第六講空間桿系分析

第六講空間桿系結構有限元分析

桿系結構定義：

由桿件組成的空間結構稱桿系結構。桿件指細長的構件，構件的幾何特征是一個方向的尺寸遠大于其它兩個方向的尺寸。桿系結構根據(jù)桿件兩端與其它構件連接方式的不同，可以分為桁架和剛架。桁架(桿)——由兩端鉸接的桿件構成的空間結構。剛架(梁)——亦稱為框架，指由兩端固接的桿件構成的空間結構。1§6-1空間桁架結構有限元分析（桁架單元）

由于兩端鉸接，不能承受力矩，假定每個節(jié)點三個自由度，在整體參考系有：為方便研究，在單元上取一個局部參考系，以為原點，由點指向點為軸的正向。在局部參考系中有：一、桁架單元剛度矩陣2在單元中假定：利用節(jié)點處的位移連續(xù)性條件可以解出和，代回原式有：其中單元長度為：3其中為單元截面積，為單元材料楊氏模量。

需要指出，以上單元剛度是基于局部參考系得到的，由于不同的單元，其局部參考系的方位各不相同。因而，局部參考系中的單元節(jié)點位移向量的方向也各不相同，局部參考系中的剛度矩陣不具有可累加性。

這就要求我們將局部參考系下的單元剛度矩陣變換到整體參考系中。4二、坐標變換矩陣局部參考系與整體參考系中單元節(jié)點位移向量的變換關系為：寫成矩陣形式為：簡記為：其中：5單元彈性應變能在整體參考系中的表達式為：單元彈性應變能在局部參考系中的表達式為：將：代入上式有：將該式與整體參考系中的單元彈性應變能對比可知：6三、等效單元體力載荷向量桁架單元的等效體力載荷向量可以簡單地表示為：其中：為單元形心坐標，可以由下式給出：7四、單元應力計算8§6-2平面剛架（框架）結構有限元分析一、平面剛架單元受力分析與變形分解該單元可以承受和方向的力以及繞軸方向的力矩。在整體參考系中單元節(jié)點位移向量為：為方便研究，在單元上取一個局部參考系，以為原點，由點指向點為軸的正象。9在局部參考系中單元所受載荷可以分解為：1）軸向拉壓，主要引起單元的軸向變形。2）橫向載荷及繞平面法向的彎矩，主要引起單元的彎曲。為研究方便，我們在做剛架結構有限元分析時，也將單元變形分解為軸向變形與彎曲變形兩部分，分別進行研究。在小變形條件下，可以認為單元的軸向變形與彎曲變形是相互獨立的并符合迭加原理。因此，我們可以分別計算兩種基本變形的剛度，在進行迭加。剛架結構的有限元分析在研究彎曲變形時采用了材料力學梁的基本假定，因此，有時也將剛架單元稱為梁單元。101）單元軸向變形剛度矩陣與軸向變形相關的節(jié)點位移分量有和，假定在軸向載荷作用下單元內單元內任意點的位移為：與軸向變形對應的剛度矩陣為：

二、平面剛架單元兩種基本變形的的剛度矩陣112）單元彎曲變形剛度與彎曲變形相關的節(jié)點位移分量有、、和。假定在軸向載荷作用下單元內單元內任意點的撓度為：中性層上的根據(jù)節(jié)點處的位移連續(xù)性條件有：解出，代回撓度函數(shù)經整理可得：在點：在點：小變性、中心平面、12撓度函數(shù)為：其中：單元中性層外任意點沿局部參考系方向得位移可以表示為：13單元中性層外任意點沿局部參考系方向得應變可以表示為：其中：在局部參考系中單元剛度矩陣可以表示為其中：——繞軸截面彎曲慣性矩14將軸向變形與彎曲變形的剛度迭加，可以得到平面剛架單元的剛度矩陣。15§6-3空間剛架（框架）結構有限元分析一、空間剛架單元受力分析與變形分解該單元可以承受三個方向的力以及繞三個軸的力矩。在整體參考系中單元節(jié)點位移向量為：為方便研究，在單元上取一個局部參考系，以為原點，由點指向點為軸。以截面的兩個慣性主軸分別為局部參考系的軸和軸。161)在軸向載荷的作用下，將產生軸向拉壓變形，與之相關的節(jié)點位移分量為：2)在繞軸向載荷（扭矩）的作用下，將產生扭轉變形，與之相關的節(jié)點位移分量為：3)在向載荷及繞軸力矩的作用下，將產生平面內的彎曲變形，與之相關的節(jié)點位移分量為：4)在向載荷及繞軸力矩的作用下，將產生平面內的彎曲變形，與之相關的節(jié)點位移分量為：17二、空間剛架單元四種基本變形的剛度矩陣1）單元軸向變形剛度矩陣與軸向變形相關的節(jié)點位移分量有和，假定在軸向載荷作用下單元內單元內任意點的位移為：與軸向變形對應的剛度矩陣為：

182）繞單元軸向扭轉變形剛度矩陣與扭轉變形相關的節(jié)點位移分量有和，假定在軸向載荷作用下單元內單元內任意點的扭轉角為：在單元中假定：在點：在點：解出和代回插值函數(shù)有：

對于圓形截面有：其幾何矩陣為：19與軸向變形對應的剛度矩陣為：

根據(jù)應力應變關系可以得到則扭轉變形剛度矩陣為：令：——圓形截面的扭轉慣性矩。說明：對于非圓截面前面的應變位移關系及扭轉慣性矩算式不成立，但剛度矩陣是普遍適用的，只是扭轉慣性矩需要用其它方法獲得，如：近似公式計算、實驗等。203）單元平面內彎曲變形剛度矩陣與彎曲變形相關的節(jié)點位移分量有、、和。假定在橫向載荷和彎矩作用下單元內單元內任意點的撓度為：根據(jù)節(jié)點處的位移連續(xù)性條件有：解出，代回撓度函數(shù)經整理可得：在點：在點：21撓度函數(shù)為：其中：單元中性層外任意點沿局部參考系方向得位移可以表示為：22單元中性層外任意點沿局部參考系方向得應變可以表示為：其中：在局部參考系中單元剛度矩陣可以表示為其中：——繞軸截面慣性矩234）單元平面內彎曲變形剛度矩陣與彎曲變形相關的節(jié)點位移分量有、、和。假定在單元內單元內任意點的撓度為：根據(jù)節(jié)點處的位移連續(xù)性條件有：在點：在點：其中：——繞軸截面慣性矩對應的單元剛度矩陣為：其他過程與平面內的彎曲相同，不再24對稱空間剛架單元在局部參考系中的單元剛度矩陣為：25三、空間剛架單元剛度矩陣的變換關系整體參考系1）空間剛架單元的節(jié)點位移向量局部參考系2）空間剛架單元的節(jié)點位移向量的變換關系——坐標變換矩陣，具體形式如下：26其中：——局部參考系軸關于整體參考系的方向余弦——局部參考系軸關于整體參考系的方向余弦——局部參考系軸關于整體參考系的方向余弦因為空間剛架單元的局部參考系有三個坐標軸，根據(jù)單元的兩個節(jié)點只能確定其中一個坐標軸的方向，為確定其它兩個坐標軸的方向，還需要因入一個輔助量，可以是一個節(jié)點或一個參考方向。27四、空間剛架單元局部參考系確定方法（參考點法）所謂參考點法，是在單元截面主軸平面內找一個輔助點（稱參考點），用以幫助確定單元局部參考系。首先由點到點作一個向量

其中：取的方向為局部參考系軸的方向，軸與整體參考系的三個方向余弦為：28再由點到點作一個向量

其中：顯然的方向垂直于和，以局部參考系軸的方向。由向量差乘規(guī)則可知：令：或寫成行列式形式：29這樣，局部參考系軸的三個方向余弦

可以表示為：顯然的方向垂直于和，以局部參考系軸的方向。