第一章-矢量分析

1第一章矢量分析標(biāo)量和矢量矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的標(biāo)積和矢積4標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度5矢量場(chǎng)的通量與散度6

矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度7無散場(chǎng)和無旋場(chǎng)8格林定理9矢量場(chǎng)的惟一性定理10亥姆霍茲定理11正交曲面坐標(biāo)系21.1標(biāo)量與矢量1.標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量。矢量表示為：所以：一個(gè)矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力F、速度V、電場(chǎng)E等如：溫度T、長(zhǎng)度L等其中：為矢量的模，表示該矢量的大小。為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。3根據(jù)矢量加法運(yùn)算：在直角坐標(biāo)系下的矢量表示:三個(gè)方向的單位矢量用表示。所以：其中：4矢量：模的計(jì)算：?jiǎn)挝皇噶浚悍较蚪桥c方向余弦：5例1：在直角坐標(biāo)系中，

x方向的大小為6的矢量如何表示？圖示法：力的圖示法：61.2矢量的代數(shù)運(yùn)算1.加法:

矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。a.滿足交換律：b.滿足結(jié)合律：72.減法：換成加法運(yùn)算逆矢量：

和的模相等，方向相反，互為逆矢量。在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算：推論：任意多個(gè)矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。81.3矢量的標(biāo)積與矢積（1）標(biāo)量與矢量的乘積：方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小為|k|倍（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a.標(biāo)量積（點(diǎn)積）：兩矢量的點(diǎn)積含義：一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。9在直角坐標(biāo)系中，三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的有兩矢量點(diǎn)積：結(jié)論:兩矢量點(diǎn)積等于對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個(gè)矢量必正交。10推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合律：推論4：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行。b.矢量積（叉積）：含義：兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則。11在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo12（3）三重積：三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：矢量，標(biāo)量與矢量相乘。標(biāo)量，標(biāo)量三重積。矢量，矢量三重積。a.標(biāo)量三重積法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積。定義：含義：

標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積。13注意：先后輪換次序。推論：三個(gè)非零矢量共面的條件。在直角坐標(biāo)系中：b.矢量三重積：14例2：求：中的標(biāo)量a、b、c。解：則：設(shè)15例3：

已知求：確定垂直于、所在平面的單位矢量。解：已知所得矢量垂直于、所在平面。161.4標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)。例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。如果場(chǎng)與時(shí)間無關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：

確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：17

標(biāo)量場(chǎng)的等值面以溫度場(chǎng)為例：

可以看出：標(biāo)量場(chǎng)的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不相交的。1.4標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度18標(biāo)量場(chǎng)的等值面:為了直觀表示場(chǎng)在空間的變化，經(jīng)常使用場(chǎng)的等值面來直觀。所謂等值面是標(biāo)量場(chǎng)為同一數(shù)值各點(diǎn)在空間形成的曲面。導(dǎo)體等電位面在實(shí)際應(yīng)用中不僅需要宏觀上了解場(chǎng)在空間的數(shù)值，還需要知道場(chǎng)在不同方向上場(chǎng)變化的情況。應(yīng)用方向性導(dǎo)數(shù)可以描述標(biāo)量場(chǎng)在空間某個(gè)方向上變化的情況。1.4標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度19標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率。

標(biāo)量場(chǎng)

在

P

點(diǎn)沿

l

方向上的方向?qū)?shù)定義為Pl20式中的grad是英文字gradient的縮寫。某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，某點(diǎn)梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向。在直角坐標(biāo)系中，為標(biāo)量場(chǎng)

的梯度可表示為若引入算符，在直角坐標(biāo)系中該算符可表示為則梯度可以表示為21標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式：標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）22解：例=？23例計(jì)算和。

表示對(duì)

運(yùn)算。表示對(duì)運(yùn)算。這里zxyr

OP(x,y,z)r'

r–r'

P'(x',y',z')24解表示源點(diǎn)，P

表示場(chǎng)點(diǎn)。

zxyr

OP(x,y,z)r'

r–r'

P'(x',y',z')25矢量A沿某一有向曲面S的面積分稱為矢量A通過該有向曲面S的通量，以標(biāo)量表示，即

1.5矢量場(chǎng)的通量與散度通量可為正、負(fù)或零。當(dāng)矢量穿出某個(gè)閉合面時(shí)，認(rèn)為該閉合面中存在產(chǎn)生該矢量場(chǎng)的源；當(dāng)矢量進(jìn)入這個(gè)閉合面時(shí)，認(rèn)為該閉合面中存在匯聚該矢量場(chǎng)的洞（或匯）。26閉合的有向曲面的方向通常規(guī)定為閉合面的外法線方向。當(dāng)閉合面中有源時(shí)，矢量通過該閉合面的通量一定為正；反之，當(dāng)閉合面中有洞時(shí)，矢量通過該閉合面的通量一定為負(fù)。前述的源稱為正源，而洞稱為負(fù)源。S27已知真空中的電場(chǎng)強(qiáng)度E通過任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電荷量q與真空介電常數(shù)0

之比，即，當(dāng)閉合面中存在正電荷時(shí)，通量為正。當(dāng)閉合面中存在負(fù)電荷時(shí)，通量為負(fù)。在電荷不存在的無源區(qū)中，穿過任一閉合面的通量為零。十一28但是，通量?jī)H能表示閉合面中源的總量，它不能顯示源的分布特性。為此需要研究矢量場(chǎng)的散度。當(dāng)閉合面

S向某點(diǎn)無限收縮時(shí)，矢量

A通過該閉合面S

的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場(chǎng)

A

在該點(diǎn)的散度，以

divA

表示，即式中，div

是英文字divergence的縮寫；

V

為閉合面

S包圍的體積。29直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)

由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為

不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzDxDyDP30根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式為

同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P穿出該六面體的凈通量為31上式表明，散度是一個(gè)標(biāo)量，它可理解為通過包圍單位體積閉合面的通量。

直角坐標(biāo)系中散度可表示為

因此散度可用算符表示為32散度定理或者寫為從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為散度定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為散度定理建立了區(qū)域V中的場(chǎng)和包圍區(qū)域V

的邊界S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域V中的場(chǎng)，根據(jù)散度定理即可求出邊界S上的場(chǎng)，反之亦然。33散度定理的證明證明：將閉面S所包圍的區(qū)域V

劃分成N個(gè)體積元，如圖所示。取體積元用Vi表示，相應(yīng)的閉合表面則為Si。于是有或?qū)懗沙糠滞獗砻鍿的那些面元之外，其它處于V內(nèi)的每一內(nèi)部面元都是鄰體積元的公共面元。圖中所示的1、2號(hào)體積元的公共面元上，其外法向單位矢量en1和en2是反向的，它使得該公共面元上F的元通量在求和時(shí)將互相抵消。當(dāng)取N→、→0時(shí)，總通量?jī)H為所有外表面面元上元通量之和，即外表面S上的閉合面通量，可知上式的極限

SV12(a)(b)12en2en134拉普拉斯算子散度運(yùn)算規(guī)則35例求空間任一點(diǎn)位置矢量r的散度。求得已知解rOxzyxzy36

證明證：37求38標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的旋度？算子39矢量場(chǎng)

F

沿一條有向曲線

l的線積分稱為矢量場(chǎng)

F

沿該曲線的環(huán)量，以

表示，即1.6矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與旋度定理可見，若在閉合有向曲線l

上，矢量場(chǎng)F

的方向處處與線元dl

的方向保持一致，則環(huán)量>0；若處處相反，則<0

?？梢?，環(huán)量可以用來描述矢量場(chǎng)的旋渦特性。l4041已知真空中磁通密度

B沿任一閉合有向曲線

l

的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度

I

與真空磁導(dǎo)率

0

的乘積。即

式中，電流

I的正方向與

dl

的方向構(gòu)成

右旋關(guān)系。環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強(qiáng)度，但是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的總的源強(qiáng)度，它不能顯示源的分布特性。為此，需要研究矢量場(chǎng)的旋度?！袸1I242旋度是一個(gè)矢量。以符號(hào)curlA表示矢量A的旋度，其方向是使矢量A具有最大環(huán)量強(qiáng)度的方向，其大小等于對(duì)該矢量方向的最大環(huán)量強(qiáng)度，即式中curl是旋度的英文字；

為最大環(huán)量強(qiáng)度的方向上的單位矢量，S

為閉合曲線

l

包圍的面積。矢量場(chǎng)的旋度大小可以認(rèn)為是包圍單位面積的閉合曲線上的最大環(huán)量。

43而

推導(dǎo)

的示意圖如圖所示。oyDz

DyCMzx1234計(jì)算的示意圖

直角坐標(biāo)系中、、的表達(dá)式44于是

同理可得故得45直角坐標(biāo)系中，旋度可用矩陣表示為

或者無論梯度、散度或旋度都是微分運(yùn)算，它們表示場(chǎng)在某點(diǎn)附近的變化特性。因此，梯度、散度及旋度描述的是場(chǎng)的點(diǎn)特性或稱為微分特性。函數(shù)的連續(xù)性是可微的必要條件。因此在場(chǎng)量發(fā)生不連續(xù)處，也就不存在前述的梯度、散度或旋度。

46旋度與散度的區(qū)別（一）一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度是一個(gè)矢量函數(shù)；一個(gè)矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)。（二）旋度表示場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)與漩渦源的關(guān)系;散度表示場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)與通量源的關(guān)系。（三）旋度描述的是場(chǎng)分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律;散度描述的是場(chǎng)分量沿著各自方向上的變化規(guī)律.47旋度定理（斯托克斯定理）

從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為旋度定理建立了面積分和線積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為旋度定理建立了區(qū)域S中的場(chǎng)和包圍區(qū)域S

的邊界l上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域

S中的場(chǎng)，根據(jù)旋度定理即可求出邊界

l

上的場(chǎng)，反之亦然?；蛘?8例試證任何矢量場(chǎng)F均滿足下列等式式中，S為包圍體積V

的閉合表面。此式又稱為矢量旋度定理，或矢量斯托克斯定理。SVF49證明：用高斯散度定理證明。用任意常矢C點(diǎn)乘其兩邊，

左端：右端：

可知

基于常矢C的任意性，則：

證畢50散度處處為零的矢量場(chǎng)稱為無散場(chǎng)，旋度處處為零的矢量場(chǎng)稱為無旋場(chǎng)。

1.7無散場(chǎng)和無旋場(chǎng)可以證明結(jié)論：任一矢量場(chǎng)A的旋度的散度一定等于零。因此，任一無散場(chǎng)可以表示為另一矢量場(chǎng)的旋度，或者說，任何旋度場(chǎng)一定是無散場(chǎng)。51試證明enenS1S2l1l2V證明：在任意閉面S及其包圍的區(qū)域V內(nèi)，設(shè)矢量有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則

用一平面將圖示閉面S剖分為S1、S2兩個(gè)開面，將界定它們的圍線分開畫成了l1和l2，二者的循行方向應(yīng)分別與en符合右手定則。由斯托克斯定理故而

由于V的任意性，必有

52結(jié)論：任一標(biāo)量場(chǎng)

的梯度的旋度一定等于零。因此，任一無旋場(chǎng)一定可以表示為一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度，或者說，任何梯度場(chǎng)一定是無旋場(chǎng)。又可證明531.8格林定理

SVφ，ψ兩任意標(biāo)量場(chǎng),在所區(qū)域V內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，在V的閉合邊界S上應(yīng)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。令矢量場(chǎng)

由高斯定理因?yàn)橛谑堑酶窳值谝还绞街校?4將上式中

和

的位置交換，得式中：是

在S上的外法向?qū)?shù)。

將兩式相減，得格林第二公式

55設(shè)任意兩個(gè)矢量場(chǎng)P與Q

，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場(chǎng)P及Q滿足下列等式：式中S

為包圍V

的閉合曲面；面元dS的方向?yàn)镾

的外法線方向。上式稱為矢量第一格林定理。

56基于上式還可獲得下式：此式稱為矢量第二格林定理。57格林定理建立了區(qū)域V中的場(chǎng)與邊界S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問題。格林定理說明了兩種標(biāo)量場(chǎng)或矢量場(chǎng)之間應(yīng)該滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布特性，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布特性。58考慮如下問題：（1）矢量場(chǎng)除有散和有旋特性外，是否存在別的特性？（2）是否存在不同于通量源和旋渦源的其它矢量場(chǎng)的激勵(lì)源？（3）如