工程電磁場(chǎng)第二章

工程電磁場(chǎng)第二章第一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/41本章重點(diǎn)靜電場(chǎng)解的唯一性定理。電場(chǎng)強(qiáng)度、電位移矢量、電位、極化等概念；靜電場(chǎng)基本方程和分界面條件；電場(chǎng)強(qiáng)度、電位的各種計(jì)算方法；邊值問題、簡(jiǎn)單邊值問題的解析解法；第二頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/42由庫侖定律引出電場(chǎng)的基本概念，定義電場(chǎng)強(qiáng)度E；借助于電偶極子模型，引入極化電荷概念；考慮電介質(zhì)對(duì)電場(chǎng)的影響(具體體現(xiàn)為介電常數(shù)ε)，定義電位移矢量D；本章總體思路導(dǎo)出靜電場(chǎng)的環(huán)路定理和高斯通量定理;定義電位；第三頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/43導(dǎo)出靜電場(chǎng)的基本方程和輔助方程；根據(jù)基本方程的積分形式導(dǎo)出靜電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移矢量的分界面條件；由靜電場(chǎng)基本方程的微分形式，導(dǎo)出用電位表示的靜電場(chǎng)邊值問題，并證明靜電場(chǎng)解的唯一性定理；第四頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/442.1庫侖定律電場(chǎng)強(qiáng)度1.庫侖定律N(牛頓)N(牛頓)

庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律。大量試驗(yàn)表明:真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷與之間的相互作用力圖2.1.1兩點(diǎn)電荷間的作用力第五頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/45是為了以后表述的方便。電荷量的單位是庫[侖]（C）比例系數(shù)是真空中的介電常數(shù)。在國(guó)際單位制中距離的單位是米（m）力的單位是牛頓（N）F/m第六頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/46適用條件兩個(gè)可視為點(diǎn)電荷的帶電體之間相互作用力；無限大真空情況可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中第七頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/47結(jié)論：電場(chǎng)力符合矢量疊加原理。如果是三個(gè)帶電體結(jié)論是否相同？否。思考題當(dāng)真空中引入第三個(gè)點(diǎn)電荷

時(shí)，試問與相互間的作用力改變嗎?為什么？不改變！第三個(gè)帶電體的引入改變了電荷分布！第八頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/48關(guān)于庫侖（Coulomb)定律的說明庫侖定律（1785）誕生200多年來，經(jīng)歷了長(zhǎng)期工程實(shí)踐的檢驗(yàn)，從10-15m～宏觀距離均成立。它為靜電場(chǎng)乃至于電磁場(chǎng)奠定了極為重要的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)。電子的經(jīng)典半徑為2.8×10-15m。正常狀態(tài)下氫原子中電子到質(zhì)子的距離為5.29×10-11m。實(shí)現(xiàn)核聚變的困難在于原子核都帶正電，相互排斥，一般情況下不能相互靠近而結(jié)合。這個(gè)斥力為庫侖力。第九頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/49只有在溫度非常高、熱運(yùn)動(dòng)速度非常大時(shí)，才能沖破庫侖斥力壁壘，碰在一起而結(jié)合，稱為熱核反應(yīng)。原子結(jié)構(gòu)、分子結(jié)構(gòu)、液（固）體結(jié)構(gòu)和化學(xué)作用等問題的微觀本質(zhì)都和電磁力（其中主要部分為庫侖力）有關(guān)。而此類問題中萬有引力的作用卻十分微小。第十頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/4102.電場(chǎng)強(qiáng)度第十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/411第十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/412試驗(yàn)電荷受的力與試驗(yàn)電荷的比值為這個(gè)特征量可以表征電荷q產(chǎn)生電場(chǎng)的強(qiáng)弱。第十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/413電場(chǎng)強(qiáng)度方向與該點(diǎn)正電荷受力方向相同定義表征靜電場(chǎng)的基本場(chǎng)矢量—電場(chǎng)強(qiáng)度點(diǎn)電荷所產(chǎn)生靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度

單位是伏/米第十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/414第十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/415兩個(gè)點(diǎn)電荷共同產(chǎn)生的靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為推而廣之n個(gè)點(diǎn)電荷共同產(chǎn)生的靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為第十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/416(注意:矢量疊加)V/m第十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/417以上介紹了點(diǎn)電荷所激發(fā)（產(chǎn)生）電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算公式，那么各種帶電體所激發(fā)（產(chǎn)生）的電場(chǎng)，其場(chǎng)中任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度該如何計(jì)算呢？第十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/418這是解決工程實(shí)際問題的普遍方法！分割（微元）＋求和取極限（對(duì)所有場(chǎng)源求積分）＝問題的解答這里任一個(gè)微元均可以當(dāng)做一個(gè)點(diǎn)電荷處理！下面我們就來解決這個(gè)問題。第十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/419根據(jù)物質(zhì)結(jié)構(gòu)理論，在微觀上電荷的分布是不連續(xù)的，是量子化的。即電荷量是電荷最小單位的整數(shù)倍。電荷分布的量子化與宏觀分析的連續(xù)分布處理的說明1)電荷分布不連續(xù)和量子化第二十頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/420電荷分布在宏觀上可以看作連續(xù)分布處理電子的經(jīng)典半徑約為2.8×10-15m，1pc的電量（10-12c）仍含有600萬個(gè)電子。因此，電荷分布在宏觀上可以看作連續(xù)分布處理。電子的經(jīng)典半徑第二十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/421

其中：e=1.602×10-19cme=9.1×10-31kgc=(2.997924574±0.000000011)×108m／s≈30萬km／se/me≈1.76×1011C/kgb）金原子核可以看作均勻帶電球，半徑約為6.9×10-15m，電荷量（Ze）=79×1.602×10-19c第二十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/422對(duì)于所研究的問題，場(chǎng)源電荷所占的體積可以忽略時(shí)，當(dāng)作點(diǎn)電荷處理。點(diǎn)電荷、線電荷、面電荷和體電荷的電荷元

（元電荷dq—當(dāng)作點(diǎn)電荷處理，小微元當(dāng)作空間的一個(gè)點(diǎn)處理）的表示法。當(dāng)電荷分布于一個(gè)較細(xì)的物體上，對(duì)于所研究的問題，物體的橫截面積可以忽略時(shí)，當(dāng)作線電荷處理。

第二十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/423當(dāng)電荷分布于一個(gè)薄面中，對(duì)于所研究的問題，這個(gè)面的厚度可以忽略時(shí)，當(dāng)作面電荷處理。對(duì)于所研究的問題，當(dāng)電荷分布于體積中，當(dāng)作體電荷處理。第二十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/424

△q△llq線電荷：對(duì)于分布于細(xì)棒或細(xì)導(dǎo)線上的電荷，當(dāng)橫截面積對(duì)研究的問題可以忽略不計(jì)時(shí),就可以當(dāng)作線電荷處理，電荷的線密度定義為點(diǎn)電荷q第二十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/425小線段上的電荷看成點(diǎn)電荷，稱為電荷元(或元電荷），記為當(dāng)電荷均勻分布時(shí)，有第二十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/426

面電荷：對(duì)分布在薄面上的電荷，當(dāng)面的厚度對(duì)所研究問題可以忽略不計(jì)時(shí)，就可以當(dāng)作面電荷處理，面電荷密度定義為dSq△S△q第二十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/427

小面元上的電荷看成點(diǎn)電荷，稱為電荷元（或元電荷），記為當(dāng)電荷均勻分布時(shí)，有第二十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/428

體電荷：對(duì)體電荷(電荷分布一般形式)，電荷密度定義為小體積元上的電荷看成點(diǎn)電荷，稱為電荷元（或元電荷），記為當(dāng)電荷均勻分布時(shí)，有V

q△V△q第二十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/429第三十頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/430第三十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/431第三十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/432第三十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/433q點(diǎn)電荷線電荷電荷元面電荷電荷元體電荷電荷元第三十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/434電荷元電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算公式與點(diǎn)電荷的相同這是一個(gè)無窮小矢量。整個(gè)場(chǎng)源區(qū)所有電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度第三十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/435第三十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/436第三十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/437第三十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/438第三十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/439第四十頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/440第四十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/441第四十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/442第四十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/443第四十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/444第四十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/445第四十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/446第四十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/447（2．1結(jié)束）第四十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/448第四十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/449靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力“有限”法鏡像法,電軸法分離變量法直接積分法數(shù)值法解析法邊值問題分解面條件和邊界條件電位基本方程D的散度基本物理量E、D基本實(shí)驗(yàn)定律（庫侖定律）靜電場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)E的旋度第五十頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/450基本實(shí)驗(yàn)定律（庫侖定律）基本物理量

E、DE

的旋度E的散度基本方程邊值問題唯一性定理分界面(銜接)條件電位（）邊界條件有限元法和有限差分法解析法直接積分法分離變量法鏡像法、電軸法靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力圖2.0靜電場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖數(shù)值法泊、拉方程返回第五十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/451N(牛頓)由庫倫定律可知但這兩個(gè)電荷并沒有直接接觸這是電荷對(duì)電荷的作用力。第五十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/452第五十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/453C)連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度體電荷分布面電荷分布線電荷分布圖2.1.3體電荷的電場(chǎng)第五十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/454

例2-1-1如圖2-1-4，真空中長(zhǎng)度為2l的直線段，均勻帶電，電荷線密度為τ，求線段外任一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度。圖2-1-4長(zhǎng)直線電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度解

場(chǎng)的分布具有軸對(duì)稱性，采用圓柱坐標(biāo)系方便。

，源點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在線段中心，Z軸與線段重合，場(chǎng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為取電荷元

有

引入?yún)⒆兞喀?/p>

寫出dE的各分量求P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)是不變量，源點(diǎn)坐標(biāo)中是變量。

把R，cosθ,sinθ用θ表出，有方向相同！否則無法求出積分！第五十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/455積分得對(duì)無限長(zhǎng)帶電直線，

從圖2-1-4可知

第五十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/456例2-1-2如圖2-1-5，求真空中半徑為a，均勻帶電，電荷線密度為τ的圓形線電荷在軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。圖2-1-5

圓線電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度

坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在圓形線電荷的圓心，Z軸與線電荷圓心軸線重合

解

場(chǎng)的分布具有軸對(duì)稱性，采用圓柱坐標(biāo)系方便。

坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在線段中心，Z軸與線段重合，場(chǎng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，源點(diǎn)坐標(biāo)為取一個(gè)電荷元

，源點(diǎn)坐標(biāo)為再取一個(gè)電荷元

兩個(gè)對(duì)稱電荷元在p點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，沿方向兩個(gè)分量符號(hào)相反，相互抵消；沿方向的電場(chǎng)強(qiáng)度為零；沿方向的電場(chǎng)強(qiáng)度為2倍。則有計(jì)算P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)，只有是變量第五十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/457由圖2-1-5得代入上式得該題如果場(chǎng)點(diǎn)不在軸線上，是否可以求出解析解？不能。因?yàn)榉e分過程中將會(huì)出現(xiàn)橢圓積分?。ǖ谝活悪E圓積分、第二類橢圓積分）這在積分中是不變量！書上之所以先代入是防止其為變量時(shí)忘了處理！積分得

第五十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/458

無限長(zhǎng)直均勻帶電導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)為平行平面場(chǎng)。

電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量積分一般先轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分,然后再合成,即

點(diǎn)電荷的數(shù)學(xué)模型

積分是對(duì)源點(diǎn)進(jìn)行的,計(jì)算結(jié)果是場(chǎng)點(diǎn)的函數(shù)。

點(diǎn)電荷是電荷體分布的極限情況,可以把它看成是一個(gè)體積很小,電荷密度很大，總電量不變的帶電小球體。當(dāng)時(shí)，電荷密度趨近于無窮大，通常用沖擊函數(shù)表示點(diǎn)電荷的密度分布。圖2.1.5.x單位點(diǎn)電荷的密度分布點(diǎn)電荷的電荷密度第五十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/459點(diǎn)電荷矢量恒等式直接微分得故電場(chǎng)強(qiáng)度E

的旋度等于零2.2電位與靜電場(chǎng)的環(huán)路定理

1.靜電場(chǎng)旋度

靜電場(chǎng)環(huán)路定律第六十頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/460可以證明，上述結(jié)論適用于點(diǎn)電荷群和分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。表明靜電場(chǎng)是一個(gè)無旋場(chǎng)。即任一分布形式的靜電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的旋度恒等于零，即2.靜電場(chǎng)的環(huán)路定律在靜電場(chǎng)中,電場(chǎng)強(qiáng)度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零。電場(chǎng)力作功與路徑無關(guān),靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)。無旋場(chǎng)一定是保守場(chǎng)，保守場(chǎng)一定是無旋場(chǎng)。由斯托克斯定理，得二者等價(jià)。第六十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/4613.電位函數(shù)

在靜電場(chǎng)中可通過求解電位函數(shù)(Potential)，再利用上式可方便地求得電場(chǎng)強(qiáng)度E。式中負(fù)號(hào)表示電場(chǎng)強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。2)

已知電荷分布，求電位：點(diǎn)電荷群連續(xù)分布電荷1)電位的引出以點(diǎn)電荷為例推導(dǎo)電位：根據(jù)矢量恒等式第六十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/4623)

E與的微分關(guān)系

在靜電場(chǎng)中，任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向總是沿著電位減少最快的方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標(biāo)系中：？()？()4)

E與的積分關(guān)系設(shè)P0為參考點(diǎn)

根據(jù)

E與的微分關(guān)系，試問靜電場(chǎng)中的某一點(diǎn)圖2.2.1.xE與的積分關(guān)系第六十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/4635)

電位參考點(diǎn)的選擇原則

場(chǎng)中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無關(guān)。

同一個(gè)物理問題，只能選取一個(gè)參考點(diǎn)。

選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，且要有意義。例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)：表達(dá)式無意義

電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)；

電荷分布在無窮遠(yuǎn)區(qū)時(shí)，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。第六十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/4646)

電力線與等位線（面）

E線：曲線上每一點(diǎn)切線方向應(yīng)與該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向一致，若是電力線的長(zhǎng)度元，E

矢量將與方向一致，故電力線微分方程在直角坐標(biāo)系中：微分方程的解即為電力線E的方程。當(dāng)取不同的

C值時(shí)，可得到不同的等位線（面）。

在靜電場(chǎng)中電位相等的點(diǎn)的曲面稱為等位面，即等位線(面)方程:例2.2.1

畫出電偶極子的等位線和電力線。第六十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/465在球坐標(biāo)系中：電力線微分方程（球坐標(biāo)系）：代入上式，得解得Ｅ線方程為將和代入上式，等位線方程（球坐標(biāo)系）：用二項(xiàng)式展開，又有，得

表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。圖1.2.2電偶極子r1r2構(gòu)造一個(gè)矢量稱為電偶極子的電偶極矩第六十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/466電偶極子的電偶極矩為：電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度為第六十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/467圖1.2.3電偶極子的等位線和電力線圖2-4-2電偶極子的電場(chǎng)圖第六十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/468電力線(與等位線（面）)的性質(zhì)：

E線不能相交;

E線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷;

E線愈密處，場(chǎng)強(qiáng)愈大;

E線與等位線（面）正交；圖1.2.4.x點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體的電場(chǎng)圖1.2.5.x點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體的電場(chǎng)第六十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/469點(diǎn)電荷的電場(chǎng)圖第七十頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/470圖1.2.6.x均勻場(chǎng)中放進(jìn)了介質(zhì)球的電場(chǎng)圖1.2.7.x均勻場(chǎng)中放進(jìn)了導(dǎo)體球的電場(chǎng)圖1.2.8.x點(diǎn)電荷位于一塊介質(zhì)上方的電場(chǎng)圖1.2.9.x點(diǎn)電荷位于一塊導(dǎo)平面上方的電場(chǎng)第七十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/471第七十