第2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型2-3

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2-4

控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖

數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量(或變量)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)模型可以有多種形式。在經(jīng)典理論中，常用的數(shù)學(xué)模型是微（差）分方程、傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖、信號(hào)流圖、頻率特性等；在現(xiàn)代控制理論中，采用的是狀態(tài)空間表達(dá)式。結(jié)構(gòu)圖、信號(hào)流圖、狀態(tài)圖是數(shù)學(xué)模型的圖形表達(dá)形式。數(shù)學(xué)模型時(shí)域模型頻域模型方框圖和信號(hào)流圖狀態(tài)空間模型數(shù)學(xué)模型表示方法建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型方法有分析法（機(jī)理建模法）和實(shí)驗(yàn)法（系統(tǒng)辨識(shí)）。分析法是根據(jù)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析，列寫相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程。實(shí)驗(yàn)法是給系統(tǒng)施加測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)。2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

1、建立步驟

（1）

確定輸入和輸出量（2）

依據(jù)定律列寫原始方程（3）

消去中間變量，寫出微分方程（4）將微分方程標(biāo)準(zhǔn)化。二、線性元件的微分方程②①[解]：據(jù)基爾霍夫電路定理：輸入輸出LRCi例題：寫出RLC串聯(lián)電路的微分方程。由②：，代入①得：例題：列寫電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程取電樞電壓ua和等效到電機(jī)轉(zhuǎn)軸上的負(fù)載轉(zhuǎn)矩Mc為輸入量，輸出是轉(zhuǎn)速w

電樞回路方程為

控制系統(tǒng)的微分方程SM負(fù)載若以角速度為輸出量、電樞電壓為輸入量，消去中間變量，直流電動(dòng)機(jī)的微分方程為電磁轉(zhuǎn)矩方程電動(dòng)機(jī)軸上轉(zhuǎn)矩平衡方程當(dāng)電樞回路的電感可以忽略不計(jì)若電樞回路電阻和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都很小，可忽略不計(jì)，則上式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：mfF圖1mF圖2這也是一個(gè)二階定常微分方程。X為輸出量，F(xiàn)為輸入量。在國(guó)際單位制中，m、f和k的單位分別為：例題：圖為彈簧-質(zhì)量-阻尼器的機(jī)械位移系統(tǒng)，列寫質(zhì)量在輸入量為外力F，輸出量為位移x。阻尼器是一種產(chǎn)生粘性摩擦的裝置，由活塞和充滿油液的缸體組成?；钊透左w之間的任何相對(duì)運(yùn)動(dòng)都將受到油液的阻滯。阻尼器用來(lái)吸收系統(tǒng)的能量并轉(zhuǎn)變?yōu)闊崃慷⑹У?。[解]：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m為質(zhì)量，f為粘滯阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。二、控制系統(tǒng)微分方程的建立⑴確定系統(tǒng)和各元部件的輸入量和輸出量。⑵對(duì)系統(tǒng)中每一個(gè)元件列寫出與其輸入、輸出量有關(guān)的物理的方程。⑶對(duì)上述方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，比如略去一些對(duì)系統(tǒng)影響小的次要因素，對(duì)非線性元部件進(jìn)行線性化等。⑷從系統(tǒng)的輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系的微分方程。1、步驟例題：編寫下圖所示的速度控制系統(tǒng)的微分方程。負(fù)載-+-+功率放大器測(cè)速發(fā)電機(jī)[解]：⑴該系統(tǒng)的組成和原理；⑵該系統(tǒng)的輸出量是，輸入量是，擾動(dòng)量是測(cè)速-運(yùn)放Ⅰ運(yùn)放Ⅱ功放電動(dòng)機(jī)⑶速度控制系統(tǒng)方塊圖：系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸入?yún)⒖剂靠刂葡到y(tǒng)的主要部件（元件）：給定電位器、運(yùn)放1、運(yùn)放2、功率放大器、直流電動(dòng)機(jī)、減速器、測(cè)速發(fā)電機(jī)運(yùn)放1運(yùn)放2功放直流電動(dòng)機(jī)減速器（齒輪系）測(cè)速發(fā)電機(jī)消去中間變量控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（微分方程），令以下的參數(shù)為三、線性定常微分方程的求解直接求解法：通解+特解自由解+強(qiáng)迫解（零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)）拉氏變換求解法：2.求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式；

3.對(duì)輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時(shí)域表達(dá)式，即為所求微分方程的解。1.考慮初始條件，對(duì)微分方程中的每一項(xiàng)分別進(jìn)行拉氏變換，得到變量s的代數(shù)方程；R1C1i1(t)ur(t)uc(t)例題：已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t)，求uc(t)解：零初始條件下取拉氏變換：2.2.12.2.32.2.2三、非線性微分方程的線性化

[非線性系統(tǒng)]：如果不能應(yīng)用疊加原理，則系統(tǒng)是非線性的。在經(jīng)典控制領(lǐng)域?qū)Ψ蔷€性環(huán)節(jié)的處理能力是很小的。但在工程應(yīng)用中，除了含有強(qiáng)非線性環(huán)節(jié)或系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間變化較大的情況，一般采用近似的線性化方法。對(duì)于非線性方程，可在工作點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，取前面的線性項(xiàng)?？梢缘玫降刃У木€性環(huán)節(jié)。AByx0設(shè)具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)y=f(x)如圖所示若取某一平衡狀態(tài)為工作點(diǎn)，如下圖中的A(x0,y0)。A點(diǎn)附近有點(diǎn)為A(x0+Dx,y0+Dy)，當(dāng)Dx很小時(shí)，AB段可近似看做線性的。AByx0設(shè)f(x)在點(diǎn)連續(xù)可微，則將函數(shù)在該點(diǎn)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，得：若很小，則，即式中，K為與工作點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)，顯然，上式是線性方程，是非線性方程的線性表示。為了保證近似的精度，只能在工作點(diǎn)附近展開(kāi)。對(duì)于具有兩個(gè)自變量的非線性方程，也可以在靜態(tài)工作點(diǎn)附近展開(kāi)。設(shè)雙變量非線性方程為：，工作點(diǎn)為。則可近似為：式中：，。 為與工作點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)。2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型引入新課：一、傳遞函數(shù)的定義零初始條件下，輸出量拉氏變換輸入量拉氏變換r(t)—輸入量，c(t)—輸出量R(s)=L[r(t)],C(s)=L[c(t)]（1）t<0,輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0零初始條件（2）t<0,輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0(1)為何要規(guī)定零初始條件？

(2)規(guī)定初始條件為零是否可行？

思考：設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：

例題：求Ls1/Cs解：例題：試求電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)根據(jù)線性疊加原理，分別研究到和到的傳遞函數(shù)解：二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)1、G(s)是復(fù)函數(shù)，且2、G(s)與r(t)無(wú)關(guān)，只與系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)4、G(s)是單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換3、G(s)微分方程sd/dtsd/dt三、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)z1z2稱為傳遞系數(shù)或根軌跡系數(shù)傳遞函數(shù)寫成因子連乘積的形式稱為傳遞系數(shù)或增益或放大系數(shù)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是微分方程的特征根，極點(diǎn)決定了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。四、傳遞函數(shù)極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)輸出的影響自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)輸入函數(shù)零狀態(tài)響應(yīng)前兩項(xiàng)具有與輸入函數(shù)相同的模態(tài)后兩項(xiàng)由極點(diǎn)決定的自由運(yùn)動(dòng)模態(tài)，其系數(shù)與輸入函數(shù)有關(guān)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占的比重，

例如輸入信號(hào)

，零狀態(tài)響應(yīng)分別為各個(gè)模態(tài)在兩個(gè)系統(tǒng)輸出響應(yīng)中所占的比重不同，取決于零點(diǎn)相對(duì)于極點(diǎn)的距離。任何一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)都是由有限個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而成的。典型環(huán)節(jié)通常分為以下六種：1、比例環(huán)節(jié)式中K-增益特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無(wú)失真和時(shí)間延遲。實(shí)例：電子放大器，齒輪，電阻（電位器），感應(yīng)式變送器等。五、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

特點(diǎn)：含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無(wú)振蕩。

實(shí)例：RC網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。2、慣性環(huán)節(jié)式中T-時(shí)間常數(shù)3、微分環(huán)節(jié)理想微分一階微分二階微分特點(diǎn)：輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)。實(shí)例：測(cè)速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。特點(diǎn)：輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。實(shí)例：電動(dòng)機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。4、積分環(huán)節(jié)5、振蕩環(huán)節(jié)

式中ξ－阻尼比-自然振蕩角頻率（無(wú)阻尼振蕩角頻率）特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實(shí)例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。

6、純時(shí)間延時(shí)環(huán)節(jié)式中－延遲時(shí)間特點(diǎn)：輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時(shí)間間隔。實(shí)例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數(shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。

2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖：描述系統(tǒng)各元部件之間的信號(hào)傳遞關(guān)系的一種圖形化表示，特別對(duì)于復(fù)雜控制系統(tǒng)的信號(hào)傳遞過(guò)程給出了一種直觀的描述。

信號(hào)線：表示信號(hào)傳遞通路與方向。

方框：表示對(duì)信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換。方框中寫入元件或子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

相加點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算。“+”表示相加，“-”表示相減。

引出點(diǎn)：表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置。同一位置引出的信號(hào)數(shù)值和性質(zhì)完全相同。一、組成:結(jié)構(gòu)圖由許多對(duì)信號(hào)進(jìn)行單向運(yùn)算的方框和一些信號(hào)流向線組成，它包括：例題：電壓測(cè)量裝置方框結(jié)構(gòu)圖被測(cè)電壓：指示的測(cè)量電壓：電壓測(cè)量誤差：系統(tǒng)組成：比較電路、機(jī)械調(diào)制器、放大器兩相交流伺服電動(dòng)機(jī)、指針機(jī)構(gòu)比較電路：調(diào)制器：放大器：兩相伺服電動(dòng)機(jī)：繩輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)：測(cè)量電位器：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖例題：繪出圖示雙RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。uiuouC2C1ici1R1R2i2U(s)I2(s)Uo(s)(d)(-)IC(s)U(s)(c)IC(s)I1(s)I2(s)(-)(b)Ui(s)I1(s)U(s)(-)(a)I2(s)Uo(s)(e)Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)(f)解：繪出網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的復(fù)頻域圖，可得：二、結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡(jiǎn)化任何復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，各方框之間的基本連接方式只有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。方框結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化是通過(guò)移動(dòng)引出點(diǎn)、比較點(diǎn)，交換比較點(diǎn)，進(jìn)行方框運(yùn)算后，將串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框合并。等效變換的原則：變換前后的變量之間關(guān)系保持不變（1）串聯(lián)（2）并聯(lián)（3）反饋（4）信號(hào)相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的移動(dòng)和互換：

如果上述三種連接交叉在一起而無(wú)法化簡(jiǎn)，則要考慮移動(dòng)某些信號(hào)的相加點(diǎn)和分支點(diǎn)。①信號(hào)相加點(diǎn)的移動(dòng)：把相加點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端信號(hào)相加點(diǎn)的移動(dòng)信號(hào)相加點(diǎn)的移動(dòng)和互換把相加點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端：②信號(hào)分支點(diǎn)的移動(dòng)：分支點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端信號(hào)分支點(diǎn)的移動(dòng)和互換信號(hào)相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的移動(dòng)和互換分支點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端：[注意]：相臨的信號(hào)相加點(diǎn)位置可以互換；見(jiàn)下例信號(hào)相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的移動(dòng)和互換同一信號(hào)的分支點(diǎn)位置可以互換：見(jiàn)下例相加點(diǎn)和分支點(diǎn)在一般情況下，不能互換。所以，一般情況下，相加點(diǎn)向相加點(diǎn)移動(dòng)，分支點(diǎn)向分支點(diǎn)移動(dòng)。結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-11例題：利用結(jié)構(gòu)圖等效變換討論兩級(jí)RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)。結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-11總的結(jié)構(gòu)圖如下：-----①--②結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-11--③-④結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-12[解]：結(jié)構(gòu)圖等效變換如下：[例2-12]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，求傳遞函數(shù)。-+相加點(diǎn)移動(dòng)-+①-+②結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-12閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)三、閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖如下圖所示：-+圖中，，為輸入、輸出信號(hào)，為系統(tǒng)的偏差，為系統(tǒng)的擾動(dòng)量。1、輸入R(S)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)：令，則有：-輸出量為：上式中，稱為前向通道傳遞函數(shù)，前向通道指從輸入端到輸出端沿信號(hào)傳送方向的通道。前向通道和反饋通道的乘積稱為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。含義是主反饋通道斷開(kāi)時(shí)從輸入信號(hào)到反饋信號(hào)之間的傳遞函數(shù)。輸入作用下誤差傳遞函數(shù)為：2、擾動(dòng)N(S)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)此時(shí)R(s)=0,結(jié)構(gòu)圖如下：輸出對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)為：輸出為：一般要求由擾動(dòng)量產(chǎn)生的輸出量應(yīng)為零。系統(tǒng)的誤差為-C(s),誤差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，擾動(dòng)作用下誤差傳遞函數(shù)為：-+2-4控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖

一、信號(hào)流圖的組成：（1)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量，用“O”表示。變量是所有流向該節(jié)點(diǎn)信號(hào)的代數(shù)和;（2）信號(hào)在支路上沿箭頭單向傳遞；（3）支路相當(dāng)于乘法器，信號(hào)流經(jīng)支路時(shí)，被乘以支路增益而變成另一信號(hào);（4）對(duì)一個(gè)給定系統(tǒng)，信號(hào)流圖不是唯一的。信號(hào)流圖是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)。二、常用的名詞術(shù)語(yǔ)：

源節(jié)點(diǎn)（輸入節(jié)點(diǎn)）：在源節(jié)點(diǎn)上，只有信號(hào)輸出支路而沒(méi)有信號(hào)輸入的支路，它一般代表系統(tǒng)的輸入變量。

阱節(jié)點(diǎn)（輸出節(jié)點(diǎn)）：在阱節(jié)點(diǎn)上，只有信號(hào)輸入的支路而沒(méi)有信號(hào)輸出的支路，它一般代表系統(tǒng)的輸出變量?；旌瞎?jié)點(diǎn)：在混合節(jié)點(diǎn)上，既有信號(hào)輸出的支路而又有信號(hào)輸入的支路。前向通路：信號(hào)從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)傳遞時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過(guò)一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘積稱前向通路總增益，一般用Pk表示。

回路：起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，而且信號(hào)通過(guò)每一節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉合通路稱回路。回路上各支路增益之乘積稱回路增益，一般用La表示。不接觸回路：回路之間沒(méi)有公共節(jié)點(diǎn)時(shí)，稱它們?yōu)椴唤佑|回路。1.由系統(tǒng)微分方程繪制信號(hào)流圖

1）將微分方程通過(guò)拉氏變換，得到關(guān)于s的代數(shù)方程；2）每個(gè)變量指定一個(gè)節(jié)點(diǎn)；3）將方程按照變量的因果關(guān)系排列；4）連接各節(jié)點(diǎn)，并標(biāo)明支路增益。三、信號(hào)流圖的繪制C1uiR1R2uoi1i例題Ui(s)Ui(s)-Uo(s)Uo(s)Uo(s)uC(0)-1I1(s)I(s)R21+R1C1s1/R1-C11)用小圓圈標(biāo)出傳遞的信號(hào)，得到節(jié)點(diǎn)。2)用線段表示結(jié)構(gòu)圖中的方框，用傳遞函數(shù)代表支路增益。G(s)C(s)R(s)G1(s)G