2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.4.1曲邊梯形面積與定積分（一）學(xué)案2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1．4。1曲邊梯形面積與定積分（一）明目標(biāo)、知重點1.了解“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法.2.會求曲邊梯形的面積及變力所做的功．1．曲邊梯形的面積（1）曲邊梯形:曲線與平行于y軸的直線和x軸所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖①所示）．（2)求曲邊梯形面積的方法把區(qū)間［a,b]分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值(如圖②所示）．(3)求曲邊梯形面積的步驟：①分割，②近似代替，③求和，④取極限．2．曲邊三角形或曲邊梯形的面積：S＝eq\o(lim,\s\do4(n→＋∞))eq\i\su(i＝0,n－1，f）(xi)Δx，克服彈簧的拉力的變力所做的功:W＝eq\o（lim,\s\do4（n→＋∞）)eq\i\su（i＝0,n－1,f）（xi)Δx。［情境導(dǎo)學(xué)］任何一個平面圖形都有面積，其中矩形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形等平面多邊形的面積，可以利用相關(guān)公式進(jìn)行計算．如圖所示的平面圖形,是由直線x＝a，x＝b（a≠b)，y＝0和曲線y＝f（x）所圍成的，稱之為曲邊梯形,如何計算這個曲邊梯形的面積呢？探究點一求曲邊梯形的面積思考1如何計算下列兩圖形的面積？答①直接利用梯形面積公式求解．②轉(zhuǎn)化為三角形和梯形求解．思考2如圖，為求由拋物線y＝x2與直線x＝1，y＝0所圍成的平面圖形的面積S，圖形與我們熟悉的“直邊圖形”有什么區(qū)別?答已知圖形是由直線x＝1，y＝0和曲線y＝x2所圍成的,可稱為曲邊梯形，曲邊梯形的一條邊為曲線段，而“直邊圖形”的所有邊都是直線段．思考3能否將求曲邊梯形的面積問題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”的面積問題？(歸納主要步驟)答(如圖)可以通過把區(qū)間［0,1］分成許多小區(qū)間，將曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形“以直代曲”,即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值,對這些近似值進(jìn)行求和,就得到曲邊梯形面積的近似值，隨著拆分越來越細(xì)，近似程度會越來越好．求曲邊梯形的面積可以通過分割、近似代替、求和、取極限四個步驟完成．思考4在“近似代替”中,如果認(rèn)為函數(shù)f（x)＝x2在區(qū)間［eq\f（i－1,n），eq\f(i,n)］（i＝1，2，…，n)上的值近似地等于右端點eq\f（i,n）處的函數(shù)值f(eq\f（i，n)），用這種方法能求出S的值嗎?若能求出，這個值也是eq\f（1，3)嗎？取任意ξi∈［eq\f(i－1,n),eq\f(i,n)]處的函數(shù)值f(ξi)作為近似值，情況又怎樣?其原理是什么？答都能求出S＝eq\f(1，3).我們解決此類問題的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在極限狀態(tài)下,小曲邊梯形可以看做小矩形．例1求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x2所圍成的圖形的面積．解(1)分割將區(qū)間[0，1］等分為n個小區(qū)間：[0，eq\f（1，n)]，［eq\f（1，n），eq\f(2，n）]，[eq\f（2,n），eq\f(3,n)],…，［eq\f(i－1，n）,eq\f（i,n）］,…，［eq\f（n－1，n),1],每個小區(qū)間的長度為Δx＝eq\f（i,n)－eq\f（i－1，n）＝eq\f（1,n)。過各分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作ΔS1，ΔS2,…，ΔSn。（2）近似代替在區(qū)間［eq\f(i－1,n),eq\f(i，n)]（i＝1,2,…，n）上,以eq\f（i－1，n）的函數(shù)值eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(i－1,n))）2作為高，小區(qū)間的長度Δx＝eq\f（1，n）作為底邊的小矩形的面積作為第i個小曲邊梯形的面積，即ΔSi≈（eq\f(i－1,n))2·eq\f(1,n）.（3）求和曲邊梯形的面積近似值為S＝eq\i\su（i＝1,n,Δ）Si≈eq\i\su(i＝1,n,）(eq\f（i－1，n)）2·eq\f（1，n)＝0·eq\f（1，n）＋（eq\f（1,n））2·eq\f（1，n)＋(eq\f(2，n））2·eq\f（1,n）＋…＋（eq\f(n－1，n)）2·eq\f(1，n)＝eq\f(1，n3）［12＋22＋…＋(n－1)2］＝eq\f（1,3）（1－eq\f(1，n)）(1－eq\f（1,2n)）．（4)取極限曲邊梯形的面積為S＝eq\o（lim，\s\do4(n→∞)）eq\f（1,3)(1－eq\f（1，n))(1－eq\f（1,2n))＝eq\f（1,3).反思與感悟求曲邊梯形的思想及步驟：（1）思想：以直代曲、逼近；(2)步驟：分割→近似代替→求和→取極限；(3)關(guān)鍵:近似代替;（4)結(jié)果:分割越細(xì)，面積越精確．跟蹤訓(xùn)練1求由拋物線y＝x2與直線y＝4所圍成的曲邊梯形的面積．解∵y＝x2為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，∴所求曲邊梯形的面積應(yīng)為拋物線y＝x2(x≥0）與直線x＝0,y＝4所圍圖形面積S陰影的2倍，下面求S陰影．由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝x2x≥0,y＝4))，得交點為（2，4)，如圖所示，先求由直線x＝0，x＝2,y＝0和曲線y＝x2圍成的曲邊梯形的面積．（1)分割將區(qū)間［0，2］n等分，則Δx＝eq\f(2,n)，取ξi＝eq\f（2i－1，n）.（2）近似代替求和Sn＝eq\i\su（i＝1，n，［)eq\f（2i－1，n)]2·eq\f（2,n）＝eq\f(8,n3）［12＋22＋32＋…＋（n－1）2］＝eq\f(8,3）(1－eq\f（1，n)）（1－eq\f(1,2n)）．（3）取極限S＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞）)Sn＝eq\o（lim,\s\do4(n→∞))eq\f(8,3）(1－eq\f（1,n)）(1－eq\f（1，2n）)＝eq\f（8，3）。∴所求平面圖形的面積為S陰影＝2×4－eq\f（8,3)＝eq\f（16，3)?！?S陰影＝eq\f(32，3)，即拋物線y＝x2與直線y＝4所圍成的圖形面積為eq\f(32，3)。探究點二求變力做功思考求變速運(yùn)動的路程問題解法和曲邊梯形的面積有什么聯(lián)系?答求變速直線運(yùn)動的路程問題，方法和步驟類似于求曲邊梯形的面積，仍然利用以直代曲的思想,將變速直線運(yùn)動問題轉(zhuǎn)化為勻速直線運(yùn)動問題,求解過程為：分割、近似代替、求和、取極限．例2如圖，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置em處,求克服彈力所做的功．解在彈性限度內(nèi),拉伸(壓縮）彈簧所需的力與彈簧拉伸(壓縮）的長度成正比,即F（x)＝kx(N），其中k為比例系數(shù)．將[0，e］n等分，記Δx＝eq\f（e,n)，分點依次為x0＝0，x1＝eq\f（e,n)，x2＝eq\f（2e,n)，…,xn－1＝eq\f(n－1e,n），xn＝e.當(dāng)n很大時，在分段[xi，xi＋1］所用的力約為kxi，所做的功ΔWi≈kxiΔx＝kxieq\f（e,n）。則從0到e所做的總功W近似地等于eq\i\su（i＝0,n－1，Δ）Wi＝eq\i\su（i＝0,n－1,k）xi·Δx＝eq\i\su(i＝0,n－1,k）·eq\f(ie,n)·eq\f（e，n)＝eq\f(ke2，n2)[0＋1＋2＋…＋（n－1）］＝eq\f（ke2,n2）·eq\f（nn－1,2)＝eq\f（ke2,2）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（1,n）））.∴彈簧從平衡位置拉長到e處所做的功為：W＝eq\o（lim，\s\do4(n→＋∞））eq\i\su（i＝0，n－1，Δ）Wi＝eq\f(ke2,2）.答克服彈力所做的功為eq\f（ke2,2）J。反思與感悟以“不變代變”的方法，把變力做功問題轉(zhuǎn)化為求常力做功問題．跟蹤訓(xùn)練2有一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，在時刻t的速度為v(t）＝3t2＋2(單位:km/h），那么該汽車在0≤t≤2(單位：h）這段時間內(nèi)行駛的路程S（單位：km)是多少?解(1）分割在時間區(qū)間［0，2］上等間隔地插入n－1個分點,將它分成n個小區(qū)間,記第i個小區(qū)間為[eq\f（2i－1,n)，eq\f（2i,n）］(i＝1，2，…，n),其長度為Δt＝eq\f(2i,n)－eq\f(2i－1，n）＝eq\f（2，n)。每個時間段上行駛的路程記為ΔSi(i＝1,2，…，n),則顯然有S＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si。（2)近似代替取ξi＝eq\f(2i，n）（i＝1,2，…,n）．于是ΔSi≈ΔS′i＝v(eq\f(2i，n）)·Δt＝[3(eq\f(2i,n））2＋2]·eq\f(2,n）＝eq\f(24i2，n3）＋eq\f(4，n)（i＝1,2，…，n)．（3)求和Sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ）S′i＝eq\i\su(i＝1，n，)(eq\f(24i2,n3）＋eq\f（4，n）)＝eq\f(24，n3)(12＋22＋…＋n2）＋4＝eq\f（24,n3)·eq\f（nn＋12n＋1，6）＋4＝8（1＋eq\f(1,n))（1＋eq\f（1，2n)）＋4。從而得到S的近似值S≈Sn.(4）取極限S＝eq\o（lim,\s\do4(n→＋∞)）Sn＝eq\o(lim,\s\do4（n→＋∞）)[8（1＋eq\f(1，n)）（1＋eq\f(1，2n））＋4］＝8＋4＝12.所以這段時間內(nèi)行駛的路程為12km.1．把區(qū)間［1,3］n等分，所得n個小區(qū)間的長度均為（）A.eq\f(1，n)B.eq\f(2，n)C.eq\f(3,n)D。eq\f(1，2n）答案B解析區(qū)間[1,3］的長度為2，故n等分后,每個小區(qū)間的長度均為eq\f（2，n).2．函數(shù)f(x）＝x2在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（i－1，n)，\f(i,n))）上（)A．f(x）的值變化很小B．f(x)的值變化很大C．f（x）的值不變化D．當(dāng)n很大時，f(x)的值變化很小答案D解析當(dāng)n很大，即Δx很小時，在區(qū)間[eq\f(i－1，n)，eq\f(i，n）]上,可以認(rèn)為f（x）＝x2的值變化很小，近似地等于一個常數(shù)．3．在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi，xi＋1]上的近似值等于（)A．只能是左端點的函數(shù)值f（xi)B．只能是右端點的函數(shù)值f(xi＋1)C．可以是該區(qū)間內(nèi)任一點的函數(shù)值f(ξi）（ξi∈[xi,xi＋1])D．以上答案均正確答案C4．求由曲線y＝eq\f（1，2）x2與直線x＝1,x＝2，y＝0所圍成的平面圖形面積時,把區(qū)間5等分，則面積的近似值(取每個小區(qū)間的左端點)是________．答案1。02解析將區(qū)間5等分所得的小區(qū)間為[1，eq\f(6，5）］，[eq\f（6，5），eq\f(7，5)］，［eq\f（7,5），eq\f(8,5)］,［eq\f(8，5)，eq\f（9,5)］,［eq\f（9，5)，2],于是所求平面圖形的面積近似等于eq\f(1，10)(1＋eq\f（36,25)＋eq\f(49，25）＋eq\f(64，25)＋eq\f（81,25)）＝eq\f（1，10)×eq\f(255,25)＝1.02.［呈重點、現(xiàn)規(guī)律］求曲邊梯形面積和汽車行駛的路程的步驟：(1)分割：n等分區(qū)間[a，b]；（2)近似代替：取點ξi∈