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)m允許的取值范圍．

數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用

數(shù)學(xué)應(yīng)用表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)所在象限的問題復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部所滿足的不等式組的問題轉(zhuǎn)化(幾何問題)(代數(shù)問題)一種重要的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學(xué)應(yīng)用復(fù)數(shù)z＝a＋bi直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a，b)一一對(duì)應(yīng)平面向量一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)xyobaZ(a，b)z＝a＋bi小結(jié)小組活動(dòng)探究小組活動(dòng)探究實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義是什么？能否類比定義復(fù)數(shù)的絕對(duì)值？對(duì)應(yīng)平面向量的模||，即復(fù)數(shù)z＝a＋bi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a，b)到原點(diǎn)的距離．建構(gòu)數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)應(yīng)用求|z1|及|z2|的值；試比較它們模的大?。畖z1|>|z2|數(shù)學(xué)應(yīng)用例3.

設(shè)z∈C，滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？（1）│Z│＝2，（2）2＜│Z│＜3．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用重要數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合回顧小結(jié)重要知識(shí)：(1)復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸、模的概念.(2)復(fù)數(shù)與點(diǎn)、向量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.(3)復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義及其應(yīng)用.注意：利用復(fù)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的值或范圍出錯(cuò).課后練習(xí)

當(dāng)<m<1時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(3m－2)＋(m－1)i(i為虛數(shù)單位，m∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限∴復(fù)數(shù)z＝(3m－2)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.第7章

復(fù)數(shù)7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義創(chuàng)設(shè)情境

試判斷下列復(fù)數(shù)

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面中落在第幾象限？畫出其對(duì)應(yīng)的向量，并計(jì)算思考所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,3），所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（6,-2），=（7，-1）返回探究1：回顧向量間的加減運(yùn)算，思考復(fù)數(shù)的加、減法與其是否相同？小組活動(dòng)探究1.復(fù)數(shù)加減的運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么(1)z1＋z2＝

；(2)z1－z2＝.2.加法運(yùn)算律對(duì)任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝

；(2)(z1＋z2)＋z3＝

.(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)小組活動(dòng)探究

建構(gòu)數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義如何？建構(gòu)數(shù)學(xué)1.復(fù)數(shù)加減法的幾何意義復(fù)數(shù)加法的幾何意義以

為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線OZ所對(duì)應(yīng)的向量

就是與復(fù)數(shù)z1＋z2對(duì)應(yīng)的向量

復(fù)數(shù)減法的幾何意義從向量

的終點(diǎn)指向向量

的終點(diǎn)的向量

就是復(fù)數(shù)z1－z2對(duì)應(yīng)的向量

建構(gòu)數(shù)學(xué)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，則|z1－z2|＝

，即兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的模就是復(fù)平面內(nèi)與這兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離.回憶…復(fù)數(shù)模的幾何意義？借助數(shù)軸，說出|x－x0|的幾何意義，同時(shí)進(jìn)行類復(fù)平面中|z1－z2|(z1，z2∈C)的幾何意義是什么？思考數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1計(jì)算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；解(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)；解(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.數(shù)學(xué)運(yùn)用（3）解：練習(xí)1.計(jì)算：(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.解：

數(shù)學(xué)應(yīng)用(2)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的運(yùn)算(類似于合并同類項(xiàng))：若有括號(hào)，括號(hào)優(yōu)先；若無括號(hào)，可以從左到右依次進(jìn)行計(jì)算．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用例2.如圖所示，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O，A，C分別對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為0，3＋2i，－2＋4i.求點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；解:由已知得∴點(diǎn)

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：解:由已知得解:由已知得

練習(xí)2.

若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，復(fù)數(shù)z2－z1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.數(shù)學(xué)應(yīng)用解：z2－z1＝1＋(a－1)i，由題意知a－1<0，∴a<1.向量加法、減法運(yùn)算的平行四邊形法則和三角形法則是復(fù)數(shù)加法、減法幾何意義的依據(jù)．利用加法“首尾相接”和減法“指向被減數(shù)”的特點(diǎn)，在三角形內(nèi)可求得第三個(gè)向量及其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．注意向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是zB－zA(終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)減去起點(diǎn)

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù))．?dāng)?shù)學(xué)小結(jié)重要數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合回顧小結(jié)2.復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義及其應(yīng)用.1.復(fù)數(shù)加減的運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么(1)z1＋z2＝_____________；(2)z1－z2＝__________;2.加法運(yùn)算律對(duì)任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝___________；(2)(z1＋z2)＋z3＝______________.課后思考

已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝2，則|z＋3－4i|的最小值是___________第7章

復(fù)數(shù)7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算及其幾何意義創(chuàng)設(shè)情境思考復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則是什么?回憶…實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算法則是什么?返回探究1：復(fù)數(shù)乘法的多項(xiàng)式運(yùn)算與實(shí)數(shù)的多項(xiàng)式運(yùn)算法則是否相同？復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律分別是什么?小組活動(dòng)探究建構(gòu)數(shù)學(xué)1.復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac-bd)＋(ad＋bc)i.2.乘法運(yùn)算律對(duì)于任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1z2＝____結(jié)合律(z1z2)z3＝_______乘法對(duì)加法的分配律z1(z2＋z3)＝__________z2z1z1(z2z3)z1z2＋z1z3數(shù)學(xué)運(yùn)用例1.計(jì)算:（1）(2－3i)(2＋3i)；(2)解:(1)(2－3i)(2＋3i)

＝(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i

＝4－9i2＝4+9

＝13.數(shù)學(xué)運(yùn)用例1.計(jì)算:(2)解:(2)數(shù)學(xué)運(yùn)用練習(xí)：(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解：(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i

＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i

＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i

＝(3＋11i)(3－4i)＋2i

＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i

＝53＋21i＋2i＝53＋23i.(1)三個(gè)或三個(gè)以上的復(fù)數(shù)相乘，可按從左向右的順序運(yùn)算，或利用結(jié)合律運(yùn)算.混合運(yùn)算的順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣.(2)平方差公式、完全平方公式等在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.數(shù)學(xué)運(yùn)用

探究2：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法