第4章 虛功原理及結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

第4章

虛功原理與結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算1.定義：在外因（荷載、溫度變化、支座沉降等）作用下，結(jié)構(gòu)將發(fā)生尺寸和形狀的改變，稱為變形。由于變形，結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的位置將會(huì)移動(dòng)，桿件的橫截面會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這些移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)稱為結(jié)構(gòu)的位移?！?.1

位移計(jì)算概述一、位移的概念注：位移是矢量，有大小、方向。線位移：截面形心的直線移動(dòng)距離角位移：截面的轉(zhuǎn)角豎向線位移廣義位移絕對(duì)位移相對(duì)位移2.種類

絕對(duì)位移水平線位移相對(duì)線位移：兩截面之間的相對(duì)移動(dòng)相對(duì)角位移：兩截面之間的相對(duì)轉(zhuǎn)角——A點(diǎn)線位移——A點(diǎn)水平位移——A點(diǎn)豎向位移——A截面轉(zhuǎn)角C、D

兩點(diǎn)的相對(duì)水平線位移A、B兩個(gè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角絕對(duì)位移3.支座沉降和制造誤差等。1.荷載作用；2.溫度改變和材料脹縮；P二、位移產(chǎn)生的主要原因1.驗(yàn)算結(jié)構(gòu)剛度:即驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的位移是否超過允許的位移限制值。在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。2.為超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算打基礎(chǔ)。在計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力時(shí)，除利用靜力平衡條件外，還需要考慮變形協(xié)調(diào)條件，因此需計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。3.在結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護(hù)過程中，有時(shí)需預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況,以便采取一定的施工措施，因而也需要進(jìn)行位移計(jì)算。三、計(jì)算位移目的建筑起拱將各下弦桿做得比實(shí)際長度短些，拼裝后下弦向上起拱。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設(shè)計(jì)的水平位置。四、計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的原理1.位移計(jì)算假定條件：線彈性變形體在小變形條件下的位移2.計(jì)算原理：變形體系的虛功原理3.計(jì)算方法：虛設(shè)單位荷載法§4.2

虛功和虛功原理1.概念一、實(shí)功與虛功實(shí)功：力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功。虛功：力在其它原因產(chǎn)生的位移上作的功。2.做功的兩種形式力在變形位移上所作的實(shí)功為：P力在對(duì)應(yīng)虛位移上所作的虛功為：P常力實(shí)功：

靜力實(shí)功：Fp1Fp212△11△22AB△12——虛功

二、虛功原理PΔ2Δ3Δ/21.剛體體系的虛功原理剛體體系虛功原理變形體體系虛功原理設(shè)體系上作用任意的平衡力系，又設(shè)體系發(fā)生符合約束的無限小剛體體系位移，則外力在位移上所作的虛功總和恒等于零。虛功原理的關(guān)鍵：平衡力系與位移的相互獨(dú)立性，二者都可以進(jìn)行假設(shè)，根據(jù)不同的問題進(jìn)行不同的假設(shè)。體系在任意平衡力系作用下，給體系以幾何可能的位移和變形，體系上所有外力所作的虛功總和恒等于體系各截面所有內(nèi)力在微段變形位移上作的虛功總和。2.變形體系的虛功原理說明：（1）虛功原理里存在兩個(gè)狀態(tài)：力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調(diào)條件。（2）原理適用于任何(線性和非線性)的變形體，適用于任何結(jié)構(gòu)。（3）位移和變形是微小量，位移曲線光滑連續(xù)，并符合約束條件。（4）在虛功原理中，做功的力和位移無關(guān)，可以虛設(shè)力也可虛設(shè)位移。3.虛功原理的兩種應(yīng)用1）虛設(shè)位移求未知力（虛位移原理）

虛設(shè)單位位移法:已知一個(gè)力狀態(tài)，虛設(shè)一個(gè)單位位移狀態(tài)，利用虛功方程求力狀態(tài)中的未知力。這時(shí)，虛功原理也稱為虛位移原理。2）虛設(shè)力系求位移（虛力原理）

虛設(shè)單位荷載法:已知一個(gè)位移狀態(tài)，虛設(shè)一個(gè)單位力狀態(tài)，利用虛功方程求位移狀態(tài)中的未知位移。這時(shí)，虛功原理也稱為虛力原理。虛力原理——位移是真的，力是虛設(shè)的。用虛設(shè)力的辦法來求真實(shí)的位移。

虛位移原理——力是真的，位移是虛設(shè)的。用虛設(shè)位移的辦法來求真實(shí)的力。

例1.如下圖一幾何可變體系，已知B點(diǎn)作用已知荷載

FP

，為了平衡，試求在A點(diǎn)需加的未知力

FX

的大小。解：虛設(shè)位移狀態(tài)如右圖，位移的假設(shè)應(yīng)與荷載相一致。RCABCabFPFXFXFP幾何關(guān)系：或設(shè)相應(yīng)的三、剛體體系虛功原理應(yīng)用舉例(一）應(yīng)用虛位移原理求剛體體系中的力例2.求多跨靜定梁在C點(diǎn)的支座反力FC。FFABCDEa2aa2aa(a)FFABCDE(b)FC(c)δC=1ABCDEδ1δ2（3）代入剛體體系的虛功方程，求FC。解得：

這是虛設(shè)單位位移法

。虛功方程為：解：（1）撤掉支座C,把支座反力變成主動(dòng)力FC。這時(shí)體系變成一個(gè)機(jī)構(gòu)，如圖（b）所示。（2）取圖（c）所示機(jī)構(gòu)的剛體體系沿所求支座反力方向虛設(shè)單位位移δC=1。根據(jù)幾何關(guān)系，可求出力F作用點(diǎn)處相應(yīng)的位移：δ1=-3/2，δ2=3/4

剛體體系的虛位移原理的應(yīng)用可總結(jié)如下：(1)解除欲求約束反力的約束，用相應(yīng)的約束反力

FX

來代替,同時(shí),結(jié)構(gòu)則相應(yīng)的變?yōu)闄C(jī)構(gòu)。(2)把結(jié)構(gòu)可能發(fā)生的剛體體系位移當(dāng)作虛位移，設(shè)未知力

FX

和主動(dòng)荷載

FP

相應(yīng)的位移分別是

ΔX

和

ΔP

，利用虛功原理可得：(3)求出

ΔX

和

ΔP

之間的相互關(guān)系，即可求得

FX

。(4)為了計(jì)算方便，假設(shè)

ΔX

=

1

，此時(shí)，

ΔP

則用

δP

表示。以上的關(guān)鍵是虛設(shè)位移狀態(tài)及其各種位移的關(guān)系。由于

ΔX

=

1，所以又稱單位支座位移法。1.

位移是人為虛設(shè)的，為了方便，可以隨意虛設(shè)為單位位移1。3.

采用幾何的方法求解靜力平衡問題。注意：2.

解題的關(guān)鍵是利用幾何關(guān)系求出位移之間的關(guān)系。例3.求A

端支座發(fā)生豎向位移c

時(shí)引起C點(diǎn)的豎向位移。解：首先構(gòu)造出相應(yīng)的虛設(shè)力狀態(tài)。即，在擬求位移之點(diǎn)（C點(diǎn)）沿?cái)M求位移方向（豎向）設(shè)置單位荷載。由得：解得：

這是虛設(shè)單位荷載法

。虛功方程為：ABaCbc1ABC很顯然該題求位移用的是虛功原理中的虛力原理。（二）應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移例4.圖示簡支梁B支座往下位移了Δ，求由此產(chǎn)生的A點(diǎn)轉(zhuǎn)角φA。

真實(shí)的位移狀態(tài)

虛設(shè)的力狀態(tài)運(yùn)用剛體的虛功原理，虛設(shè)的力狀態(tài)上的所有外力在真實(shí)的位移狀態(tài)上所做的虛功應(yīng)該等于零，有：得：ABLΔM=11/L解：在A點(diǎn)虛設(shè)單位力系M=1虛力原理的關(guān)鍵步驟是在擬求位移Δ方向虛設(shè)單位荷載，并利用平衡條件求出與Δ相應(yīng)的支座反力。該解法稱為單位荷載法。四、支座移動(dòng)時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算在靜定結(jié)構(gòu)中，支座移動(dòng)時(shí)并不引起內(nèi)力，也不引起變形，結(jié)構(gòu)只發(fā)生剛體位移。1.支座移動(dòng)對(duì)靜定結(jié)構(gòu)的影響2.支座移動(dòng)時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算支座移動(dòng)時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算問題是剛體體系的位移計(jì)算問題，可用剛體體系虛功原理來求解。當(dāng)支座有給定位移時(shí)，靜定結(jié)構(gòu)的位移的計(jì)算步驟：設(shè)支座K有給定位移CK(1)沿?cái)M求位移Δ方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載，并求出單位荷載作用下的支座反力(2)令虛設(shè)力系在實(shí)際位移上作虛功，寫出虛功方程：(3)由虛功方程，解出擬求位移為：注意：1）乘積正負(fù)號(hào)，同側(cè)為正，異側(cè)為負(fù)。2）求的位移為正值，表明位移的實(shí)際方向與所設(shè)單位荷載方向相同，否則相反?！纠?】三鉸剛架的跨度l=12m，高為h=8m。已知右支座B發(fā)生了豎直沉陷C1=6cm，同時(shí)水平移動(dòng)了C2=4cm(向右)，如圖(a)所示。試求由此引起的左支座A處的桿端轉(zhuǎn)角φA?！窘狻?1)在A處虛設(shè)單位力偶m=1，如圖(b)所示。(2)計(jì)算單位荷載作用下的支座反力由于A支座無位移，故只需計(jì)算B支座反力即可。取整體為隔離體，由∑MA=0得取右半剛架BC為隔離體，由∑MC=0得(3)計(jì)算φA計(jì)算結(jié)果為正，說明φA與虛設(shè)單位力偶m=1的轉(zhuǎn)向一致。顯然支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移、制造誤差產(chǎn)生的位移應(yīng)該用剛體的虛力原理計(jì)算。荷載作用產(chǎn)生的位移、溫度改變產(chǎn)生的位移應(yīng)該用變形體的虛力原理計(jì)算。

支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移——?jiǎng)傮w位移制造誤差產(chǎn)生的位移——?jiǎng)傮w位移荷載作用產(chǎn)生的位移——變形體位移溫度改變產(chǎn)生的位移——變形體位移靜定結(jié)構(gòu)位移的類型：d微段的變形可分為:ds1PqN1N1+dNQ1Q1+dQM1M1+dMdsddsd§4.3

結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式2ds一、公式的推導(dǎo)1.基本原理——變形體系的虛力原理（虛設(shè)單位荷載法）微段ds上的變形包括三個(gè)部分：ε—軸向線應(yīng)變?chǔ)谩骄袘?yīng)變（剪應(yīng)變）—軸線曲率（彎曲應(yīng)變），ρ為軸線變形后的曲率半徑。軸向位移：剪切位移：轉(zhuǎn)角位移：

虛設(shè)力狀態(tài)：在所求位移處沿所求位移方向加上相應(yīng)的廣義單位力P=1。如圖所示結(jié)構(gòu)，計(jì)算K點(diǎn)的水平位移。P=1虛擬力狀態(tài)11RP1P2t1t2位移狀態(tài)

2c1KΔKHK對(duì)于桿系結(jié)構(gòu)，內(nèi)力所作虛功：外力所作虛功：由變形體虛功原理：—分別是虛設(shè)單位荷載在微段ds引起的彎矩、軸力、剪力—分別是實(shí)際位移狀態(tài)微段ds的三種變形?！撛O(shè)單位荷載引起的支座反力說明：該式是結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式。適用于靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)。2)適用于產(chǎn)生位移的各種原因、不同的變形類型、不同的材料。3)該式右邊四項(xiàng)乘積，當(dāng)力與變形的方向一致時(shí)，乘積取正。由于彎曲變形對(duì)位移的影響由于軸向變形對(duì)位移的影響由于剪切變形對(duì)位移的影響由于支座移動(dòng)對(duì)位移的影響結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式既可考慮荷載引起的位移，也可考慮溫度或支座移動(dòng)引起的位移?？捎糜诹?、剛架、桁架、拱等各類型的結(jié)構(gòu)。二、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般步驟1.在某點(diǎn)沿?cái)M求位移Δ的方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載。2.在單位荷載作用下，根據(jù)平衡條件，求出結(jié)構(gòu)內(nèi)力、、和支座反力。3.根據(jù)一般公式可求出位移Δ。公式的右邊四個(gè)乘積，它們力與變形之間的乘積，當(dāng)力與變形方向一致，則乘積為正的。

Δ如果是正值，則表明位移Δ的實(shí)際方向與所設(shè)單位荷載方向一致。三、虛設(shè)單位荷載的方法1)求某截面的線位移2)求某截面的角位移3)求某兩點(diǎn)間的相對(duì)角位移4)求某兩點(diǎn)間的相對(duì)線位移P=1P=1P=1§4.4荷載作用下的位移計(jì)算一、公式的進(jìn)一步推導(dǎo)dddsd如果結(jié)構(gòu)只受荷載作用，沒有支座位移的影響（CK＝0）時(shí)，則計(jì)算位移的一般公式可簡化為：式中，微段的變形是由實(shí)際荷載作用引起的。設(shè)NP、MP、QP表示實(shí)際位移狀態(tài)中微段ds上所受的軸力、彎矩、剪力，在線彈性范圍內(nèi)，由材料力學(xué)可知NP、MP、QP引起微段ds上的變形為：EA、GA、EI——分別為桿件截面的抗拉、抗剪和抗彎剛度，k為剪應(yīng)力不均勻分布系數(shù)。k——與截面形狀有關(guān)，矩形截面取6/5，圓形截面取10/9,薄壁圓環(huán)截面取2，詳見表5-2。用Δ表示荷載引起的某截面的位移：這是平面桿系結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式。二、各類結(jié)構(gòu)的位移公式1.梁與剛架—以彎曲變形為主2.桁架—只有軸向變形3.組合結(jié)構(gòu)4.拱（扁平拱f/l＜1/5）例1.求圖示等截面梁B端轉(zhuǎn)角。

2）分段求彎矩的表達(dá)式（0≤x≤l）m=1解：1）虛擬單位荷載AC段：MP=Px/2（0≤x1≤l/2）BC段：MP=P（l－x）/2（l/2≤x2≤l）（）3）代入公式求φBPl/2l/2EIABx1x2C例2.求圖示簡支梁中點(diǎn)C的豎向位移

。解：（1）取虛力狀態(tài)如圖所示

（2）寫出彎矩表達(dá)式CABL/2L/22/L/l/2l/2（3）計(jì)算

當(dāng)時(shí)Fp=1CABC解：（1）求

寫出桿件的方程

BC桿：

BA桿：

LACBLEIEIqACBFP=1例3.計(jì)算圖示剛架C點(diǎn)的水平位移

和C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角

各桿的EI為常數(shù)。

，()（2）求

ACBM=1BC桿：

BA桿：

寫出桿件的方程

LACBLEIEIq（）。例4.計(jì)算圖示剛架C點(diǎn)的水平位移

和C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角

已知，AB、BD段的抗彎剛度為EI，DC的抗彎剛度為0.5EI。

ACBaqa/2a/2DACBP=1D解：（1）求

寫出桿件的方程

橫梁BC：立柱AB:（→）（2）求

ACBM=1DBC桿：

BA桿：

解：例5.求圖示桁架(各桿EA相同)k點(diǎn)水平位移.1）分別求出桁架各桿在實(shí)際荷載和虛設(shè)單位荷載作用下的軸力。2）代入公式求ΔKHP=1例6.求圖示1/4圓弧曲桿頂點(diǎn)的豎向位移Δ。解：1）虛擬單位荷載3）代入公式求Δds=Rdθ2）列實(shí)際荷載和虛擬荷載作用下的內(nèi)力表達(dá)式Pθdθds鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)G≈0.4E矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12可見剪切變形和軸向變形引起的位移與彎曲變形引起的位移相比可以忽略不計(jì)。但對(duì)于深梁剪切變形引起的位移不可忽略。一、適用范圍與限制條件§4.5

圖乘法如何利用彎矩圖，使其計(jì)算得以簡化？1.適用范圍:受彎曲變形為主的梁、剛架及組合結(jié)構(gòu)中的梁式桿2.限制條件:（1）桿軸是直線；（2）EI是常數(shù)；（3）至少有一是直線圖形。二、圖乘法的公式(EI為常數(shù))(直桿)為微面積對(duì)y軸的靜矩,為整個(gè)MP圖的面積對(duì)y軸的靜矩。說明：（1）若兩個(gè)M圖在桿件的同側(cè)，乘積取正值；反之，取負(fù)值。（2）

應(yīng)取自直線圖中。（3）必須分別取自兩個(gè)彎矩圖。圖乘法求位移公式為:注意圖乘法的應(yīng)用條件三、應(yīng)用圖乘法時(shí)的幾個(gè)具體問題2.當(dāng)圖形比較復(fù)雜，其面積或形心位置不易直接確定時(shí)，可采用疊加法。即可以將復(fù)雜圖形分解成幾個(gè)簡單的圖形，分別與另一圖形相應(yīng)的縱坐標(biāo)相圖乘，然后再疊加求位移。1.豎標(biāo)yC只能由直線彎矩圖中取值。如果MP與單位M圖都是直線，則yC可取自其中任一個(gè)圖形。幾種常見簡單圖形的面積和形心的位置例如，圖(a)所示兩個(gè)梯形應(yīng)用圖乘法，可不必求梯形的形心位置，而將其中一個(gè)梯形(設(shè)為MP圖)分成兩個(gè)三角形，分別圖乘后再疊加。（1）梯形與梯形圖乘（ab、cd同側(cè)受拉）：MP圖ω1ω2y1y2圖cdab也可以將其中一個(gè)梯形(設(shè)為MP圖)分解成一個(gè)三角形與一個(gè)矩形，分別圖乘后再疊加。（2）梯形與梯形圖乘（ab、cd異側(cè)受拉）：對(duì)于圖示由均布荷載q所引起的MP圖，可以把它看作是梯形ABDC與相應(yīng)簡支梁在均布荷載作用下的彎矩圖疊加而成。cω3aω2bω1y2y1y3hc圖（3）在均布荷載作用下的任何直桿段(4)當(dāng)yc所屬圖形不是一段直線而是由若干段直線組成的，或當(dāng)各桿段的截面積不相等時(shí)，均應(yīng)分段圖乘，再進(jìn)行疊加。

(1)

畫出結(jié)構(gòu)在實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP；

(2)

據(jù)所求位移選定相應(yīng)的虛擬狀態(tài)，畫出單位彎矩圖M；

(3)

分段計(jì)算一個(gè)彎矩圖形的面積ω及其形心所對(duì)應(yīng)的另一個(gè)彎矩圖形的豎標(biāo)yC；

(4)

將ω

、yC代入圖乘法公式計(jì)算所求位移。五、圖乘法計(jì)算位移的解題步驟【例1】求圖(a)所示簡支梁A端角位移φA及跨中C點(diǎn)的豎向位移ΔCV。EI為常數(shù)?！窘狻?1)

求φA①實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP如圖(b)所示。②在A端加單位力偶m=1，其單位彎矩圖M如圖(c)所示。③MP圖面積及其形心對(duì)應(yīng)單位M圖豎標(biāo)分別為

④計(jì)算φA

（）(2)

求ΔCV①M(fèi)P圖仍如圖(b)所示。②在C點(diǎn)加單位力P=1，單位彎矩圖M如圖(d)所示。③計(jì)算ω、yC。由于單位M圖是折線形，故應(yīng)分段圖乘再疊加。因兩個(gè)彎矩圖均對(duì)稱，故計(jì)算一半取兩倍即可。

④計(jì)算ΔCV

【例2】計(jì)算圖(a)所示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移ΔCV。EI為常數(shù)。【解】(1)

實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP如圖(b)所示。

(2)

在C處加豎向單位力P=1，其彎矩圖M如圖(f)所示。

(3)

計(jì)算ω、yC

BC段：ω1=ql3/48

y1=3l/8

AB段：

ω2=ql3/16

y2=l/3

ω3=ql3/24

y3=l/4

(4)

計(jì)算ΔCV

ΔCV=(ω1y1+ω2y2+ω3y3)/EI=ql4/(128EI)(↓)【例3】試求圖(a)所示的梁在已知荷載作用下，A截面的角位移φA及C點(diǎn)的豎向線位移ΔCV。EI為常數(shù)?！窘狻?1)

分別建立在m=1及P=1作用下的虛設(shè)狀態(tài)，如圖(c)、(d)所示。

(2)

分別作荷載作用和單位力作用下的彎矩圖，如圖(b)、(c)、(d)。

(3)

圖形相乘。將圖(b)與圖(c)相乘，則得

結(jié)果為負(fù)值，表示φA的方向與m=1的方向相反。

計(jì)算ΔCV時(shí)，將圖(b)與圖(d)相乘，這里必須注意的是MP圖BC段的彎矩圖是非標(biāo)準(zhǔn)的拋物線，所以圖乘時(shí)不能直接代入公式，應(yīng)將此部分面積分解為兩部分，然后疊加，則得【例4】試求圖a所示伸臂梁C點(diǎn)的豎向位移ΔCV。解：荷載彎矩圖和單位彎矩圖如圖所示。在BC段，MP圖可看作是由B、C兩端的彎矩豎標(biāo)所連成的三角形與相應(yīng)簡支梁在均布荷載作用下的標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖（即圖b中虛線與曲線之間包含的面積）疊加而成。

【例5】計(jì)算圖(a)所示懸臂剛架D點(diǎn)的豎向位移ΔDV。各桿EI如圖示?！窘狻?1)實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP如圖(b)所示。

(2)在D端加單位力P=1，單位彎矩圖M如圖(c)所示。

(3)計(jì)算ω、yC圖乘時(shí)應(yīng)分AB、BC、CD三段進(jìn)行，由于CD段M=0，可不必計(jì)入。故只計(jì)算AB、BC兩段。

AB段：ω1=2l2/3

(取自單位M圖)y1=Pl/4BC段：ω2=2l2/9y2=Pl/4(4)計(jì)算ΔDVΔDV=ω1yC1/EI+ω2yC2/2EI

=-5Pl3/(36EI)(↑)【例6】求圖示剛架鉸C左、右兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角，EI為常數(shù)。qABCDEa/2a/2a/2MP圖qa4qa4qa2qa2qa28qa281ω2ω1解：由于對(duì)稱，只需計(jì)算剛架的一半，然后2倍。因?yàn)镼C=0，所以DC段為標(biāo)準(zhǔn)拋物線。11M圖（）（）【例7】已知EI為常數(shù)，求A、B兩點(diǎn)相對(duì)水平位移。lqhqMP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖【例8】計(jì)算圖(a)所示組合結(jié)構(gòu)：（1）求ΔDV；（2）鉸C處兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。已知E=2.1×104kN/㎝4，I=3200㎝4，A=16㎝2?！窘狻浚?）求ΔDV1)

實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP如圖(b)所示。

2)

在C處加豎向單位力P=1，其彎矩圖M如圖(c)所示。

3)

計(jì)算ΔDV

（2）鉸C處兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角

1)

實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP如圖(b)所示。

2)

在C兩側(cè)處加一對(duì)等值反向的單位力偶M=1，其彎矩圖如圖(d)所示。

3)

計(jì)算φCDABCEAI4I4I10kN/m4m2m3m3mDABCE90kN.m20kN.m20kN.m604575MP圖DABCE3221.52.5M1圖(m)1DABCE90kN.m20kN.m20kN.m604575MP圖＋DBACE11/31/45/12M2圖＋111.求MP圖乘練習(xí)MP2.求

取yc的圖形必須是直線,不能是曲線或折線。能用Mi圖面積乘MP圖豎標(biāo)嗎?3.求C截面豎向位移MPl/2ql/2MP

4.求。lPlPl5.EI為常數(shù)，求AB兩點(diǎn):(1)相對(duì)豎向位移,(2)相對(duì)水平位移,(3)相對(duì)轉(zhuǎn)角。MP1111對(duì)稱彎矩圖反對(duì)稱彎矩圖

對(duì)稱結(jié)構(gòu)的對(duì)稱彎矩圖與其反對(duì)稱彎矩圖圖乘,結(jié)果為零。11作變形草圖PP11繪制變形圖時(shí)，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點(diǎn)的利用。如：§4.6

溫度改變時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)由于溫度變化，材料會(huì)引起熱脹冷縮，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形和位移，但整個(gè)結(jié)構(gòu)不引起任何內(nèi)力。一、溫度變化對(duì)靜定結(jié)構(gòu)的影響二、溫度改變時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式上、下邊緣的溫差:設(shè)材料的線膨脹系數(shù)為α，溫度沿桿件截面高度線性變化。計(jì)算公式的推導(dǎo)：設(shè)實(shí)際狀態(tài)為位移狀態(tài)，在K點(diǎn)沿位移方向加一單位力作為虛設(shè)力狀態(tài)。（1）微段的溫度變形分析形心軸處的溫度變化值注意：溫度變化不引起剪切變形γ＝01).桿件形心軸處的伸長（軸向變形）2).微段兩端截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角（彎曲變形）兩側(cè)溫度改變值的差值對(duì)于等截面直桿:若和使桿件的同一邊產(chǎn)生拉伸變形，其乘積為正，反之為負(fù)。：形心軸處的溫度改變值，溫度升高為正，降低為負(fù)；：桿件兩側(cè)溫度改變值的差值，取其絕對(duì)值；：虛設(shè)單位荷載作用下各桿的軸力值，受拉為正，受壓為負(fù)；：虛設(shè)單位荷載作用下圖的面積；注意：各項(xiàng)參數(shù)正負(fù)號(hào)的取值（2）溫度變化時(shí)位移計(jì)算N圖的面積M圖的面積例1.剛架施工時(shí)溫度為20℃，試求冬季外側(cè)溫度為-10℃，內(nèi)側(cè)溫度為

0℃時(shí)A點(diǎn)的豎向位移。已知

l=4m,,各桿均為矩形截面桿，高度

h=0.4m。解：（1）虛設(shè)單位力，繪制單位彎矩圖和軸力圖。llAMANA外側(cè)溫度變化值：℃內(nèi)側(cè)溫度變化值：℃（2）代入公式求A點(diǎn)的豎向位移

§4.7

互等定理如圖1所示簡支梁，分別作用兩組外力P1與P2，并分別稱為第一狀態(tài)(圖1(a))和第二狀態(tài)(圖1(b))。計(jì)算第一狀態(tài)的外力及其所引起的內(nèi)力在第二狀態(tài)的相應(yīng)位移和變形上所