人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊知識要點復習總結

人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊知識要點復習總結第1章空間向量與立體幾何§1.1空間向量及其運算1.空間向量基本概念空間向量：在空間,我們把具有大小和方向的量叫作空間向量.長度（模）：空間向量的大小叫作空間向量的長度或模,記為或.零向量：長度為0的向量叫作零向量,記為.單位向量：模為1的向量叫作單位向量.相反向量：與向量長度相等而方向相反的向量,叫作的相反向量,記為.共線向量（平行向量）：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫作共線向量或平行向量.規(guī)定:零向量與任意向量平行.相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.2.空間向量的線性運算空間向量的線性運算包括加法、減法和數(shù)乘,其定義、畫法、運算律等均與平面向量相同.3.共線、共面向量基本定理（1）直線的方向向量：在直線上取非零向量,與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量.（2）共線向量基本定理：對任意兩個空間向量（），的充要條件是存在實數(shù)，使.（3）共面向量：如果表示向量的有向線段所在的直線與直線平行或重合,那么稱向量平行于直線.如果直線平行于平面或在平面內(nèi),那么稱向量平行于平面.平行于同一個平面的向量,叫作共面向量.（4）共面向量基本定理:如果兩個向量,不共線,那么向量與向量,共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對,使.4.空間向量的數(shù)量積（1）向量的夾角：已知兩個非零向量,,在空間任取一點,作,則叫作向量,的夾角,記作.如果,那么向量互相垂直,記作.（2）數(shù)量積定義：已知兩個非零向量,則叫作的數(shù)量積,記作.即.（3）數(shù)量積的性質(zhì)：.（4）空間向量的數(shù)量積滿足如下的運算律：(交換律):（分配律).推論：，.（5）向量的投影向量：向量在向量上的投影向量：向量在平面內(nèi)的投影向量與向量的夾角就是向量所在直線與平面所成的角.§1.2空間向量基本定理1.空間向量基本定理如果三個向量不共面，那么對空間任意一個空間向量.存在唯一的有序實數(shù)組.使得.2.基底與正交分解(1)基底:如果三個向量不共面,那么我們把叫作空間的一個基底,都叫作基向量.(2)正交分解:如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直.且長度都為1.那么這個基底叫作單位正交基底，常用表示.把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量,叫作把空間向量進行正交分解.§1.3空間向量及其運算的坐標表示1.空間直角坐標系在空間選定點和一個單位正交基底.以點為原點，分別以的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸:軸.軸、軸,它們都叫作坐標軸.這時我們就建立了一個空間直角坐標系,叫作原點，都叫作坐標向量,通過每兩個坐標軸的平面叫作坐標平面.空間直角坐標系通常使用的都是右手直角坐標系.2.空間向量的坐標在空間直角坐標系中為坐標向量.給定任一向量,存在唯一的有序實數(shù)組,使.有序實數(shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標.記作.也叫點在空間直角坐標系中的坐標.記作.3.空間向量運算的坐標表示設，則：（1），（2），（3）.4.空間向量平行、垂直、模長、夾角的坐標表示（1），（2），（3），（4）.5.空間兩點間的距離公式設，則.§1.4空間向量的應用1.平面的法向量：直線，取直線的方向向量，稱為平面的法向量.2.空間中直線、平面的平行（1）線線平行:若分別為直線的方向向量,則使得.（2）線面平行:設直線的方向向量,是平面的法向量,，則.法2:在平面內(nèi)取一個非零向量,若存在實數(shù),使得,且，則.法3:在平面內(nèi)取兩個不共線向量,若存在實數(shù)，使得,且,則.（3）面面平行:設分別是平面的法向量，則，使得.3.空間中直線、平面的垂直（1）線線垂直:若分別為直線的方向向量,則.（2）線面垂直:設直線的方向向量,是平面的法向量,則，使得.法2:在平面內(nèi)取兩個不共線向量,若.則.（3）面面垂直:設分別是平面的法向量，則.4.用空間向量研究距離、夾角問題（1）點到直線的距離：已知是直線上任意兩點,是外一點，，則點到直線的距離為.(2)求點到平面的距離已知平面的法向量為,是平面內(nèi)的任一點，是平面外一點,過點作則平面的垂線，交平面于點,則點到平面的距離為.（3）直線與直線的夾角若分別為直線的方向向量，為直線的夾角，則.(4)直線與平面的夾角設是直線的方向向量,是平面的法向量,直線與平面的夾角為.則.（5）平面與平面的夾角平面與平面的夾角：兩個平面相交形成四個二面角,我們把這四個二面角中不大于的二面角稱為這兩個平面的夾角.若分別為平面的法向量，為平面的夾角，則.第2章直線和圓的方程§2.1直線的傾斜角與斜率1.傾斜角與斜率：傾斜角：當直線與軸相交時，以軸為基準，軸正向和直線向上的方向之間所成的角叫直線的傾斜角，取值范圍為.斜率：直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用來表示.斜率公式：如果直線經(jīng)過兩點,則.直線的方向向量：斜率為的直線的一個方向向量是,若斜率為的直線的一個方向向量的坐標為，則.2.兩條直線平行和垂直的判定斜率分別為的兩條不重合的直線，有.斜率分別為的兩條直線，有.§2.2直線的方程1.直線方程：⑴點斜式：（不能表示斜率不存在的直線）⑵斜截式：（不能表示斜率不存在的直線，是直線與軸的交點縱坐標（即軸上的截距））⑶兩點式：⑷截距式：（是直線在軸上的截距，且）⑸一般式：（不同時為0）2.給定直線方程判斷直線的位置關系：（一）對于直線有：⑴；⑵和相交；⑶和重合；⑷.（二）對于直線：（1）與直線垂直的一個向量為，平行的一個向量為.（2）對于直線有：；和相交；.§2.3直線的交點坐標與距離公式（1）兩點間距離公式：已知，則.（2）點到直線距離公式：到直線的距離為：.（3）兩平行線間的距離公式：：與：間的距離為：.§2.4圓與方程1.圓的方程：⑴標準方程：(其中圓心為，半徑為.)⑵一般方程：.().§2.5直線與圓、圓與圓的位置關系1.直線與圓的位置關系:（表示圓心到直線的距離）;;.2.直線和圓相交弦長公式：（表示圓心到直線的距離）3.兩圓位置關系：（1）外離：；（2）外切：；（3）相交：；（4）內(nèi)切：（）；（5）內(nèi)含：（.第3章圓錐曲線的方程§3.1橢圓定義平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫橢圓，兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程范圍且且頂點、、、、軸長長軸的長短軸的長對稱性關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱焦點、、焦距關系離心率焦點三角形面積通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：弦長公式，§3.2雙曲線定義平面內(nèi)與兩個定點、的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)（小于）的點的軌跡叫雙曲線，兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程范圍或，或，頂點、、軸長實軸的長虛軸的長對稱性關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱焦點、、焦距關系離心率漸近線方程焦點到漸近線距離焦點三角形面積通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：§3.3拋物線定義平面內(nèi)與一定點和一條定直線(不經(jīng)過點)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點叫拋物線的焦點，直線叫拋物線的準線.圖形標準方程頂點離心率對稱軸軸軸范圍焦點準線方程通徑過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑：焦點弦長公式參數(shù)的幾何意義參數(shù)表示焦點到準線的距離，越大，開口越闊高中數(shù)學 選擇性必修第一冊第一章 空間向量與立體幾何一、知識要點1、空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫作向量。注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不變性2、空間向量的運算定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下（如圖）。;;運算律：（1）加法交換律：（2）加法結合律：（3）數(shù)乘分配律：運算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3、共線向量（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫作共線向量或平行向量，平行于，記作。（2）共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//存在實數(shù)λ，使＝λ。（3）三點共線：A、B、C三點共線<=><=>（其中x+y=1）（4）與共線的單位向量為4、共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫作共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的條件是存在實數(shù)x，y使。（3）四點共面：若A、B、C、P四點共面<=> <=>5、空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數(shù)組，使。若三向量不共面，我們把叫作空間的一個基底，叫作基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序實數(shù)x，y，z，使。6、空間向量的直角坐標系：（1）空間直角坐標系中的坐標：在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序實數(shù)組，使，有序實數(shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標。注：①點A（x,y,z）關于x軸的的對稱點為(x,-y,-z),關于xoy平面的對稱點為(x,y,-z).即點關于什么軸/平面對稱，什么坐標不變，其余的分坐標均相反。②在y軸上的點設為(0,y,0),在平面yOz中的點設為(0,y,z)。空間中任一向量=（x,y,z）（3）空間向量的直角坐標運算律：①若，，則，，，，，②若，，則一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。③定比分點公式：若，，，則點P坐標為。推導：設P（x，y，z）則,顯然，當P為AB中點時，④，三角形重心P坐標為⑤ΔABC的五心：內(nèi)心P：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點。（單位向量）外心P：外接圓的圓心，中垂線的交點。垂心P：高的交點：（移項，內(nèi)積為0，則垂直）重心P：中線的交點，三等分點（中位線比）中心：正三角形的所有心的合一。（4）模長公式：若，，則，（5）夾角公式：。ΔABC中①<=>A為銳角②<=>A為鈍角，鈍角Δ（6）兩點間的距離公式：若，，則，或7、空間向量的數(shù)量積。（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫作向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。（2）向量的模：設，則有向線段的長度叫作向量的長度或模，記作：。（3）向量的數(shù)量積：已知向量，則叫作的數(shù)量積，記作，即（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：①②③（5）空間向量數(shù)量積運算律：①。②（交換律）。③（分配律）。④不滿足乘法結合律：二、空間向量與立體幾何1、線線平行兩線的方向向量平行 線面平行線的方向向量與面的法向量垂直 面面平行兩面的法向量平行2、線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直 線面垂直線與面的法向量平行 面面垂直兩面的法向量垂直3、線線夾角（共面與異面）兩線的方向向量的夾角或夾角的補角，線面夾角：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量與面的法向量的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補角；再求其余角，即是線面的夾角.面面夾角（二面角）：若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法向量同進同出，則二面角等于法向量的夾角的補角.4、點面距離：求點到平面的距離：在平面上去一點，得向量;；計算平面的法向量;.線面距離（線面平行）：轉化為點面距離面面距離（面面平行）：轉化為點面距離

第二章 直線和圓的方程一、直線方程1、直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫作這條直線的傾斜角，其中直線與軸平行或重合時，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是.注：①當或時，直線垂直于軸，它的斜率不存在.②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當直線的斜率一定時，其傾斜角也對應確定.2、直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.特別地，當直線經(jīng)過兩點，即直線在軸，軸上的截距分別為時，直線方程是：.注：若是一直線的方程，則這條直線的方程是，但若則不是這條線.附：直線系：對于直線的斜截式方程，當均為確定的數(shù)值時，它表示一條確定的直線，如果變化時，對應的直線也會變化.①當為定植，變化時，它們表示過定點（0，）的直線束.②當為定值，變化時，它們表示一組平行直線.3、（1）兩條直線平行：∥兩條直線平行的條件是：①和是兩條不重合的直線.②在和的斜率都存在的前提下得到的.因此，應特別注意，抽掉或忽視其中任一個“前提”都會導致結論的錯誤.（一般的結論是：對于兩條直線，它們在軸上的縱截距是，則∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分條件，且）推論：如果兩條直線的傾斜角為則∥.（2）兩條直線垂直：兩條直線垂直的條件：①設兩條直線和的斜率分別為和，則有這里的前提是的斜率都存在.②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.（即是垂直的充要條件）4、直線的交角：（1）直線到的角（方向角）；直線到的角，是指直線繞交點依逆時針方向旋轉到與重合時所轉動的角，它的范圍是，當時.（2）兩條相交直線與的夾角：兩條相交直線與的夾角，是指由與相交所成的四個角中最小的正角，又稱為和所成的角，它的取值范圍是，當，則有.5、過兩直線的交點的直線系方程為參數(shù)，不包括在內(nèi)）6、點到直線的距離：（1）點到直線的距離公式：設點，直線到的距離為，則有.注：①兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：.特例：點P(x,y)到原點O的距離：②定比分點坐標分式。若點P(x,y)分有向線段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).則特例，中點坐標公式；重要結論，三角形重心坐標公式。③直線的傾斜角（0°≤＜180°）、斜率:④過兩點.當（即直線和x軸垂直）時，直線的傾斜角＝，沒有斜率（2）兩條平行線間的距離公式：設兩條平行直線，它們之間的距離為，則有.注：直線系方程①與直線：Ax+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.(m?R,C≠m).②與直線：Ax+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.(m?R)③過定點（x1,y1）的直線系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全為0)④過直線l1、l2交點的直線系方程：（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2）=0(λ?R）注：該直線系不含l2.7、關于點對稱和關于某直線對稱：（1）關于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.（2）關于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.（3）點關于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上（方程①），過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對稱點.注：①曲線、直線關于一直線（）對稱的解法：y換x，x換y.例：曲線f(x,y)=0關于直線y=x–2對稱曲線方程是f(y+2,x–2)=0.②曲線C:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線方程是f(a–x,2b–y)=0.二、圓的方程1、（1）曲線與方程：在直角坐標系中，如果某曲線上的與一個二元方程的實數(shù)建立了如下關系：①曲線上的點的坐標都是這個方程的解.②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么這個方程叫作曲線方程；這條曲線叫作方程的曲線（圖形）.（2）曲線和方程的關系，實質(zhì)上是曲線上任一點其坐標與方程的一種關系，曲線上任一點是方程的解；反過來，滿足方程的解所對應的點是曲線上的點.注：如果曲線C的方程是f(x,y)=0，那么點P0(x0,y)線C上的充要條件是f(x0,y0)=02、圓的標準方程：以點為圓心，為半徑的圓的標準方程是.特例：圓心在坐標原點，半徑為的圓的方程是：.注：特殊圓的方程：①與軸相切的圓方程②與軸相切的圓方程③與軸軸都相切的圓方程3、圓的一般方程：.當時，方程表示一個圓，其中圓心，半徑.當時，方程表示一個點.當時，方程無圖形（稱虛圓）.注：①圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）.②方程表示圓的充要條件是：且且.③圓的直徑或方程：已知（用向量可征）.4、點和圓的位置關系：給定點及圓.①在圓內(nèi) ②在圓上③在圓外5、直線和圓的位置關系：設圓圓：；直線：；圓心到直線的距離.①時，與相切；附：若兩圓相切，則相減為公切線方程.②時，與相交；附：公共弦方程：設有兩個交點，則其公共弦方程為③時，與相離.附：若兩圓相離，則相減為圓心的連線的中與線方程.由代數(shù)特征判斷：方程組用代入法，得關于（或）的一元二次方程，其判別式為，則：與相切；與相交；與相離.注：若兩圓為同心圓則，相減，不表示直線.6、圓的切線方程：圓的斜率為的切線方程是過圓上一點的切線方程為：.①一般方程若點(x0,y0)在圓上，則(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特別地，過圓上一點的切線方程為.②若點(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程.7、求切點弦方程：方法是構造圖，則切點弦方程即轉化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共圓.已知的方程…①又以ABCD為圓為方程為…②…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求.三、曲線和方程1、曲線與方程：在直角坐標系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關系：①曲線C上的點的坐標都是方程f(x,y)=0的解（純粹性）；②方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上（完備性）。則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫作方程f(x,y)=0的曲線。2、求曲線方程的方法：.①直接法：建系設點，列式表標,簡化檢驗;②參數(shù)法;③定義法，④待定系數(shù)法.第三章 圓錐曲線方程一、橢圓方程1、橢圓方程的第一定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于定長（定長通常等于2a，且2a>F1F2）的點的軌跡叫橢圓。（1）①橢圓的標準方程：中心在原點，焦點在x軸上：.中心在原點，焦點在軸上：.注：以上方程中的大小，其中；在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。②一般方程：.③橢圓的標準方程：的參數(shù)方程為（一象限應是屬于）.（2）橢圓的性質(zhì)①頂點：或.②軸：對稱軸：x軸，軸；長軸長，短軸長.③焦點：或.④焦距：.⑤準線：或.⑥離心率：.【∵，∴，且越接近，就越接近，從而就越小，對應的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓。當且僅當時，，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。】⑦焦（點）半徑：設為橢圓上的一點，為左、右焦點，則設為橢圓上的一點，為上、下焦點，則由橢圓第二定義可知：歸結起來為“左加右減”.注意：橢圓參數(shù)方程的推導：得方程的軌跡為橢圓.⑧通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫作通徑.坐標：和⑨焦點三角形的面積：若P是橢圓：上的點.為焦點，若，則的面積為（用余弦定理與可得）。若是雙曲線，則面積為。共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數(shù)，的離心率也是我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.2、橢圓的第二定義：平面內(nèi)到定點F的距離和它到一條定直線L（F不在L上）的距離的比為常數(shù)e（）的點的軌跡叫作橢圓。其中定點F為橢圓的焦點，定直線L為橢圓焦點F相應的準線。二、雙曲線方程1、雙曲線的第一定義:平面內(nèi)到到兩個定點F1，F(xiàn)2的差的絕對值等于定長（定長通常等于2a，且2a<F1F2）的點的軌跡叫作雙曲線。（）。（1）①雙曲線標準方程：.一般方程：.（2）①焦點在x軸上：頂點：焦點：準線方程漸近線方程：或焦點在軸上：頂點：.焦點：.準線方程：.漸近線方程：或，參數(shù)方程：或.②軸為對稱軸，實軸長為2a,虛軸長為2b，焦距2c.③離心率. ④準線距（兩準線的距離）；通徑.⑤參數(shù)關系. ⑥焦（點）半徑公式：對于雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）“長加短減”原則：（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號）構成滿足（3）等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線。定義式：；等軸雙曲線的性質(zhì)：①漸近線方程為：；②漸近線互相垂直。注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設為：，當時交點在軸，當時焦點在軸上。（4）共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫作已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.（5）共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設為.例如：若雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程？解：令雙曲線的方程為：，代入得.2、雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到定點F的距離和它到一條定直線L（F不在L上）的距離的比為常數(shù)e（e>1）的點的軌跡叫作雙曲線。其中定點F為雙曲線的焦點，定直線L為雙曲線焦點F相應的準線。三、拋物線方程（1）拋物線的概念：平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫作拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫作拋物線的焦點，定直線l叫作拋物線的準線。方程叫作拋物線的標準方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（,0），它的準線方程是；（2）拋物線的性質(zhì)設，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì)：圖形焦點準線方程范圍對稱軸軸軸頂點（0，0）離心率焦半徑通徑2p2p2p2p焦