第八章 對象特性與建模

《化工儀表及自動化》第八章對象特性和建模

一、數(shù)學(xué)模型及描述方法二、機(jī)理建模三、描述對象特性的參數(shù)四、實(shí)測建模（了解內(nèi)容）五、例題分析（了解內(nèi)容）1目錄：第一節(jié)數(shù)學(xué)模型及描述方法自動控制系統(tǒng)是由被控對象、測量變送裝置、控制器和執(zhí)行器組成。

研究對象的特性，就是用數(shù)學(xué)的方法來描述出對象輸入量與輸出量之間的關(guān)系。這種對象特性的數(shù)學(xué)描述就稱為對象的數(shù)學(xué)模型。干擾作用和控制作用都是引起被控變量變化的因素。通道調(diào)節(jié)通道干擾通道？幾個概念3一、被控對象數(shù)學(xué)模型第一節(jié)數(shù)學(xué)模型及描述方法3輸入量(輸入?yún)?shù)):

干擾作用和控制作用。

輸出量(輸出參數(shù)):

被控參數(shù)。

控制通道:

控制作用至被控參數(shù)的信號聯(lián)系。

干擾通道:

干擾作用至被控參數(shù)的信號聯(lián)系。通道:

由對象的輸入?yún)?shù)至被控參數(shù)的信號聯(lián)系。

（通道不同，特性不同）對象的數(shù)學(xué)模型分為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型和動態(tài)數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型動態(tài)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)特例4第一節(jié)數(shù)學(xué)模型及描述方法一般是在工藝流程和設(shè)備尺寸等都確定的情況，研究對象的輸入變量是如何影響輸出變量的。研究的目的是為了使所設(shè)計的控制系統(tǒng)達(dá)到更好的控制效果。

在產(chǎn)品規(guī)格和產(chǎn)量已確定的情況下，通過模型計算，確定設(shè)備的結(jié)構(gòu)、尺寸、工藝流程和某些工藝條件。

（a）（b）（c）用于控制的數(shù)學(xué)模型（a、b）與用于工藝設(shè)計與分析的數(shù)學(xué)模型（c）不完全相同。5第一節(jié)數(shù)學(xué)模型及描述方法分類數(shù)學(xué)模型建立的途徑不同機(jī)理建模實(shí)測建?；旌夏Ｐ?第一節(jié)數(shù)學(xué)模型及描述方法機(jī)理模型——從機(jī)理出發(fā),即從對象內(nèi)在的物理和化學(xué)規(guī)律出發(fā),建立描述對象輸入輸出特性的數(shù)學(xué)模型。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀獙τ谝呀?jīng)投產(chǎn)的生產(chǎn)過程,我們可以通過實(shí)驗(yàn)測試或依據(jù)積累的操作數(shù)據(jù),對系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù),通過數(shù)學(xué)回歸方法進(jìn)行處理?；旌夏Ｐ汀ㄟ^機(jī)理分析,得出模型的結(jié)構(gòu)或函數(shù)形式，而對其中的部分參數(shù)通過實(shí)測得到。7第一節(jié)數(shù)學(xué)模型及描述方法二、數(shù)學(xué)模型的主要形式8非參量模型

當(dāng)數(shù)學(xué)模型是采用曲線或數(shù)據(jù)表格等來表示時，稱為非參量模型。特點(diǎn)形象、清晰，比較容易看出其定性的特征

缺點(diǎn)直接利用它們來進(jìn)行系統(tǒng)的分析和設(shè)計往往比較困難

第一節(jié)數(shù)學(xué)模型及描述方法（了解內(nèi)容）

當(dāng)數(shù)學(xué)模型是采用數(shù)學(xué)方程式來描述時，稱為參量模型。參量模型9靜態(tài)數(shù)學(xué)模型比較簡單,一般可用代數(shù)方程式表示。動態(tài)數(shù)學(xué)模型的形式主要有微分方程、傳遞函數(shù)、差分方程及狀態(tài)方程等第一節(jié)數(shù)學(xué)模型及描述方法10對于線性的集中參數(shù)對象在允許的范圍內(nèi)，多數(shù)化工對象動態(tài)特性可以忽略輸入量的導(dǎo)數(shù)項可表示為

通常可用常系數(shù)線性微分方程式來描述，如果以x（t）表示輸入量，y（t）表示輸出量，則對象特性可用下列微分方程式來描述（8-1）1.微分方程第一節(jié)數(shù)學(xué)模型及描述方法11舉例一個對象如果可以用一個一階微分方程式來描述其特性（通常稱一階對象），則可表示為（8-3）或表示成式中（8-4）如果系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)(靜態(tài)),變量的導(dǎo)數(shù)項均為零（8-5）第一節(jié)數(shù)學(xué)模型及描述方法2.傳遞函數(shù)所謂一個環(huán)節(jié)(或?qū)ο?的傳遞函數(shù)是在初始條件為零時,這個環(huán)節(jié)輸出變量的拉氏變換與輸入變量的拉氏變換之比,記為（8-6）拉氏變換是對函數(shù)的一種變換,定義為（8-7）12第一節(jié)數(shù)學(xué)模型及描述方法運(yùn)用拉氏變換的線性性質(zhì)與微分性質(zhì),對式(8-1)兩端分別取拉氏變換,則得由此式可以方便地得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式（8-8）13第一節(jié)數(shù)學(xué)模型及描述方法對于一階對象,由式(8-4)兩端取拉氏變換,得因此一階對象的傳遞函數(shù)形式為（8-9）14第一節(jié)數(shù)學(xué)模型及描述方法3.差分方程差分方程是一種時間離散形式的數(shù)學(xué)模型，用來描述在各個采樣時刻的輸入變量與輸出變量數(shù)值之間的關(guān)系。（8-10）式(8-10)稱為n階差分方程,當(dāng)n=1時稱為一階差分方程。15第一節(jié)數(shù)學(xué)模型及描述方法如果將各個信號經(jīng)過采樣,采樣間隔時間(采樣周期)為Δt對于一階微分方程（8-11）將上述關(guān)系代入式(7-11),可得或16第一節(jié)數(shù)學(xué)模型及描述方法式中寫成一階差分方程的一般形式,為（8-12）對于二階微分方程（8-13）遞推公式為17第一節(jié)數(shù)學(xué)模型及描述方法一、一階對象1.水槽對象對象物料蓄存量的變化率＝單位時間流入對象的物料－單位時間流出對象的物料依據(jù)18第二節(jié)機(jī)理建模圖8-2水槽對象19（8-14）若變化量很微小，可以近似認(rèn)為Q2與h成正比將上式代入（8-14）式，移項令則水槽對象的傳遞函數(shù)為第二節(jié)機(jī)理建模202.RC電路ei若取為輸入?yún)?shù)，eo為輸出參數(shù)，根據(jù)基爾霍夫定理

由于消去i或圖8-3RC電路第二節(jié)機(jī)理建模二、積分對象當(dāng)對象的輸出參數(shù)與輸入?yún)?shù)對時間的積分成比例關(guān)系時，稱為積分對象。21Q2為常數(shù)，變化量為0說明，所示貯槽具有積分特性。其中，A為貯槽橫截面積（8-27）圖8-4積分對象第二節(jié)機(jī)理建模在初始條件為零時,根據(jù)拉氏變換的積分性質(zhì),對式(8-27)進(jìn)行拉氏變換,則有積分對象的傳遞函數(shù)G(s)為22第二節(jié)機(jī)理建模三、時滯對象有的對象或過程,在受到輸入作用后,輸出變量要隔上一段時間才有響應(yīng),這種對象稱為具有時滯特性的對象,而這段時間就稱為時滯τ0(或純滯后)。時滯的產(chǎn)生一般是由于介質(zhì)的輸送需要一段時間而引起的。23第二節(jié)機(jī)理建模24顯然，純滯后時間τ0與皮帶輸送機(jī)的傳送速度v和傳送距離L有如下關(guān)系：（8-30）第二節(jié)機(jī)理建模從測量方面來說，由于測量點(diǎn)選擇不當(dāng)、測量元件安裝不合適等原因也會造成傳遞滯后。注意：安裝成分分析儀器時，取樣管線太長，取樣點(diǎn)安裝離設(shè)備太遠(yuǎn)，都會引起較大的純滯后時間，工作中要盡量避免。25第二節(jié)機(jī)理建模26圖8-7時滯對象輸入、輸出特性x為輸入量（8-31）將在初始條件為零時進(jìn)行拉氏變換,得（8-32）因此,時滯對象的傳遞函數(shù)為第二節(jié)機(jī)理建模對象可以用一階微分方程式來描述,但輸入變量與輸出變量之間有一段時滯τ0（8-33）在初始條件為零時,對上式進(jìn)行拉氏變換,得這時整個對象的傳遞函數(shù)為（8-34）說明：基于機(jī)理通過推導(dǎo)可以得到描述對象特性的微分方程式或傳遞函數(shù)。27第二節(jié)機(jī)理建模一、放大系數(shù)K

對于前面介紹的水槽對象，當(dāng)流入流量Q1有一定的階躍變化后，液位h也會有相應(yīng)的變化，但最后會穩(wěn)定在某一數(shù)值上。如果我們將流量Q1的變化ΔQ1看作對象的輸入，而液位h的變化Δh看作對象的輸出，那么在穩(wěn)定狀態(tài)時，對象一定的輸入就對應(yīng)著一定的輸出，這種特性稱為對象的靜態(tài)特性。28第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)28第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)29或K在數(shù)值上等于對象重新穩(wěn)定后的輸出變化量與輸入變化量之比。K越大，就表示對象的輸入量有一定變化時，對輸出量的影響越大，即被控變量對這個量的變化越靈敏。圖8-8水槽液位的變化曲線第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)30以合成氨的轉(zhuǎn)換爐為例生產(chǎn)過程要求一氧化碳的轉(zhuǎn)化率要高，蒸汽消耗量要少，觸媒壽命要長。通常用變換爐一段反應(yīng)溫度作為被控變量，來間接地控制轉(zhuǎn)換率和其他指標(biāo)。第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)影響變換爐一段反應(yīng)溫度的因素主要有冷激流量、蒸汽流量和半水煤氣流量。改變閥門1、2、3的開度就可以分別改變冷激量、蒸汽量和半水煤氣量的大小。從右上圖看出，冷激量對溫度的相對放大系數(shù)最大；蒸汽量對溫度的相對放大系數(shù)次之；半水煤氣量對溫度的相對放大系數(shù)最小。31第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)二、時間常數(shù)T32第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)32從大量的生產(chǎn)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，有的對象受到干擾后，被控變量變化很快，較迅速地達(dá)到了穩(wěn)定值；有的對象在受到干擾后，慣性很大，被控變量要經(jīng)過很長時間才能達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值。圖8-11不同時間常數(shù)對象的反應(yīng)曲線第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)如何定量地表示對象受干擾后的這種特性呢？

在自動化領(lǐng)域中，往往用時間常數(shù)T來表示。時間常數(shù)越大，表示對象受到干擾作用后，被控變量變化得越慢，到達(dá)新的穩(wěn)定值所需的時間越長。33第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)34第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)放大系數(shù)與時間常數(shù)34由前面的推導(dǎo)可知假定Q1為階躍作用，t<0時Q1=0；t>0或t=0時Q1為一常數(shù)，如左圖。則函數(shù)表達(dá)式為（8-36）圖8-12反應(yīng)曲線第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)從上頁圖反應(yīng)曲線可以看出，對象受到階躍作用后，被控變量就發(fā)生變化，當(dāng)t→∞時，被控變量不再變化而達(dá)到了新的穩(wěn)態(tài)值h（∞），這時上式可得：或（8-37）35第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)36將t=T代入式（8-36），得（8-38）將式（8-37）代入式（8-38），得（8-39）當(dāng)對象受到階躍輸入后，被控變量達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值的63.2％所需的時間，就是時間常數(shù)T，實(shí)際工作中，常用這種方法求取時間常數(shù)。顯然，時間常數(shù)越大，被控變量的變化也越慢，達(dá)到新的穩(wěn)定值所需的時間也越大。

第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)圖8-13不同時間常數(shù)對象的反應(yīng)曲線T1＜T2＜T3＜T4

說明：時間常數(shù)大的對象（如T4)對輸入的反應(yīng)較慢，一般認(rèn)為慣性較大。37第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)38在輸入作用加入的瞬間，液位h的變化速度是多大呢？將式（8-36）對t求導(dǎo)，得（8-40）當(dāng)t=0（8-41）當(dāng)t→∞時，式（8-40）可得（8-42）第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)圖8-14時間常數(shù)T的求法

由左下圖所示，式（8-41）代表了曲線在起始點(diǎn)時切線的斜率，這條切線在新的穩(wěn)定值h（∞）上截得的一段時間正好等于T。由式（8-36），當(dāng)t=∞時，h=KQ1。當(dāng)t=3T時，代入式（8-36）得（8-43）從加入輸入作用后，經(jīng)過3T時間，液位已經(jīng)變化了全部變化范圍的95％，這時，可以近似地認(rèn)為動態(tài)過程基本結(jié)束。所以，時間常數(shù)T是表示在輸入作用下，被控變量完成其變化過程所需要的時間的一個重要參數(shù)。結(jié)論39第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)舉例分析對于一階簡單水槽對象，K=RS，即放大系數(shù)只與出水閥的阻力有關(guān)，當(dāng)閥的開度一定時，放大系數(shù)就是一個常數(shù)。另外，T=A·Rs，Rs增加時，放大系數(shù)K增加，自平衡能力下降，時間常數(shù)T增大。35第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)對象的容量系數(shù)C（A）增加，時間常數(shù)T增大，慣性增大，對輸入信號反應(yīng)的靈敏度下降。35第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)項目次數(shù)水槽面積A液位高度/%平衡耗時/秒液位變化速度%/秒實(shí)驗(yàn)一0.8381350.28實(shí)驗(yàn)二1.5382130.18實(shí)例分析:一階簡單水槽自平衡實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)說明:增加水槽面積后，液位高度（K）基本沒有變化，但自平衡耗時變的很長（T），被控變量液位速度是明顯變慢。對象的阻力Rs增加時，時間常數(shù)T增大，同時又使自平衡能力下降。35第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)項目次數(shù)出口阻力阻力Rs液位高度/%平衡耗時/秒液位變化速度%/秒實(shí)驗(yàn)一0.3381350.28實(shí)驗(yàn)二0.5621560.40實(shí)例分析:一階簡單水槽自平衡實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)說明:增加出口阻力后，液位最后變高（K），耗時變長（T），但被控變量液位速度是變快的。結(jié)論在自動化領(lǐng)域，時間常數(shù)T=A·Rs，T越大，表示對象受到干擾作用后，被控變量變化得越慢，這是由對象的容量系數(shù)C較大造成的，即水槽的面積A較大一樣；T越大，表示對象受到干擾作用后，到達(dá)新的穩(wěn)定值所需的時間越長這是由對象的阻力Rs較大造成的，即水槽的出口阻力較大一樣。35第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)三、滯后時間τ分類定義對象在受到輸入作用后，被控變量卻不能立即而迅速地變化，這種現(xiàn)象稱為滯后現(xiàn)象。滯后性質(zhì)1、時滯：又叫純滯后，一般用τ0表示。τ0的產(chǎn)生一般是由于介質(zhì)的輸送需要一段時間而引起的。

2、容量滯后：對象在受到階躍輸入作用x后，被控變量y開始變化很慢，后來才逐漸加快，最后又變慢直至逐漸接近穩(wěn)定值。40第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)1.時滯當(dāng)假定y(t)的初始值y(0)=0,x(t)是一個發(fā)生在t=0的階躍輸入,幅值為A,對上述方程式求解,可得（8-44）圖8-15具有純滯后的一階對象反應(yīng)曲線可見，具有時滯的一階對象與沒有時滯的一階對象,它們的反應(yīng)曲線在形狀上完全相同,只是具有時滯的反應(yīng)曲線在時間上錯后一段時間τ0。41第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)41第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)顯然，純滯后時間τ0與皮帶輸送機(jī)的傳送速度v和傳送距離L有如下關(guān)系：（8-30）溶解槽及其反應(yīng)曲線純滯后時間舉例第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)2.容量滯后42第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)42第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)圖8-16具有容量滯后對象的反應(yīng)曲線圖8-17圖解近似方法42第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)用帶有時滯的一階對象的特性來近似二階水槽對象。近似圖解法T和τn。在容量滯后與純滯后同時存在時，常常把兩者合起來統(tǒng)稱滯后時間τ，即τ＝τ0＋τh。自動控制系統(tǒng)中，滯后的存在是不利于控制的。所以，在設(shè)計和安裝控制系統(tǒng)時，都應(yīng)當(dāng)盡量把滯后時間減到最小。

結(jié)論43圖8-18滯后時間τ示意圖第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)目前常見的化工對象的滯后時間τ和時間常數(shù)T大致情況如下：從小到大順序（1）被控變量為液位的對象—τ很小，而T稍大；例如：一階水槽的液位變化（2）被控變量為流量的對象—τ和T都較小，數(shù)量級往往在幾秒至幾十秒，（3）被控變量為壓力的對象—τ不大，也屬中等，（4）被控變量為溫度的對象—τ和T都較大，約幾分至幾十分鐘。

44第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)目前常見的化工對象的特性：1、一階對象的特性參數(shù)：放大倍數(shù)、時間常數(shù)和純滯后；2、多容有自平衡能力的對象特性參數(shù)：放大系數(shù)K、時間常數(shù)和滯后（純滯后和容積滯后）；44第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)44第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)對于一個被控對象來說，輸入量是擾動量和操縱量，而輸出量是被控變量。由對象的輸入變量至輸出變量的信號聯(lián)系稱為通道。操縱變量至被控變量的信號聯(lián)系稱為控制通道；擾動量至被控變量的信號聯(lián)系稱為擾動通道。什么是控制通道和擾動通道（干擾通道）？對于不同的通道，對象的特性參數(shù)（K、T、τ）對控制有什么不同的影響？第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)對象特性與控制關(guān)系問題分析一：（重要內(nèi)容）一般來說，對于不同的通道，對象的特性參數(shù)（K、T、τ）對控制作用的影響是不同的。1、對于控制通道：（1）K：對象的放大系數(shù)大，操縱變量的變化對被控變量的影響就大，即控制作用對擾動的補(bǔ)償能力強(qiáng)，余差也??；放大系數(shù)小，控制作用的影響不顯著，被控變量的變化緩慢。但K太大，會使控制作用對被控變量的影響過強(qiáng)，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降。第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)（2）T：在相同的控制作用下，時間常數(shù)T大，則被控變量的變化比較緩慢，此時對象比較平穩(wěn)，容易進(jìn)行控制，但過渡過程時間較長；若時間常數(shù)T小，則被控變量變化速度快，不易控制。時間常數(shù)太大或太小，在控制上都將存在一定困難，因此，需根據(jù)實(shí)際情況適中考慮。（3）τ：滯后時間的存在，使得控制作用總是落后于被控變量的變化，造成被控變量的最大偏差增大，控制質(zhì)量下降。因此，應(yīng)量減小滯后時間。第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)2、對于擾動通道：（1）K：放大系數(shù)K大對控制不利，因?yàn)椋?dāng)擾動頻繁出現(xiàn)且幅度較大時，被控變量的波動就會很大，使得最大偏差增大；而放大系數(shù)K小，即使擾動較大，對被控變量仍然不會產(chǎn)生多大影響。（2）T：時間常數(shù)T大，擾動作用比較平緩，被變量變化較平穩(wěn)，對象較易控制。（3）τ：純滯后的存在，相當(dāng)于將擾動推遲τ0時間才進(jìn)入系統(tǒng)，并不影響控制系統(tǒng)的品質(zhì)；而容量滯后的存在，則將使階躍擾動的影響趨于緩和，被控變量的變化相應(yīng)也緩和些，因此，對系統(tǒng)是有利的。對象的純滯后一般是由于介質(zhì)的輸送或熱的傳遞需要一段時間引起的。在控制通道，如果存在純滯后，會使控制作用不及時，造成被控變量的最大偏差增加，控制質(zhì)量下降，穩(wěn)定性降低。在干擾通道，如果存在滯后，相當(dāng)于將擾動推遲一段時間才進(jìn)入系統(tǒng)，并不影響控制系統(tǒng)的控制品質(zhì)。對象的純滯后和容量滯后各是什么原因造成的？對控制過程的影響？第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)對象特性與控制關(guān)系問題分析二：對象的容量滯后一般是由于物料或能量的傳遞需要通過一定的阻力而引起的。容量滯后增加，會使對象的時間常數(shù)T增加。在控制通道，T大，會使控制作用對被控變量的影響來得慢，系統(tǒng)穩(wěn)定性增加。T小，會使控制作用對被控變量的影響來得快，系統(tǒng)的控制質(zhì)量有所提高，但系統(tǒng)穩(wěn)定性會下降。時間常數(shù)不能太大或大小，且各環(huán)節(jié)的時間常數(shù)要適當(dāng)匹配否則都會影響控制質(zhì)量。在干擾通道，如果容量滯后增加，擾動作用對被控變量的影響比較平穩(wěn)，一般是有利于控制的。第三節(jié)描述對象特性的參數(shù)定義通過實(shí)驗(yàn)來測取對象的輸入輸出數(shù)據(jù)。幾個概念系統(tǒng)辨識參數(shù)估計測試信號測試信號的