第二講 統(tǒng)計(jì)學(xué)中綜合指標(biāo)

第二講

統(tǒng)計(jì)學(xué)中的綜合指標(biāo)2/3/20231第四章綜合指標(biāo)第一節(jié)總量指標(biāo)一、總量指標(biāo)的意義1.總量指標(biāo)的含義：總量指標(biāo)又稱統(tǒng)計(jì)絕對(duì)數(shù)，它是反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象發(fā)展的總規(guī)模、總水平和工作總量的綜合指標(biāo)?？偭恐笜?biāo)的數(shù)值大小與統(tǒng)計(jì)范圍的大小成正比?？偭恐笜?biāo)是最基本的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。2/3/20232第四章綜合指標(biāo)2.總量指標(biāo)的作用

總量指標(biāo)是對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)?？偭恐笜?biāo)是國(guó)家編制發(fā)展規(guī)劃、實(shí)施宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控，企業(yè)進(jìn)行經(jīng)營(yíng)決策的主要依據(jù)?？偭恐笜?biāo)是用來(lái)計(jì)算相對(duì)指標(biāo)和平均指標(biāo)的基礎(chǔ)。2/3/20233第四章綜合指標(biāo)二、總量指標(biāo)的種類（一）總體單位總量和總體標(biāo)志總量總體單位總量：是指總體內(nèi)所有單位的數(shù)量，如全國(guó)工業(yè)企業(yè)總產(chǎn)出、企業(yè)職工薪酬總額等?？傮w標(biāo)志總量：是指總體中各單位標(biāo)志值的總和。在一個(gè)特定的總體內(nèi)，只能存在一個(gè)單位總量，而可以同時(shí)并存多個(gè)標(biāo)志總量，構(gòu)成一個(gè)總量指標(biāo)體系。2/3/20234第四章綜合指標(biāo)總體單位總量和總體標(biāo)志總量舉例:單位總量標(biāo)志總量按經(jīng)濟(jì)成分分類國(guó)有企業(yè)集體企業(yè)私營(yíng)企業(yè)港澳臺(tái)企業(yè)外商企業(yè)合計(jì)4787769701188.7990.8205.4企業(yè)數(shù)（家）204311105677職工人數(shù)（人）57200018620570006705062300總產(chǎn)值（億元）743.622.3102.5167.9152.4利稅總額（億元）594.413.472.6150.3160.1年末固定資產(chǎn)總值（億元）123.811.220.428.321.72010年某地區(qū)各類工業(yè)企業(yè)的幾項(xiàng)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)總體單位總量和總體標(biāo)志總量可以隨研究目的的不同而變化。若表中主詞欄改成職工按所屬的企業(yè)分類，單位總量就變成了職工總數(shù)，由此圍繞職工的一系列標(biāo)志總量指標(biāo)則有工資總額、儲(chǔ)蓄總額等。

2/3/20235第四章綜合指標(biāo)（二）時(shí)期指標(biāo)和時(shí)點(diǎn)指標(biāo)時(shí)期指標(biāo)指反映某種社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在一段時(shí)間內(nèi)連續(xù)變動(dòng)結(jié)果的總量指標(biāo)，時(shí)期指標(biāo)是一個(gè)流量。

時(shí)期指標(biāo)的特點(diǎn)：時(shí)期指標(biāo)可以累計(jì)；時(shí)期指標(biāo)數(shù)值大小與時(shí)期長(zhǎng)短有直接關(guān)系；時(shí)期指標(biāo)的數(shù)值一般為連續(xù)登記。1.時(shí)期指標(biāo)2/3/20236第四章綜合指標(biāo)2.時(shí)點(diǎn)指標(biāo)時(shí)點(diǎn)指標(biāo)又叫存量指標(biāo)，是指反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在某一時(shí)點(diǎn)上的總量指標(biāo)，時(shí)點(diǎn)指標(biāo)是一個(gè)存量。時(shí)點(diǎn)指標(biāo)的特點(diǎn)：不同時(shí)點(diǎn)指標(biāo)數(shù)值是不能累加；時(shí)點(diǎn)指標(biāo)數(shù)值大小與時(shí)點(diǎn)間隔長(zhǎng)短無(wú)直接關(guān)系；時(shí)點(diǎn)指標(biāo)只能間斷計(jì)數(shù)。2/3/20237第四章綜合指標(biāo)實(shí)物單位是根據(jù)客觀現(xiàn)象的屬性而采用的計(jì)量單位。

實(shí)物單位的種類：有自然單位、度量衡單位、復(fù)合單位、雙重單位和標(biāo)準(zhǔn)實(shí)物單位等。

實(shí)物指標(biāo)的特點(diǎn)：能直接反映產(chǎn)品的使用價(jià)值或現(xiàn)象的具體內(nèi)容。（三）實(shí)物指標(biāo)、價(jià)值指標(biāo)和勞動(dòng)量指標(biāo)1．實(shí)物單位2/3/20238第四章綜合指標(biāo)自然單位如1臺(tái)冰箱、5輛轎車等。度量衡單位如10噸鋼鐵、1000克大米等，我國(guó)從1991年起統(tǒng)一使用以國(guó)際單位制為基礎(chǔ)的法定計(jì)量單位。雙重單位如發(fā)電機(jī)用臺(tái)/千瓦表示，即用兩個(gè)計(jì)量單位來(lái)表示具有多少千瓦的多少臺(tái)發(fā)電機(jī)。復(fù)合單位如貨運(yùn)量的噸公里、發(fā)電量的千瓦小時(shí)等。標(biāo)準(zhǔn)實(shí)物單位如標(biāo)準(zhǔn)煤，我國(guó)把每千克含熱量7000大卡的煤炭定為標(biāo)準(zhǔn)煤。

2/3/20239第四章綜合指標(biāo)2．價(jià)值指標(biāo)價(jià)值指標(biāo)是以貨幣單位計(jì)量的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。

價(jià)值指標(biāo)的優(yōu)點(diǎn)在于它的綜合性。

價(jià)值指標(biāo)的局限性：它脫離了物質(zhì)內(nèi)容，具有抽象性；價(jià)值指標(biāo)也容易受價(jià)格的影響。3．勞動(dòng)量指標(biāo)勞動(dòng)量指標(biāo)是以勞動(dòng)時(shí)間單位計(jì)量的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。常用的勞動(dòng)時(shí)間單位有工時(shí)、工日等。2/3/202310第四章綜合指標(biāo)三、計(jì)算和應(yīng)用總量指標(biāo)的注意點(diǎn)（一）要明確指標(biāo)涵義，界定統(tǒng)計(jì)范圍統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的涵義，是由各級(jí)統(tǒng)計(jì)機(jī)構(gòu)頒發(fā)的統(tǒng)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)規(guī)定的?？偭恐笜?biāo)是所有統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的基礎(chǔ)，因此明確統(tǒng)計(jì)指標(biāo)涵義，關(guān)鍵要理解總量指標(biāo)的涵義。例如，核算國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值總量指標(biāo)，首先要弄清什么叫國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值、核算哪些單位、核算哪些內(nèi)容、按什么價(jià)格計(jì)算等問(wèn)題，才能有效地開(kāi)展統(tǒng)計(jì)工作，保證數(shù)據(jù)的真實(shí)、準(zhǔn)確和完整。

2/3/202311第四章綜合指標(biāo)（二）要注意現(xiàn)象的同質(zhì)性，正確使用計(jì)量單位

在計(jì)算實(shí)物指標(biāo)時(shí)，要注意現(xiàn)象的同質(zhì)性。同質(zhì)產(chǎn)品能直接相加，而不同質(zhì)的產(chǎn)品則不能簡(jiǎn)單相加。但事物的同質(zhì)性也具有一定的相對(duì)性，并不能一概而論。計(jì)量單位的選擇要注意以下兩點(diǎn)：一是要注意只有同質(zhì)的現(xiàn)象才能使用相同的計(jì)量單位；二是要選擇國(guó)家統(tǒng)一規(guī)定的法定計(jì)量單位，以保證統(tǒng)計(jì)資料的準(zhǔn)確性。2/3/202312第四章綜合指標(biāo)第二節(jié)相對(duì)指標(biāo)一、相對(duì)指標(biāo)的意義相對(duì)指標(biāo)又稱統(tǒng)計(jì)相對(duì)數(shù)。它是兩個(gè)有聯(lián)系的現(xiàn)象變量的比率或比例，用以反映現(xiàn)象的發(fā)展程度、速度、結(jié)構(gòu)、強(qiáng)度、普遍程度或比例關(guān)系等。相對(duì)指標(biāo)可以用兩個(gè)絕對(duì)數(shù)對(duì)比計(jì)算，也可以用兩個(gè)相對(duì)數(shù)、兩個(gè)平均數(shù)對(duì)比計(jì)算。1.相對(duì)指標(biāo)的含義2/3/202313第四章綜合指標(biāo)2.運(yùn)用相對(duì)指標(biāo)的基本要求運(yùn)用相對(duì)指標(biāo)的基本要求是：對(duì)比的兩個(gè)指標(biāo)要有可比性。指標(biāo)的可比性就是兩個(gè)對(duì)比的指標(biāo)具有相同的類型或有著密切的經(jīng)濟(jì)聯(lián)系，對(duì)比的結(jié)果要滿足統(tǒng)計(jì)分析的要求。相對(duì)指標(biāo)是一個(gè)抽象化的指標(biāo)，它可以使我們加深認(rèn)識(shí)現(xiàn)象之間的固有聯(lián)系。借助于相對(duì)指標(biāo)對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行對(duì)比分析，是統(tǒng)計(jì)分析的基本方法之一。2/3/202314第四章綜合指標(biāo)3.相對(duì)指標(biāo)的作用

第一，相對(duì)指標(biāo)為人們深入認(rèn)識(shí)事物發(fā)展的質(zhì)量與狀況提供了客觀依據(jù)。社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總是相互聯(lián)系、相互制約的，我們要分析一種社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，必須運(yùn)用包含相對(duì)指標(biāo)在內(nèi)的指標(biāo)體系來(lái)認(rèn)識(shí)現(xiàn)象的本質(zhì)特征。

第二，運(yùn)用相對(duì)指標(biāo)可以使不能直接對(duì)比的現(xiàn)象找到對(duì)比的基礎(chǔ)。在社會(huì)經(jīng)濟(jì)的很多現(xiàn)象中，我們常常要進(jìn)行不同國(guó)家和地區(qū)、不同企業(yè)單位之間的橫向?qū)Ρ?，而用相?duì)指標(biāo)對(duì)比，能使我們能夠更清楚地認(rèn)識(shí)現(xiàn)象之間的關(guān)系。2/3/202315第四章綜合指標(biāo)二、相對(duì)指標(biāo)的表現(xiàn)形式相對(duì)指標(biāo)的表現(xiàn)形式有：無(wú)名數(shù)和有名數(shù)。無(wú)名數(shù)：多以系數(shù)、倍數(shù)、成數(shù)、百分?jǐn)?shù)和千分?jǐn)?shù)等表示；有名數(shù)：如公斤/人，元/人，人/平方公里等。若計(jì)算相對(duì)指標(biāo)的分子與分母的計(jì)量單位相同，就形成無(wú)名數(shù)；若計(jì)算相對(duì)指標(biāo)的分子與分母的計(jì)量單位不同，就形成有名數(shù)。有名數(shù)主要是相對(duì)強(qiáng)度指標(biāo)。2/3/202316第四章綜合指標(biāo)三、相對(duì)指標(biāo)的種類及計(jì)算方法（一）靜態(tài)相對(duì)指標(biāo)相對(duì)指標(biāo)按所反映的時(shí)空關(guān)系不同可分為三類：

即靜態(tài)相對(duì)指標(biāo)、動(dòng)態(tài)相對(duì)指標(biāo)和具有動(dòng)態(tài)與靜態(tài)雙重性質(zhì)的計(jì)劃完成程度相對(duì)指標(biāo)。靜態(tài)相對(duì)指標(biāo)是在同一時(shí)間內(nèi)現(xiàn)象數(shù)量對(duì)比計(jì)算的相

對(duì)數(shù)，包括結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)、比例相對(duì)指標(biāo)、比較相對(duì)

指標(biāo)和強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)。2/3/202317第四章綜合指標(biāo)1．結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)表明總體內(nèi)部各個(gè)組成部分在總體中占的比重。俗稱比重

。計(jì)算公式：類型結(jié)構(gòu)：即用某一組的單位數(shù)與總體單位數(shù)對(duì)比計(jì)算出的比重，以反映總體單位數(shù)在各組的分布狀況。變量結(jié)構(gòu)：即用某一組的標(biāo)志總量與總體總量對(duì)比計(jì)算的比重，以反映總體某一標(biāo)志值的分布結(jié)構(gòu)。

2/3/202318第四章綜合指標(biāo)結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)舉例例如，2008年，廣州市老年人口已達(dá)107.5萬(wàn)人，占全市總?cè)丝诘?3.8%。這是類型結(jié)構(gòu)，表明老年人口比重較高，應(yīng)引起社會(huì)關(guān)注。

又如，2009年我國(guó)糧食總產(chǎn)量達(dá)到53082萬(wàn)噸，其中夏糧占23.24%，早稻占6.27%，秋糧占70.49%。這是變量結(jié)構(gòu)，表明我國(guó)各個(gè)季節(jié)糧食產(chǎn)量的比重。

2/3/202319第四章綜合指標(biāo)2．比例相對(duì)指標(biāo)比例相對(duì)指標(biāo)，簡(jiǎn)稱比例，是總體中不同部分?jǐn)?shù)量對(duì)比計(jì)算的相對(duì)數(shù)，用以分析總體內(nèi)各個(gè)組成部分之間的比例關(guān)系和協(xié)調(diào)平衡狀況。比例相對(duì)指標(biāo)可以用絕對(duì)數(shù)對(duì)比，也可以用相對(duì)數(shù)、平均數(shù)對(duì)比。計(jì)算公式：

計(jì)算比例相對(duì)指標(biāo)，總體各部分不能分得太多，一般將總體分成兩部分或三部分，太多了會(huì)使問(wèn)題復(fù)雜化。如果總體分組較多，應(yīng)改用結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)來(lái)分析。注意點(diǎn)：2/3/202320第四章綜合指標(biāo)比例相對(duì)指標(biāo)應(yīng)用舉例例如某學(xué)院2009年招收男生1760人，女生2200人，則男生數(shù)對(duì)女生數(shù)的比例為80％，也可以寫(xiě)成男生數(shù)與女生數(shù)之比為80:100。又如，2006年末我國(guó)人口的男女比例為106:100。

例如，2009年我國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入17175元，農(nóng)村居民人均純收入5153元，城鄉(xiāng)居民人均純收入之比為3.33:1。2/3/202321第四章綜合指標(biāo)結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)與比例相對(duì)指標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換

設(shè)總體分甲、乙兩部分，則：例4‐1甲乙兩個(gè)班組生產(chǎn)某產(chǎn)品，今年1月份甲班完工的產(chǎn)品產(chǎn)量比乙班多50%，求甲乙兩個(gè)班組產(chǎn)量的比重。解：甲班產(chǎn)量比乙班多50%，意味著甲與乙之比為150%，則2/3/202322第四章綜合指標(biāo)3．比較相對(duì)指標(biāo)比較相對(duì)指標(biāo)是兩個(gè)同類總體的同類指標(biāo)在不同地區(qū)、部門、單位之間的對(duì)比。計(jì)算公式：比較相對(duì)指標(biāo)可以用用百分比來(lái)表示；也可以用倍數(shù)來(lái)表示。計(jì)算比較相對(duì)指標(biāo)，可以用絕對(duì)數(shù)對(duì)比，也可以用相對(duì)數(shù)、平均數(shù)對(duì)比。一般應(yīng)將較大的數(shù)值與較小的數(shù)值對(duì)比，以使計(jì)算結(jié)果更為直觀。例如，2009年上海人均年收入為18645元，蘇州為16276元，則上海人均年收入是蘇州的1.15倍。注意點(diǎn)：2/3/202323第四章綜合指標(biāo)4．強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)是同一總體中兩個(gè)性質(zhì)不同但有一定聯(lián)系的總量指標(biāo)對(duì)比計(jì)算的相對(duì)數(shù)，用來(lái)表明一種現(xiàn)象在另一種現(xiàn)象中的發(fā)展強(qiáng)度、密度和普遍程度。計(jì)算公式：注意點(diǎn)：一是兩個(gè)對(duì)比的指標(biāo)一般是總量指標(biāo)；二是這兩個(gè)不同類的指標(biāo)是有一定社會(huì)經(jīng)濟(jì)聯(lián)系的；三是強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)可用無(wú)名數(shù)和有名數(shù)表示；四是強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)可分正指標(biāo)（越大越好）、逆指標(biāo)（越小越好）。2/3/202324第四章綜合指標(biāo)例1，2005年我國(guó)人口出生率和自然增長(zhǎng)率分別為12.4‰和5.9‰。（無(wú)名數(shù)）例2，2006年末我國(guó)人口密度為137（人/平方千米）。（有名數(shù)）例3，某市每百名戶籍老人擁有11.43張養(yǎng)老床位；（正指標(biāo)）每張養(yǎng)老床位服務(wù)的戶籍老人為8.75人。（逆指標(biāo)）強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)應(yīng)用舉例2/3/202325第四章綜合指標(biāo)靜態(tài)相對(duì)指標(biāo)的判斷強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)與平均指標(biāo)的區(qū)別：例如，某3口之家，父母有收入，孩子上學(xué)。父母的平均年收入顯然是個(gè)平均數(shù)，但一家3口的平均年收入只是一個(gè)廣義的平均數(shù)，它屬于強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)。類似的現(xiàn)象如人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值和人均糧食產(chǎn)量、全員勞動(dòng)生產(chǎn)率等都是屬于強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)。有些相對(duì)指標(biāo)的雙重性：如資產(chǎn)負(fù)債率一般意義上是強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)，但對(duì)于“資產(chǎn)=負(fù)債+所有者權(quán)益”會(huì)計(jì)等式來(lái)說(shuō)，則是一個(gè)結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)。結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)側(cè)重于考察總體的構(gòu)成；強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)側(cè)重于考察總體中某個(gè)舉足輕重的指標(biāo)對(duì)另一個(gè)指標(biāo)的作用。如人口普查中計(jì)算的文盲率、出生率等雖然有比重的含義，但側(cè)重于考察指標(biāo)的重要性，因此都屬于強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)。2/3/202326第四章綜合指標(biāo)（二）動(dòng)態(tài)相對(duì)指標(biāo)動(dòng)態(tài)相對(duì)指標(biāo)包括發(fā)展速度和增長(zhǎng)速度，它是兩個(gè)不同時(shí)期或不同時(shí)點(diǎn)現(xiàn)象發(fā)展水平對(duì)比計(jì)算的動(dòng)態(tài)相對(duì)指標(biāo)。計(jì)算公式：2/3/202327第四章綜合指標(biāo)（三）計(jì)劃完成程度相對(duì)指標(biāo)計(jì)劃完成程度相對(duì)指標(biāo)是現(xiàn)象在一定時(shí)期內(nèi)或時(shí)點(diǎn)上實(shí)際完成數(shù)與計(jì)劃數(shù)對(duì)比計(jì)算的相對(duì)數(shù)，用來(lái)檢查、監(jiān)督計(jì)劃執(zhí)行情況。計(jì)算公式：其中：實(shí)際完成數(shù)和計(jì)劃數(shù)可采用絕對(duì)數(shù)，也可采用相對(duì)數(shù)和平均數(shù)。該公式的分子與分母不能對(duì)換。2/3/202328第四章綜合指標(biāo)計(jì)劃完成程度相對(duì)指標(biāo)的雙重性：動(dòng)態(tài)特性：計(jì)劃完成程度相對(duì)指標(biāo)計(jì)算公式中的計(jì)劃數(shù)與發(fā)展速度計(jì)算公式中的基期水平的性質(zhì)是相似的，因?yàn)橛?jì)劃是預(yù)先制定的，實(shí)際完成數(shù)與計(jì)劃數(shù)對(duì)比也是一種時(shí)間意義的對(duì)比。由此計(jì)劃完成程度相對(duì)指標(biāo)具有動(dòng)態(tài)相對(duì)指標(biāo)的特性。靜態(tài)特性：但計(jì)劃數(shù)是一個(gè)人為確定的標(biāo)準(zhǔn)，是一個(gè)常量，這與發(fā)展速度計(jì)算公式中的基期水平相比是有區(qū)別的。因此，實(shí)際完成數(shù)與一個(gè)常量對(duì)比，這就使計(jì)劃完成程度相對(duì)指標(biāo)具有靜態(tài)相對(duì)指標(biāo)的特性。

2/3/202329第四章綜合指標(biāo)

1．計(jì)劃任務(wù)采用絕對(duì)數(shù)形式表現(xiàn)

第一種情況：計(jì)劃任務(wù)已經(jīng)完成，即實(shí)際完成數(shù)與計(jì)劃數(shù)屬于同一時(shí)期且長(zhǎng)度相等。則直接采用以上所列的基本公式計(jì)算。第二種情況：計(jì)劃任務(wù)還未完成，則采用以下公式計(jì)算：（1）短期計(jì)劃執(zhí)行情況檢查2/3/202330第四章綜合指標(biāo)短期計(jì)劃執(zhí)行情況檢查應(yīng)用舉例例4‐2某企業(yè)計(jì)劃2010年實(shí)現(xiàn)產(chǎn)值1000萬(wàn)元，到了2010年第二季度，已完成產(chǎn)值600萬(wàn)元，問(wèn)計(jì)劃完成進(jìn)度為多少？2/3/202331第四章綜合指標(biāo)第一種情況：計(jì)劃任務(wù)采用累計(jì)法制定的，即計(jì)劃任務(wù)只規(guī)定一個(gè)各年的總和。第二種情況：計(jì)劃任務(wù)采用水平法制定的，即計(jì)劃任務(wù)只規(guī)定計(jì)劃期末達(dá)到的水平。（2）長(zhǎng)期規(guī)劃執(zhí)行情況檢查下面舉例說(shuō)明：2/3/202332第四章綜合指標(biāo)長(zhǎng)期規(guī)劃執(zhí)行情況檢查應(yīng)用舉例（累計(jì)法）例4‐3某市“十一五”規(guī)劃用累計(jì)法規(guī)定：2006～2010年城鎮(zhèn)固定資產(chǎn)投資總額為2000億元，實(shí)際5年共完成投資總額為2150億元，求計(jì)劃完成百分比。

累計(jì)法計(jì)劃任務(wù)執(zhí)行進(jìn)度的檢查方法是：將計(jì)劃全部時(shí)間減去自計(jì)劃執(zhí)行之日起至累計(jì)實(shí)際數(shù)量已達(dá)到計(jì)劃任務(wù)的時(shí)間，即為提前完成計(jì)劃的時(shí)間。如果本例該市到2010年7月末已完成投資額2000億元，則該市提前5個(gè)月完成了投資任務(wù)。

2/3/202333第四章綜合指標(biāo)長(zhǎng)期規(guī)劃執(zhí)行情況檢查應(yīng)用舉例（水平法）例4‐4某地區(qū)“十一五”規(guī)劃用水平法規(guī)定：到2010年煤炭年產(chǎn)量達(dá)到5000萬(wàn)噸，實(shí)際完成情況：2008年煤炭年產(chǎn)量為4600萬(wàn)噸，2009年各季的產(chǎn)量分別為1000、1100、1200、1300萬(wàn)噸，2010年各季的產(chǎn)量分別為1400、1420、1470、1500萬(wàn)噸。計(jì)算計(jì)劃完成百分比和提前完成計(jì)劃的時(shí)間。

水平法計(jì)劃任務(wù)執(zhí)行進(jìn)度的檢查方法是：只要連續(xù)4個(gè)季或12個(gè)月已達(dá)到年完成數(shù)，則該季或該月就是提前完成計(jì)劃的時(shí)間。從本例容易推算，2009年后3個(gè)季度的產(chǎn)量加上2010年第1季度的產(chǎn)量為5000萬(wàn)噸，提前完成計(jì)劃的時(shí)間為3個(gè)季度。

2/3/202334第四章綜合指標(biāo)

2．計(jì)劃任務(wù)采用相對(duì)數(shù)形式表現(xiàn)

引例設(shè)實(shí)際完成數(shù)a1=120，計(jì)劃數(shù)an=100，則有：A式：B式：其中:A式可描述為a1是an的120%，B式可描述為a1比a0多20%2/3/202335第四章綜合指標(biāo)例4‐5某企業(yè)給生產(chǎn)車間下達(dá)的計(jì)劃任務(wù)是：某產(chǎn)品產(chǎn)量比去年增加22%，單位成本比去年降低5%；給營(yíng)銷部門下達(dá)的計(jì)劃任務(wù)是：商品流通費(fèi)率控制在12%。實(shí)際完成情況為：產(chǎn)量比去年增加了27%，單位成本比去年降低了6%，商品流通費(fèi)率為12.6%。問(wèn)各部門計(jì)劃完成情況如何？

計(jì)劃任務(wù)采用相對(duì)數(shù)形式表現(xiàn)應(yīng)用舉例

增產(chǎn)任務(wù)完成情況：超額完成了4.10%單位成本降低任務(wù)完成情況：超額完成了1.05%流通費(fèi)率控制情況：未完成5%2/3/202336第四章綜合指標(biāo)例4‐6某企業(yè)2009年利潤(rùn)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)了110%，2009年的利潤(rùn)目標(biāo)比2008年增長(zhǎng)8%，那么該企業(yè)2009年實(shí)現(xiàn)的利潤(rùn)比2008年增長(zhǎng)了百分之多少？

本例計(jì)劃完成程度相對(duì)數(shù)是110%，計(jì)劃任務(wù)就是2009年利潤(rùn)目標(biāo)比2008年增長(zhǎng)8%，即2009年利潤(rùn)目標(biāo)是2008年的108%，現(xiàn)在需要計(jì)算的就是發(fā)展速度：我們知道，發(fā)展速度是a1與a0之比，計(jì)劃完成程度相對(duì)數(shù)是a1與an之比，而計(jì)劃任務(wù)是an與a0之比，則有：計(jì)算結(jié)果表明：2009年實(shí)現(xiàn)的利潤(rùn)比2008年增長(zhǎng)了18.8%。從以上計(jì)算可以看出，計(jì)劃完成程度相對(duì)數(shù)、發(fā)展速度和計(jì)劃任務(wù)這三個(gè)相對(duì)數(shù)，只要已知其中兩個(gè)，就能計(jì)算出第三個(gè)相對(duì)數(shù)來(lái)。

2/3/202337第四章綜合指標(biāo)3.計(jì)劃任務(wù)采用平均數(shù)形式表現(xiàn)當(dāng)計(jì)劃任務(wù)采用平均數(shù)時(shí)，應(yīng)先計(jì)算出實(shí)際達(dá)到的平均水平，再與計(jì)劃規(guī)定的平均水平對(duì)比。

計(jì)算公式：

例如，某車間2010年度一季度計(jì)劃人均產(chǎn)值為10萬(wàn)元，實(shí)際完成了12萬(wàn)元。則計(jì)劃完成程度為：

超額完成了20%2/3/202338第四章綜合指標(biāo)第三節(jié)平均指標(biāo)一、平均指標(biāo)的意義平均指標(biāo)又稱統(tǒng)計(jì)平均數(shù)，主要用以反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志在一定時(shí)間、地點(diǎn)條件所達(dá)到的一般水平。平均指標(biāo)的特點(diǎn)在于把總體各單位標(biāo)志值的差異抽象化了，它作為代表值來(lái)反映這些單位標(biāo)志值的一般水平。運(yùn)用平均指標(biāo)的基本要求：要注意社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的同質(zhì)性。具有同質(zhì)性的事物具有相加性，而平均數(shù)正是通過(guò)這種相加性計(jì)算出來(lái)的。2/3/202339第四章綜合指標(biāo)平均指標(biāo)的作用反映總體各單位變量分布的集中趨勢(shì)和一般水平；比較同類現(xiàn)象在不同單位的發(fā)展水平；比較同類現(xiàn)象在不同時(shí)期的發(fā)展趨勢(shì)或變化規(guī)律；平均指標(biāo)可作為代表值用來(lái)分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系；可作為評(píng)價(jià)事物和決策的標(biāo)準(zhǔn)或參考。2/3/202340第四章綜合指標(biāo)二、算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的一般計(jì)算方法是圍繞著計(jì)算絕對(duì)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)展開(kāi)的。從靜態(tài)看，算術(shù)平均數(shù)是用各單位標(biāo)志值之和除以標(biāo)志值的個(gè)數(shù)計(jì)算的；從動(dòng)態(tài)看，算術(shù)平均數(shù)是用各時(shí)期的指標(biāo)值之和除以時(shí)期數(shù)計(jì)算的。算術(shù)平均數(shù)是計(jì)算社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象平均指標(biāo)最常用的方法。（一）算術(shù)平均數(shù)的一般計(jì)算方法2/3/202341第四章綜合指標(biāo)常見(jiàn)的絕對(duì)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)：2/3/202342第四章綜合指標(biāo)1.簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)適用于未分組資料，其計(jì)算公式如下：

注意點(diǎn)：分子與分母必須屬于同一個(gè)總體；分子與分母有一一對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。式中：表示算術(shù)平均數(shù)，∑表示對(duì)變量x求和，n代表變量x的個(gè)數(shù)。

2/3/202343第四章綜合指標(biāo)簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)舉例例4‐7某班組生產(chǎn)某產(chǎn)品有40名工人，今年1月份各工人的產(chǎn)量資料如下：390430430430460460460460460460460460460500500500500500500500500500500500500500500520520520520520520520540540540540550550試計(jì)算人均月產(chǎn)量。經(jīng)加總，40名工人的總產(chǎn)量為19720件。計(jì)算如下：（件）2/3/202344第四章綜合指標(biāo)2．加權(quán)算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)主要適合于分組資料，且編出次數(shù)分布的情況。計(jì)算公式：

式中：

f為變量的次數(shù)；為變量出現(xiàn)的頻率。

f和在加權(quán)算術(shù)平均數(shù)中專稱權(quán)數(shù)。

權(quán)數(shù)越大，該權(quán)數(shù)所對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值對(duì)平均數(shù)的影響也越大；權(quán)數(shù)越小，該權(quán)數(shù)所對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值對(duì)平均數(shù)的影響也越小。2/3/202345第四章綜合指標(biāo)當(dāng)權(quán)數(shù)為常數(shù)，就變成了簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式：影響加權(quán)算術(shù)平均數(shù)大小的因素：一個(gè)是各組變量x的大小；另一個(gè)是各組權(quán)數(shù)f和

的大小。

f/∑f

這個(gè)因子在不同場(chǎng)合的名稱，在統(tǒng)計(jì)分組時(shí)叫頻率；在相對(duì)指標(biāo)和因素分析中叫結(jié)構(gòu)、構(gòu)成或比重；在平均指標(biāo)中稱權(quán)數(shù)；在抽樣推斷中又是隨機(jī)變量的概率。注意：2/3/202346第四章綜合指標(biāo)將例4‐7的產(chǎn)量資料進(jìn)行組單項(xiàng)式分組，試計(jì)算人均月產(chǎn)量。首先利用表格計(jì)算相關(guān)資料：（件），或某班組產(chǎn)量資料單項(xiàng)式分組計(jì)算表然后用公式計(jì)算如下：月產(chǎn)量（件）x

394430460500520540548合計(jì)工人數(shù)（人）f

139147424039412904140700036402160109619720xf

2.57.522.535.017.510.05.0100.0∑ff9.8532.25103.50175.0091.0054.0027.40493.00∑ffx·（件）2/3/202347第四章綜合指標(biāo)將例4‐7的產(chǎn)量資料進(jìn)行組距式分組，試計(jì)算人均月產(chǎn)量。首先利用表格計(jì)算相關(guān)資料：（件），或某班組產(chǎn)量資料組距式分組計(jì)算表然后用公式計(jì)算如下：組中值（件）x

410450490530

合計(jì)工人數(shù)（人）f

xf

∑ff∑ffx·（件）月產(chǎn)量（件）390～430430～470470～510510～550—112141340410540068606890195602.530.035.032.5100.010.25135.00171.50172.25489.00注意點(diǎn):組距式分組資料的組中值是近似值，其算術(shù)平均數(shù)也是近似值（如本例489件）；未分組資料和單項(xiàng)式分組資料計(jì)算的算術(shù)平均數(shù)則是精確值（如本例493件）。2/3/202348第四章綜合指標(biāo)（二）相對(duì)數(shù)或平均數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，基本思路：為了克服相對(duì)數(shù)或平均數(shù)在空間范圍內(nèi)不能相加的特性，首先分離出原相對(duì)數(shù)或平均數(shù)中分子和分母的絕對(duì)數(shù)，然后再通過(guò)絕對(duì)數(shù)的相加性來(lái)計(jì)算它們的算術(shù)平均數(shù)。計(jì)算步驟第一步，寫(xiě)出原相對(duì)數(shù)或平均數(shù)具有經(jīng)濟(jì)含義的文字公式，并配上字母。例如：注意:上式中m=x﹒f是一個(gè)經(jīng)濟(jì)方程式，x和f必須具有相容性，即x乘以f的結(jié)果必須具有實(shí)際意義。2/3/202349第四章綜合指標(biāo)第二步，分離出原相對(duì)數(shù)或平均數(shù)分子和分母的絕對(duì)數(shù)，并根據(jù)已知條件，確定計(jì)算公式。

若已知x、f，則采用加權(quán)算術(shù)平均法計(jì)算，公式如下：若已知m、f，則采用簡(jiǎn)式平均法計(jì)算，公式如下：若已知x、m，則采用加權(quán)調(diào)和平均法

，公式如下：2/3/202350第四章綜合指標(biāo)例4‐8某控股公司有4個(gè)子公司，今年1月份各子公司各商品的銷售量、銷售額和銷售利潤(rùn)率資料見(jiàn)下表。試計(jì)算4個(gè)子公司的平均銷售利潤(rùn)率。

宏達(dá)長(zhǎng)發(fā)遠(yuǎn)大華碩合計(jì)銷售利潤(rùn)率（%）x子公司名稱—11.512.015.01.5銷售額（萬(wàn)元）f利潤(rùn)額（萬(wàn)元）m320750146360157636.890.021.977.4226.1某控股公司4個(gè)子公司的商品銷售資料

若已知x、f，則可采用加權(quán)算術(shù)平均法計(jì)算如下：2/3/202351第四章綜合指標(biāo)若已知x、m，則可采用加權(quán)調(diào)和平均法計(jì)算：若已知m、f，則可采用簡(jiǎn)式平均法計(jì)算如下：下面將詳細(xì)介紹調(diào)和平均法相關(guān)理論和方法。2/3/202352第四章綜合指標(biāo)三、調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)是標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又稱倒數(shù)平均數(shù)，它僅適合于計(jì)算相對(duì)數(shù)、平均數(shù)的平均數(shù)。根據(jù)經(jīng)濟(jì)等式m=x﹒f，可導(dǎo)出加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算公式：

其中，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的權(quán)數(shù)是f，而加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的權(quán)數(shù)是m。m是結(jié)合了各組標(biāo)志值與對(duì)應(yīng)的次數(shù)而形成的各組標(biāo)志值總量，

m越大，說(shuō)明該組標(biāo)志值總量越大，對(duì)平均數(shù)的影響也越大。

2/3/202353第四章綜合指標(biāo)將調(diào)和平均數(shù)稱作倒數(shù)平均數(shù)，可從以下公式變換中形象地看出來(lái)：

當(dāng)m為常數(shù)時(shí)，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)就變成了簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)：2/3/202354第四章綜合指標(biāo)由于m=x﹒f和，則有：和的轉(zhuǎn)換公式

注意：該比重轉(zhuǎn)換公式中的是相對(duì)數(shù)或平均數(shù)的平均指標(biāo)。2/3/202355第四章綜合指標(biāo)例4‐9某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品有甲、乙兩個(gè)車間，今年上半年甲車間超額完成計(jì)劃任務(wù)20%，乙車間超額完成計(jì)劃任務(wù)25%，甲車間的實(shí)際產(chǎn)量占總產(chǎn)量的60%。要求計(jì)算甲、乙兩個(gè)車間平均計(jì)劃完成程度和甲、乙兩個(gè)車間的計(jì)劃產(chǎn)量之比。

本例：實(shí)際產(chǎn)量（m）=計(jì)劃完成百分比（x）×計(jì)劃產(chǎn)量（f）?，F(xiàn)已知實(shí)際產(chǎn)量（m）和計(jì)劃完成百分比（x），應(yīng)采用加權(quán)調(diào)和平均法計(jì)算。甲車間實(shí)際產(chǎn)量的比重為60%，則乙車間實(shí)際產(chǎn)量的比重為40%（1–60%=40%）。甲車間計(jì)劃完成百分比為120%（1+20%=120%），乙車間的計(jì)劃完成百分比為125%（1+25%=125%），則甲、乙兩個(gè)車間的平均計(jì)劃完成程度為：2/3/202356第四章綜合指標(biāo)甲、乙兩個(gè)車間計(jì)劃產(chǎn)量的比重分別計(jì)算如下：甲乙兩個(gè)車間的計(jì)劃產(chǎn)量之比即甲車間的計(jì)劃產(chǎn)量比乙車間多56.28%2/3/202357第四章綜合指標(biāo)例4‐10某企業(yè)570名職工的月工資分組資料如下表所示，試計(jì)算人均月工資。此題用組中值代表各組的人均工資，則已知各組的人均工資（x）和工資總額（m），計(jì)算如下：

某企業(yè)職工工資分組計(jì)算表按月工資分組（元）

合計(jì)組中值（元）x

1000～15001500～20002000～25002500～30003000以上12501750225027503250—組工資總額（元）m

837502205004072502805003055001297500m/x

6712618110294570（元）2/3/202358第四章綜合指標(biāo)例4‐11某營(yíng)銷中心在3個(gè)地區(qū)銷售同一種商品。去年全年該商品在3個(gè)地區(qū)的銷售價(jià)格分別為每臺(tái)2180元、2580元和2680元。銷售情況是：上半年3個(gè)地區(qū)的商品銷售額大致相同；下半年3個(gè)地區(qū)的商品銷售量大致相同。試分別計(jì)算去年上半年和下半年3個(gè)地區(qū)的商品平均銷售價(jià)格。上半年3個(gè)地區(qū)的商品銷售額大致相同，即商品銷售額（m）近似為常數(shù)，可用簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)公式計(jì)算如下：（元）下半年3個(gè)地區(qū)的商品銷售量大致相同，即商品銷售量（f）近似為常數(shù)，可用簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)公式，具體計(jì)算如下：（元）2/3/202359第四章綜合指標(biāo)四、幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)是反映按一定比率變動(dòng)的社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象標(biāo)志值的一般水平的平均指標(biāo)。它主要適用于：計(jì)算結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)的靜態(tài)平均數(shù)；計(jì)算動(dòng)態(tài)相對(duì)指標(biāo)的動(dòng)態(tài)平均數(shù)。幾何平均數(shù)的計(jì)算基礎(chǔ)是各標(biāo)志值的相容性。所謂相容性是指將不同的標(biāo)志值相乘后應(yīng)具有實(shí)際意義。

2/3/202360第四章綜合指標(biāo)幾何平均數(shù)有簡(jiǎn)單和加權(quán)兩種形式：簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)的計(jì)算公式如下：加權(quán)幾何平均數(shù)的計(jì)算公式如下：式中：表示幾何平均數(shù)，∏是對(duì)變量x的連乘符號(hào)，f表示權(quán)數(shù)。2/3/202361第四章綜合指標(biāo)例4‐12某產(chǎn)品的生產(chǎn)過(guò)程包括3道連續(xù)工序，3道工序的產(chǎn)品合格率分別為80%、90%、95%，問(wèn)完工產(chǎn)品合格率為多少？3道工序的平均合格率為多少？產(chǎn)品合格率屬于結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)。設(shè)d0表示第1道工序生產(chǎn)的產(chǎn)品總量，d1、d2、d3分別表示3道工序生產(chǎn)合格品數(shù)量。則有：即3道連續(xù)工序的產(chǎn)品合格率具有相容性，它們的乘積68.4%就是完工產(chǎn)品的合格率。而3道工序的平均合格率為：

2/3/202362第四章綜合指標(biāo)例4‐13某儲(chǔ)戶有一筆錢連續(xù)存兩年，復(fù)利計(jì)算，第1年儲(chǔ)蓄年利率為3%，第2年降為1%，問(wèn)兩年得到的本利率為多少？?jī)赡甑钠骄昀蕿槎嗌伲?/p>

設(shè)d0表示該儲(chǔ)戶第1年年初存入的本金，d1、d2分別表示第1年年末和第2年年末得到的本金與利息之和。則兩年的本利率為：

而兩年的平均年利率為：復(fù)利計(jì)算的銀行利率實(shí)際上是一個(gè)增長(zhǎng)速度問(wèn)題。2/3/202363第四章綜合指標(biāo)五、眾數(shù)和中位數(shù)眾數(shù)和中位數(shù)是兩個(gè)位置平均數(shù)。位置平均數(shù)是根據(jù)處于特殊位置的一部分標(biāo)志值來(lái)計(jì)算或確定的。它適用于總體各單位的數(shù)量特征有極大值或極小值存在的情況，或有個(gè)別數(shù)值不確切、不清楚，以及用等級(jí)表示的數(shù)據(jù)等情況。

（一）眾數(shù)眾數(shù)是現(xiàn)象總體中出現(xiàn)次數(shù)最多、或頻率最高的標(biāo)志值，一般用M0表示。眾數(shù)適用于從定類尺度到定比尺度測(cè)定的數(shù)據(jù)。眾數(shù)具有不確定性，只能作為決策的參考依據(jù)。2/3/202364第四章綜合指標(biāo)確定眾數(shù)必須編制相應(yīng)的分配數(shù)列。分配數(shù)列有單項(xiàng)式數(shù)列和組距式數(shù)列兩種，以下我們分別討論。例4‐14某村居民家庭按孩子數(shù)分組資料如下：

某村居民家庭按孩子數(shù)分組的單項(xiàng)式數(shù)列

家庭孩子數(shù)（個(gè)）戶數(shù)（戶）比重（%）0123合計(jì)7316832527826.2660.4311.511.80100.00可根據(jù)次數(shù)來(lái)判斷，也可根據(jù)頻率來(lái)判斷。

本例各組最大的次數(shù)為168，對(duì)應(yīng)的眾數(shù)為1個(gè)孩子；

最大的頻率為60.43%，對(duì)應(yīng)的眾數(shù)也是1個(gè)孩子。

用兩種方法判斷的結(jié)果是相同的。單項(xiàng)式數(shù)列眾數(shù)的確定2/3/202365第四章綜合指標(biāo)組距式數(shù)列眾數(shù)的確定對(duì)于組距式數(shù)列眾數(shù)的確定，首先要確定眾數(shù)組。次數(shù)或頻率最大的組就是眾數(shù)組。眾數(shù)組內(nèi)的某個(gè)眾數(shù)值可按下列公式確定：采用上式計(jì)算的眾數(shù)值是個(gè)近似值，這是因?yàn)樵诖_定眾數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)的位置時(shí)，僅考慮了眾數(shù)組及其相鄰上下兩組的次數(shù)之間的比例關(guān)系。

2/3/202366第四章綜合指標(biāo)例4‐15某鄉(xiāng)鎮(zhèn)農(nóng)民家庭按年人均純收入分組資料如下：

人均純收入（元）戶數(shù)（戶）比重（%）合計(jì)3000100.00某鄉(xiāng)鎮(zhèn)農(nóng)民家庭按年人均純收入分組的組距式數(shù)列

5000以下5000～55005500～60006000～65006500～70007000～75007500～80008000以上10014048010506002702101503.334.6716.0035.0020.009.007.005.00本例次數(shù)最大的是1050，對(duì)應(yīng)的眾數(shù)組為6000～6500元。眾數(shù)值的計(jì)算確定如下：（元）2/3/202367第四章綜合指標(biāo)注意點(diǎn)：眾數(shù)的計(jì)算要具備一定的條件，如果各組的次數(shù)是相同的或相差無(wú)幾，則不存在眾數(shù)。

在總體單位數(shù)小于30個(gè)，或在一個(gè)無(wú)明顯集中趨勢(shì)的資料中，眾數(shù)的測(cè)定是沒(méi)有意義的。

眾數(shù)主要適用于變量數(shù)列，

也可以分析品質(zhì)數(shù)列某一出現(xiàn)次數(shù)最多的“重要類型”或“普遍現(xiàn)象”。

如服裝商店銷售量最多的時(shí)裝等。2/3/202368第四章綜合指標(biāo)（二）中位數(shù)中位數(shù)是將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列后，處于中間位置的那個(gè)數(shù)值，一般用Me表示。中位數(shù)的概念表明，數(shù)列中有一半單位的標(biāo)志值小于中位數(shù)，另一半單位的標(biāo)志值大于中位數(shù)。中位數(shù)也可以用來(lái)表示現(xiàn)象的一般水平，并可以排除了某些極端數(shù)值對(duì)平均數(shù)的影響。中位數(shù)不能用于定類數(shù)據(jù)。2/3/202369第四章綜合指標(biāo)未分組資料中位數(shù)的確定確定方法：

先將各單位按標(biāo)志值大小順序排列，

如果總體單位數(shù)（n）是奇數(shù)，

則處于（n+1）/2位置的標(biāo)志值是中位數(shù)；

如果總體單位數(shù)（n）是偶數(shù)，

那么中位數(shù)就是位次為n/2和（n/2）+1對(duì)應(yīng)的兩個(gè)標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)。2/3/202370第四章綜合指標(biāo)例4‐16某藍(lán)球隊(duì)有12名隊(duì)員，現(xiàn)按身高排序，排在第6位的隊(duì)員身高為2.02米、第7位為2.03米，問(wèn)藍(lán)球隊(duì)隊(duì)員身高的中位數(shù)為多少？若該藍(lán)球隊(duì)增加了一名替補(bǔ)隊(duì)員，身高為2.01米，該藍(lán)球隊(duì)隊(duì)員身高的中位數(shù)又為多少？第一種情況，人數(shù)為偶數(shù)，n=12，

n/2=12/2=6，

（n/2）+1=（12/2）+1=7，

中位數(shù)就是第6位和第7位隊(duì)員身高的平均數(shù)。

即：中位數(shù)=（2.02+2.03）/2=2.025米。

第二種情況，人數(shù)為奇數(shù)，n=13，

（13+1）/2=7，

由于增加的一名替補(bǔ)隊(duì)員按身高應(yīng)排在原第6位隊(duì)員的前面，

這樣原第6位隊(duì)員就變成了第7位了，

因此，中位數(shù)為2.03米。2/3/202371第四章綜合指標(biāo)單項(xiàng)式分組資料中位數(shù)的確定

確定方法：首先，逐組計(jì)算分配數(shù)列的累計(jì)頻數(shù)，若∑f為奇數(shù)，當(dāng)累計(jì)頻數(shù)達(dá)到（∑f+1

）/2時(shí)所對(duì)應(yīng)的組就是中位數(shù)組，該組的變量就是中位數(shù)；若∑f為偶數(shù)，當(dāng)累計(jì)頻數(shù)達(dá)到∑f/2和（∑f/2）+1時(shí)所對(duì)應(yīng)的組是同一組，則該組就是中位數(shù)組，其變量就是中位數(shù)。如果累計(jì)頻數(shù)達(dá)到∑f/2時(shí)對(duì)應(yīng)一組，達(dá)到（∑f/2）+1時(shí)對(duì)應(yīng)相鄰后一組，則中位數(shù)是相鄰兩組變量的算術(shù)平均數(shù)。2/3/202372第四章綜合指標(biāo)例如，某村居民家庭按孩子數(shù)單項(xiàng)式分組資料如下，試確定中位數(shù)：

某村居民家庭按孩子數(shù)分組的單項(xiàng)式數(shù)列

家庭孩子數(shù)（個(gè)）戶數(shù)（戶）累計(jì)頻數(shù)0123合計(jì)7316832527873241273278—139和140都在第2組，該組變量家庭孩子數(shù)1個(gè)為中位數(shù)∑f=278，為偶數(shù)。2/3/202373第四章綜合指標(biāo)組距式分組資料中位數(shù)的確定

確定方法：第一步，確定中位數(shù)組當(dāng)累計(jì)頻數(shù)達(dá)到∑f/2或累計(jì)頻率達(dá)到50%時(shí)所對(duì)應(yīng)的組就是中位數(shù)組。第二步，計(jì)算中位數(shù)，公式如下：或：2/3/202374第四章綜合指標(biāo)例4‐17某鄉(xiāng)鎮(zhèn)農(nóng)民家庭按年人均純收入分組資料如下，試計(jì)算組距式分配數(shù)列的中位數(shù)。

人均純收入（元）戶數(shù)（戶）比重（%）合計(jì)3000100.00某鄉(xiāng)鎮(zhèn)農(nóng)民家庭按年人均純收入分組的組距式數(shù)列

5000以下5000～55005500～60006000～65006500～70007000～75007500～80008000以上10014048010506002702101503.334.6716.0035.0020.009.007.005.00（元）累計(jì)頻率累計(jì)頻數(shù)100240720177023702640285030003.338.0024.0059.0079.0088.0095.00100.00——確定中位數(shù)的所在組。中位數(shù)的位次=3000/2=1500，第三組的累計(jì)次數(shù)為720（100+140+480），第四組的累計(jì)次數(shù)為1770（720+1050），可見(jiàn)，中位數(shù)的所在組是年人均純收入6000～6500元這一組。或（元）2/3/202375第四章綜合指標(biāo)（三）眾數(shù)、中位數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系算術(shù)平均數(shù)與眾數(shù)、中位數(shù)三者在數(shù)量上的關(guān)系取決于分配數(shù)列的分布狀況：

近似正態(tài)分布；

右偏（正偏）分布；

左偏（正偏）分布。

在近似正態(tài)分布的情況下，三者的關(guān)系為：2/3/202376第四章綜合指標(biāo)右偏態(tài)分布因其分布的長(zhǎng)尾向右側(cè)延伸，表明有若干

極大值存在，因此也稱正偏分布，此時(shí)，大于平均數(shù)

的變量累計(jì)頻率小于0.5，見(jiàn)下圖：右偏分布三者的關(guān)系為：2/3/202377第四章綜合指標(biāo)左偏態(tài)分布因其分布的長(zhǎng)尾向左側(cè)延伸，表明有若干

極小值存在，因此也稱負(fù)偏分布，此時(shí)，小于平均數(shù)

的變量累計(jì)頻率小于0.5，見(jiàn)下圖：三者的關(guān)系為：左偏分布2/3/202378第四章綜合指標(biāo)例4‐18某車間生產(chǎn)某產(chǎn)品，人均日產(chǎn)量分組的資料如下表所列，試計(jì)算日產(chǎn)量的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)，說(shuō)明變量分布狀態(tài)；并計(jì)算日產(chǎn)量低于平均數(shù)的工人數(shù)所占的比重（累計(jì)頻率）。人均日產(chǎn)量（件）工人數(shù)（人）f

合計(jì)18022340（件）xf累計(jì)次數(shù)—100以下100～120120～140140以上組中值x

9011013015019517436970144180—某車間產(chǎn)品日產(chǎn)量分組資料1710561096205400從表中可看出，眾數(shù)組為：120～140；中位數(shù)的位次為90（180/2），中位組為：120～140。平均數(shù)可計(jì)算如下：2/3/202379第四章綜合指標(biāo)（件）中位數(shù)的位次為90（180/2），中位組為：120～140。眾數(shù)可計(jì)算如下：從表中可看出，眾數(shù)組為：120～140中位數(shù)可計(jì)算如下：（件），分配數(shù)列為左偏分布由于2/3/202380第四章綜合指標(biāo)在左偏分布情況下，小于平均數(shù)的變量累計(jì)頻率為47.34%，小于0.5。說(shuō)明在平均數(shù)左邊的變量個(gè)數(shù)少，平均數(shù)右邊的變量個(gè)數(shù)多。說(shuō)明平均數(shù)左邊的變量離平均數(shù)較遠(yuǎn)，表現(xiàn)為一條長(zhǎng)尾向左延伸。

日產(chǎn)量低于平均數(shù)的工人數(shù)比重計(jì)算結(jié)果表明：2/3/202381第四章綜合指標(biāo)數(shù)值平均數(shù)是根據(jù)總體所有標(biāo)志值計(jì)算的平均數(shù)，其數(shù)值大小會(huì)受到標(biāo)志值中極端值的影響，它包括算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)。位置平均數(shù)是根據(jù)某些標(biāo)志值所處的位置確定的平均數(shù)，其數(shù)值大小不會(huì)受到變量中極端值的影響，它包括眾數(shù)和中位數(shù)。

（二）數(shù)值平均數(shù)與位置平均數(shù)

2/3/202382第四章綜合指標(biāo)算術(shù)平均數(shù)是最常用的平均數(shù)，它主要計(jì)算絕對(duì)數(shù)的平均數(shù)，也能計(jì)算相對(duì)數(shù)、平均數(shù)的平均數(shù)。調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式的變形，它只能計(jì)算相對(duì)數(shù)和平均數(shù)的平均數(shù)。由于調(diào)和平均數(shù)的權(quán)數(shù)包含了變量本身，因而不具備算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)。另外，統(tǒng)計(jì)平均數(shù)是針對(duì)統(tǒng)計(jì)資料而言的，統(tǒng)計(jì)資料包括歷史資料和現(xiàn)有資料。如果是預(yù)測(cè)資料或隨機(jī)變量，對(duì)其計(jì)算的平均數(shù)則稱為期望值，一般用符號(hào)E（x）表示。平均數(shù)在作進(jìn)一步的數(shù)學(xué)處理中，也常用E（x）這個(gè)符號(hào)。

（四）算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)

2/3/202383第四章綜合指標(biāo)第四節(jié)變異指標(biāo)一、變異指標(biāo)的意義變異指標(biāo)又稱標(biāo)志變動(dòng)度，是用來(lái)說(shuō)明總體各單位標(biāo)志值差異程度的綜合指標(biāo)。變異指標(biāo)和平均指標(biāo)是一對(duì)相互對(duì)應(yīng)的指標(biāo)，它們從兩個(gè)不同的側(cè)面反映總體的分布特征。平均指標(biāo)是反映各變量值的集中趨勢(shì)，而變異指標(biāo)反映的是各變量的離中趨勢(shì)。

2/3/202384第四章綜合指標(biāo)變異指標(biāo)的作用變異指標(biāo)能反映總體各單位標(biāo)志值的離中趨勢(shì)。變異指標(biāo)可以說(shuō)明平均指標(biāo)的代表性程度。變異指標(biāo)可以測(cè)定現(xiàn)象變動(dòng)的均衡性或穩(wěn)定性。常用的變異指標(biāo)有:全距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)等，其中標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用最為廣泛。2/3/202385第四章綜合指標(biāo)二、全距（極差）全距是測(cè)定標(biāo)志變異程度的最簡(jiǎn)單的指標(biāo)，它是標(biāo)志的最大值和最小值之差，反映總體標(biāo)志值的變動(dòng)范圍，以R表示：全距僅取決于兩個(gè)極端數(shù)值，不能全面反映總體各單位標(biāo)志值變異的程度，也不能用來(lái)評(píng)價(jià)平均指標(biāo)的代表性。但全距有它獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)：它可以用于產(chǎn)品質(zhì)量的檢查和控制。因?yàn)楹芏喈a(chǎn)品都有公差范圍，如果差異超過(guò)了公差范圍，說(shuō)明生產(chǎn)出現(xiàn)了問(wèn)題，應(yīng)采取措施糾正。2/3/202386第四章綜合指標(biāo)三、平均差平均差是各單位標(biāo)志值對(duì)其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)，反映的是各標(biāo)志值對(duì)其平均數(shù)的平均差異程度，用AD表示：對(duì)于未分組資料：對(duì)于分組資料：2/3/202387第四章綜合指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差是測(cè)定標(biāo)志變動(dòng)度最主要的的變異指標(biāo)。它是總體各單位標(biāo)志值與其平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的正平方根，用σ表示：

對(duì)于未分組資料：對(duì)于分組資料：四、標(biāo)準(zhǔn)差（一）標(biāo)準(zhǔn)差的概念和計(jì)算方法2/3/202388第四章綜合指標(biāo)方差的概念及簡(jiǎn)捷計(jì)算公式：方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，它在數(shù)學(xué)處理中具有比標(biāo)準(zhǔn)差更好的性質(zhì)。簡(jiǎn)捷計(jì)算公式為：推導(dǎo)如下：

對(duì)于未分組資料：對(duì)于分組資料：2/3/202389第四章綜合指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差與平均差一樣，其數(shù)值愈大，說(shuō)明標(biāo)志值變動(dòng)程度愈大；其數(shù)值愈小，說(shuō)明標(biāo)志值變動(dòng)程度愈小。例4‐19某機(jī)械加工車間生產(chǎn)某產(chǎn)品，某班組10個(gè)工人日產(chǎn)量資料及相關(guān)計(jì)算結(jié)果如下表所示，試計(jì)算平均差和標(biāo)準(zhǔn)差。

工人編號(hào)12345678910合計(jì)日產(chǎn)量（件）x

15171920222223252730220–7–5–3–20013580∣∣

753200135834本例為未分組資料，計(jì)算如下：49259400192564186某班組工人日產(chǎn)量資料及變異指標(biāo)計(jì)算表

（件）（件）（件）2/3/202390第四章綜合指標(biāo)例4‐19某機(jī)械加工車間生產(chǎn)某產(chǎn)品，工人按日產(chǎn)零件數(shù)分組資料如下，試計(jì)算平均差和標(biāo)準(zhǔn)差。

合計(jì)組中值x

—本例為分組資料，計(jì)算如下：2008400132012200（件）（件）某車間工人按日產(chǎn)零件數(shù)分組及變異指標(biāo)計(jì)算表

日產(chǎn)量（件/人）20～3030～4040～5050～60工人數(shù)（人）f

2535455510709030250245040501650170490270390289034308105070（件）從計(jì)算結(jié)果可看出：相同數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)差略大于平均差。2/3/202391第四章綜合指標(biāo)平均差與標(biāo)準(zhǔn)差的比較

標(biāo)準(zhǔn)差與平均差的基本含義是相同的，它們都是反映各標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的平均差異程度。

標(biāo)準(zhǔn)差與平均差的區(qū)別只是數(shù)學(xué)處理的方法不同。

平均差的缺點(diǎn)是其計(jì)算公式中絕對(duì)值的數(shù)學(xué)處理較困難，但它是嚴(yán)格意義上的變量與其平均數(shù)的平均誤差。

標(biāo)準(zhǔn)差是對(duì)平均差作了改良而產(chǎn)生的，雖然它略大于平均差，但具有更好的數(shù)學(xué)處理性質(zhì)，因而被廣泛應(yīng)用。

通常稱變量分布的平均差與標(biāo)準(zhǔn)差之比值為“基利比”。特別地，當(dāng)總體服從正態(tài)分布時(shí)，則有：2/3/202392第四章綜合指標(biāo)（二）方差和標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)性質(zhì)1．變量與任意常數(shù)代數(shù)和的方差等于變量的方差這是方差和標(biāo)準(zhǔn)差具有“平移不變性”。若a為任意常數(shù)，則變量y=x±a的方差和標(biāo)準(zhǔn)差與原變量x的方差和標(biāo)準(zhǔn)差相同，即：2．變量與任意常數(shù)乘積的方差等于變量的方差與常數(shù)平方的乘積將原變量x乘以一個(gè)任意常數(shù)b，則新變量y=bx的方差和標(biāo)準(zhǔn)差為原來(lái)的b2倍和∣b∣倍，即：2/3/202393第四章綜合指標(biāo)3．兩個(gè)獨(dú)立變量代數(shù)和的方差等于兩個(gè)變量的方差之和如果兩個(gè)變量相互獨(dú)立，它們代數(shù)和的方差就等于原來(lái)兩個(gè)變量的方差之和；它們代數(shù)和的標(biāo)準(zhǔn)差則等于兩個(gè)變量方差之和的正平方根，即：推導(dǎo)如下：設(shè)獨(dú)立變量x、y分別有n、m個(gè)，則

其中：

2/3/202394第四章綜合指標(biāo)兩部分，即所謂方差加法定理。即：可以分解為各組方差的平均數(shù)

4．總方差等于各組方差的平均數(shù)與各組平均數(shù)的方差之和在總體分組的條件下，變量的總方差與各組平均數(shù)的方差設(shè)總體變量為X1，X2，…，XN，現(xiàn)將總體分成若干組，若每個(gè)組的變量個(gè)數(shù)相同，為x1，x2，…，xn，則可推導(dǎo)如下：

2/3/202395第四章綜合指標(biāo)

其中：

而由于各組內(nèi)變量x1，x2，…，xn的取值范圍都為X1，X2，…，XN，所以有因此有：其中：式中：r表示總體所分的組數(shù)；f表示各組的變量個(gè)數(shù)?；颍?/3/202396第四章綜合指標(biāo)

例4‐21現(xiàn)有20家同類工業(yè)企業(yè)按規(guī)模分組的資料，如下表所示?，F(xiàn)我們來(lái)分析企業(yè)規(guī)模與產(chǎn)值之間的關(guān)系。

企業(yè)規(guī)模小型企業(yè)中型企業(yè)大型企業(yè)合計(jì)企業(yè)數(shù)（家）

126220平均產(chǎn)值（億元）

2.610.741.9—標(biāo)準(zhǔn)差（億元）

1.73.910.4—企業(yè)按資產(chǎn)總額分組資料各組方差的平均數(shù)為：2/3/202397第四章綜合指標(biāo)

組間方差可計(jì)算如下：總方差為：2/3/202398第四章綜合指標(biāo)變異系數(shù)是變異指標(biāo)與其平均數(shù)對(duì)比得到的相對(duì)數(shù)。主要有平均差系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。最常用的是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，用Vσ表示，其計(jì)算公式如下：

變異系數(shù)的作用：五、變異系數(shù)在不同總體之間進(jìn)行對(duì)比分析時(shí)，可以消除變異指標(biāo)計(jì)量單位的影響；變異系數(shù)以相對(duì)數(shù)形式表現(xiàn)，可以比較不同規(guī)?？傮w變量的離散程度。2/3/202399第四章綜合指標(biāo)顯然，乙農(nóng)場(chǎng)水稻畝產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)比甲農(nóng)場(chǎng)的小，說(shuō)明乙農(nóng)場(chǎng)的水稻平均畝產(chǎn)更具有代表性，其水稻產(chǎn)量比較穩(wěn)定。例如，甲、乙兩個(gè)農(nóng)場(chǎng)水稻平均畝產(chǎn)分別為700千克、900千克，標(biāo)準(zhǔn)差分別為10.5千克、10.8千克，表面上看，好象甲農(nóng)場(chǎng)水稻畝產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差小，其平均畝產(chǎn)的代表性好。但如果計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)：

2/