高二物理競賽機械振動 課件

簡諧振動

簡諧振動的實例

簡諧振動的合成與分析

實際振動

14.1

14.2

14.3

14.4目錄基本概念

機械振動物體在它的平衡位置附近所作的往復(fù)運動。如聲源的振動、鐘擺的擺動等。

物體發(fā)生機械振動的條件：物體受到始終指向平衡位置的回復(fù)力；物體具有慣性。

簡諧振動是最簡單、最基本的振動理想模型。它是研究各種復(fù)雜振動的重要基礎(chǔ)。這里主要討論簡諧振動。簡諧振動實例14.2.4簡諧振動的能量14.2.2單擺14.2.1彈簧振子14.2.3無阻尼電磁振蕩1.彈簧振子mFFkxFFaamFFxkmw2km令

aw2xxxddt22+kmx0XFFmOOxxxxcosA()wtj+vdtdxxAsinw()wtj+avddt2wcosA()wtj+簡諧振動實例2.單擺OOOOllqqmgmgMM根據(jù)轉(zhuǎn)動定律令整理得解方程得振動周期為簡諧振動實例角時擺球受力矩為則MmglqMmglsinq~sinq~q取擺幅很小q3.無阻尼電磁振蕩

G因為而整理得其中令解得簡諧振動實例簡諧振動簡諧振動的運動方程xxcosA()wtj+簡諧振動的速度時間關(guān)系vdtdxxAsinw()wtj+

簡諧振動的加速度時間關(guān)系avddt2wcosA()wtj+2wxtttXvaOOOAA2wAwxxcosA()wtj+vdtdxxAsinw(wtj+)

avddt2wcosA()wtj+0AAXv最大a0a最大v0a最大v0簡諧振動簡諧振動振幅A：x的最大絕對值,只有正值簡諧振動的特征量XOOxOxOxOxOOvOvAA周期：T完成一次振動需時間頻率：nT1n角頻率w：w2pn相位：在任一時刻t振動物體的運動狀態(tài)（位置和速度），就由

完全確定。初相：時刻t=0時的相位稱為初相。()wtj+簡諧振動簡諧振動的特征量XOOxOxOxOxOOvOvAAxxcosA()wtj+,()wtj+vAsinw運動狀態(tài)要由位置和速度同時描述，而和的正負(fù)取決于

vxxvF相位：F()wtj+是界定振子在時刻的運動狀態(tài)的物理量ttO，不是指開始振動，而是指開始觀測和計時。所謂時質(zhì)點的運動狀態(tài)xxcosAjOvAsinwjO位置速度tO初始條件即為初相：jtO是時，振子的相位。OOAAXXOjM(0)Aj初相wM(

t

)twtwM(

t

)twM(

t

)twM(

t

)M(

t

)twM(

t

)twM(T

)Tw周期

T簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法M(

t

)twM(

t

)twXOjM(0)j初相M(

t

)twAw矢量端點在X

軸上的投影對應(yīng)振子的位置坐標(biāo)OOt時刻的振動相位(wt﹢j)F旋轉(zhuǎn)矢量A以勻角速w逆時針轉(zhuǎn)動循環(huán)往復(fù)x=A

cos(wt﹢j)簡諧振動方程旋轉(zhuǎn)矢量端點M

作勻速圓周運動振子的運動速度（與X軸同向為正）vwA其速率MvvcosqvcosbwAsinvFsinjtw+()MMMAXOAAXOvwMFqbvvjtw+()F2pbObpqanMa

旋轉(zhuǎn)矢量端點M

的加速度為法向加速度，其大小為anw2A振子的運動加速度（與X軸同向為正）w2AaancosFcosjtw+()av任一時刻的和值，其正負(fù)號僅表示方向。va同號時為加速va異號時為減速

振子運動速度vAsinw()wtj+xxcosA()wtj+簡諧振動方程km彈簧勁度振子質(zhì)量w振動角頻率mk振動系統(tǒng)：

如水平彈簧振子12Ekmv212mAsinw()wtj+222系統(tǒng)動能系統(tǒng)勢能12212A()wtj+22EpkxxkcosE+EkEp12mw2A212kA2系統(tǒng)總能量EkEp均隨時間而變且能量相互轉(zhuǎn)換EkEp變到最大時變?yōu)榱鉋pEk系統(tǒng)的機械能E守恒。E8w2及A2特點變?yōu)榱阕兊阶畲髸rEkEpEEk+Ep時間

0能量簡諧振動的能量14.4簡諧振動的合成與分析14.4.114.4.2章節(jié)AB14.4.4D14.4.3CN個同頻率、同振動方向的簡諧振動的合成兩個同頻率、相互垂直的簡諧振動的合成兩個同頻率、同振動方向的簡諧振動的合成兩個不同頻率，同振動方向簡諧振動的合成14.4.1兩個同方向簡諧振動的合成同頻率xx22yOX1Aj1wA2w2j2jwAjjxx1y1yxxj與計時起始時刻有關(guān)合成初相分振動初相差j12j與計時起始時刻無關(guān)，但它對合成振幅屬相長還是相消合成起決定作用Axx1cos()wt+A1j1cos()wt2j+A2xx2且相同w同在X

軸合成振動xx1xx2xx+用旋轉(zhuǎn)矢量法可求得合成振動方程)xxcos()wtj+AAA12+A222A1A2cos(2jj1+j12arctanyxarctany+yx1+x2arctanA1cossinj1+A2sin2jA1j1+A2cos2jxx1cos()wt+A1j1cos()wt2j+A2xx2合振動分振動；xxAcos()wt+jAcos)(2jj1A12+A222A1A2+其中，合振幅2jj1若2p+k0()21,k,,...則cos2jj1()1AA12+A222A1A2++A2為合振幅可能達(dá)到的最大值若A1A1A2則AA12,若2jj10()21,k,,...則cos2jj1()-1AA12+A222A1A2為合振幅可能達(dá)到的最小值若A1A2則A2p+k(+1)A2A10,若2jj1為其它值，則處于AA2A1A2A1+與之間14.4.1兩個同頻率、同方向簡諧振動的合成14.4.3兩個不同頻率，同振動方向簡諧振動的合成為了突出重點，設(shè)兩分振動的振幅相等且初相均為零。xx1Acoswt1coswt2Axx22pnAcost12pnAcost2+合振動xx1xx2xx+2pnAcost12pnAcost2此合振動不是簡諧振動，一般比較復(fù)雜，只介紹一種常見現(xiàn)象：A2t2pcosn1+n222pcosn1n22tn1n22+頻率為

的簡諧振動頻率為

的簡諧振動n1n2214.4.3兩個不同頻率，同振動方向簡諧振動的合成若n2n1與相差不大，n1n2n1+n2xxA2t2pcosn1+n222pcos2n1n2t可看作呈周期性慢變的振幅合振動頻率相對較高的簡諧振動ttAA8Hz9Hzn1n2兩分振動的頻率()()1秒合振動頻率n1+n22tA2合振動振幅（包絡(luò)線）變化的頻率稱為nn1n21Hz“

拍頻”n8.5Hz()()例如：xxcos()wt+A1j1cos()wt2j+A2y消去

t得軌跡方程：2+xxA12y2A222A1A2xxycos()2jj1sin()2jj12該方程為橢圓的普遍方程，若2jj10或yA2A1xx得直線2p+k(),...21k,2jj1或yA2A1xx得直線若+p2p+k(),...21k,(+1)若介紹幾種特殊情況：2jj1p2+得正橢圓2+xxA12y2A22114.4.4兩個同頻率，相互垂直的簡諧振動的合成14.4.4兩個同頻率，相互垂直的簡諧振動的合成兩個同頻率相互垂直簡諧振動合成圖線舉例：直線直線正橢圓正橢圓A1A2XOYXOYA2A12jj1p22jp2j10p232jj102jj1pp23或21斜橢圓斜橢圓A1YA2XOA1A2XOY2jj1p32jj1p232jp3j102jp32j10A1YA2XOA1A2XOY2jj102j0j102jj1p2jpj1014.4.4兩個不同頻率，相互垂直的簡諧振動的合成xxcos()t+A1j1cos()t2j+A2yw2w1其合運動一般較復(fù)雜，且軌跡不穩(wěn)定。但當(dāng)為兩個簡單的整數(shù)之比時w2w1可以得到穩(wěn)定軌跡圖形，稱為李薩如圖形w1w22113322jj1p2pp234p4p5例如14.3.2n個同頻率、同振動方向的簡諧振動的合成已知14.3.2n個同頻率、同振動方向的簡諧振動的合成Textinhere分析及結(jié)果根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量合成應(yīng)為根據(jù)等腰三角形關(guān)系有因此得14.3.2n個同頻率、同振動方向的簡諧振動的合成Textinhere討論(1)各分振動初相位相同時(2)各分振動初相位差

,k’為不等于nk的整數(shù)(k為自然數(shù))時14.4實際振動14.1

14.2阻尼振動受迫共振振動

實際振動14.4.1阻尼振動稱為阻尼振動或衰減振動tXO振幅逐漸衰減的振動形成阻尼振動的原因：振動系統(tǒng)受摩擦、粘滯等阻力作用，造成熱損耗；振動能量轉(zhuǎn)變?yōu)椴ǖ哪芰肯蛑車鷤鞑セ蜉椛?。以第一種原因為例，建立阻尼振動的力學(xué)模型。X以液體中的水平彈簧振子為例：XOOxx摩擦阻力vvfrfrffmm彈性力振動速度不太大時受g：阻力系數(shù)摩擦阻力vgfr與反向v負(fù)號：fr彈性力fkxx振子

受m合外力Fkxxvgkxxgddtxmddtx22即ddtx22xxddtxkmgm令kmw02gmb2+w0稱為振動系統(tǒng)的固有角頻率得ddtx22b2ddtx+w02xx0b稱為阻尼系數(shù)若阻尼較弱，且w0b時，上述微分方程的解為A0exxbcos()wt+jt14.4.1阻尼振動A0和j取決于初始狀態(tài)。w為振動角頻率，w02b2A0exxb)+jcos(wtt為阻尼振動的振幅，隨時間的增大而指數(shù)衰減。A0ebt越大，振幅衰減越快，且振動周期越長。bTtXOA0ebt)+jcos(wt本圖設(shè)j0T2pTw周期w02b22pA0ebt14.4.1阻尼振動

相對較大的阻尼振動，其振幅衰減較快，但只要滿足bbw0，振子仍可出現(xiàn)往復(fù)運動的特征，仍屬阻尼振動。若阻尼過大，以致bw0，用此條件求解微分方程，其結(jié)果表明（數(shù)學(xué)表達(dá)從略）振子不能作往復(fù)運動，而是從開始的最大位置緩慢地回到平衡位置。此情況稱為過阻尼。若bw0，振子從開始的最大位置較快地回到平衡位置，并處于往復(fù)運動的臨界狀態(tài)。此情況稱為臨界阻尼。臨界阻尼w0b過阻尼w0bOXt阻尼振動w0b14.4.1阻尼振動14.4.2受迫振動共振

系統(tǒng)在周期性外力的持續(xù)作用下所作的等幅振動稱為受迫振動。建立動力學(xué)方程振動系統(tǒng)振動系統(tǒng)幅值角頻率pH周期性外力（強迫力）H彈性力fxkmmvvX平衡點平衡點OO阻力阻力frfrvgvg示意costwddtx22xxddtxkmgH+costwddtx22即+kmgmddtx+xxmHcostw表成ddtx22+b2ddtx+w02xxhcos