第11章 彎曲內力

第四章彎曲內力

火車輪軸第四章彎曲內力

§4—1平面彎曲的概念

彎曲：在通過軸線縱向平面內，受到垂直于桿軸線的外力(橫向力)或外力偶作用，桿的軸線將彎曲成一條曲線。梁：以彎曲為主要變形的構件?？v向對稱面：通過梁軸線和橫截面對稱軸的平面。

qMPRARB平面彎曲:在多數(shù)情況下，作用于梁上的載荷均垂直于梁的軸線，并在縱向對稱面內，在這樣的載荷作用下，梁的軸線將在縱向對稱面內彎曲成一條平面曲線。qMPRARB平面彎曲（1）梁有一個縱向對稱面；（2）外力作用在縱向對稱面內；（3）梁的軸線在縱向對稱面內彎曲成一條平面曲線1分布載荷q2集中載荷F3集中力偶

M梁的受力特點：受到橫向力作用。梁的變形特點：梁的軸線由直線彎成了曲線?！?–2梁的計算簡圖一、幾何結構的簡化二、載荷的簡化

三、約束的簡化四、靜定梁及其分類1、簡支梁，2、外伸梁，3、懸臂梁1可動鉸2固定鉸3固定端FFXFYYXM吊車大梁簡化均勻分布載荷.簡稱均布載荷火車輪軸簡化§4–3剪力和彎矩

一、符號規(guī)則FFFFFQ(+)FFFFFQ(-)‘左順右逆,彎矩為正’左,右—外力的作用點相對于截面的位置.順,逆--外力對截面形心取矩的轉向.M(+)M(-)(1)剪力的符號規(guī)則(2)彎矩的符號規(guī)則例題：求圖示懸壁梁C截面上的內力。

二、用截面法求內力的討論1、關于Q、M的符號問題

2、用截面法計算內力的規(guī)律橫截面上的剪力在數(shù)值上等于此截面左側（或右側）梁上外力的代數(shù)和。截面左側向上外力，或右側向下外力，產生正的剪力；反之產生負的剪力。橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于此截面左側（或右側）梁上外力對該截面形心之矩的代數(shù)和。向上的外力產生正的彎矩，向下的外力產生負的彎矩；截面左側順時針轉向的力偶,和截面右側逆時針轉向的力偶產生正值彎矩,反之產生負值彎矩?？捎洖椋鹤笊嫌蚁拢袅檎蛔箜樣夷?，彎矩為正；

外力向上,彎矩為正。例題：求圖示梁中A,B,C,D,E,F,G各截面上的內力?！?–4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖一、內力方程二、內力圖

已知:F,l

求:FQmax和

Mmax解:1剪力方程和彎矩方程

FQ(x)=-F(0≤x≤l)

M(x)=-Fx(0≤x≤l)

FQmax=F

Mmax=FlxyxlFAB0-FlxM(-)0F(-)xFQ2作剪力圖和彎矩圖已知:q,l

求:Qmax和Mmax由對稱性2剪力方程和彎矩方程3作剪力圖和彎矩圖

x

Q

M

qxylxABFAFB解:1支反力xQ0(-)(+)xM0(+)0l00

0已知:F,l,a<b

求:FQmax和Mmax

解:1支反力2剪力方程和彎矩方程

AC(0≤x1≤a)3作剪力圖和彎矩圖CB(a≤

x2≤

l

)xM0(+)xQ0(+)(-)Fxylx1ABBabFAFBx2C故得出結論：在集中力作用處，剪力圖上發(fā)生突變，突變值的大小等于該集中力的大小。

從Q圖可看C截面：

剪力圖在C截面發(fā)生一突變，其大小為：。從M圖可看出，最大彎矩發(fā)生在集中力作用處的截面上，其值為：。已知:m,l,a<b

求:Qmax和Mmax2剪力方程和彎矩方程

AC(0≤x1≤a)3作剪力圖和彎矩圖CB(a≤x2≤l

)mxylx1ABBabFAFBx2CxQ0(+)xM0(-)(+)解:1支反力xQ0(+)xM0(-)(+)彎矩圖在C截面發(fā)生一突變，其大小為：。由此可得出結論：在集中的偶作用處，彎矩圖上發(fā)生突變，其突變值等于該集中力偶的大小。

對剪力圖而言，集中力偶作用的截面并無改變。

從M圖可看出，在C截面：

§4–5剪力、彎矩和載荷集度間的關系一、三者之間的微分關系ΣFY=0,

Q(x)-[Q(x)+dQ

(x)]+q(x)dx=0

ΣMo=0,剪力對x的一階導數(shù)等于梁上相應位置分布荷載的集度。

彎矩對x的一階導數(shù)等于梁上相應位置上的剪力。

彎矩對x的二階導數(shù)等于梁上相應位置分布荷載的集度。

根據(jù)上面三個關系式，對正確繪制剪力圖和彎矩圖有很大幫助。下面來分析一下繪剪力圖和彎矩圖時常見的幾種情況。二、微分關系在內力圖上的應用1.在梁某一段內無荷載作用。在該段內剪力圖必是一平行于x軸的直線。常數(shù)，常數(shù)，M(x)是x的一次函數(shù)。

M(x)=ax+b在該段內彎矩圖必是一斜直線。Q>0，M圖（ ）Q<0，M圖（

）

2.

在梁某一段內作用著均布荷截。

在該段內剪力圖必是一斜直線。q(x)向上，Q圖（ ）q(x)向下，Q圖（

）

q(x)=常數(shù)，常數(shù)，Q(x)

是x的一次函數(shù)。

Q(x)=ax+b

M(x)是x的二次函數(shù)，該段內彎矩圖是拋物線。

當時（q(x)向上），彎矩圖下凸。

()當時（q(x)向下），彎矩圖上凸。

()M(x)=ax2+bx+c3.

在梁某一截面上Q(x)=0。

，說明彎矩圖在該截面的斜率為零，也就是說該截面上的彎矩具有極值。

當時，M具有極大值；

當時，M具有極小值。

qxylxABFAFBxQ0(-)(+)xM0(+)

4.在集中力作用處，Q圖有突變，變化量等于該集中力，彎矩圖斜率在此處有突變。

在集中力偶作用處，M圖有突變，變化量等于該集中力偶，Q圖在該處無變化。

xM0(+)xQ0(+)(-)Fxylx1ABBabFAFBx2Cmxylx1ABBabFAFBx2CxQ0(+)xM0(-)(+)

5.

對整根梁而言，不但可能發(fā)生在Q=0

的截面上，也有可能發(fā)生在集中力或集中力偶作用處。

6.

M=0處:無集中力偶作用的端面鉸或自由端.xM0(+)xQ0(+)(-)Fxylx1ABBabFAFBx2Cmxylx1ABBabFAFBx2CxQ0(+)xM0(-)(+)解（一）求支座反力

由平衡條件得：RA=7KN，R0=9KN。

例

繪圖示梁的剪力圖和彎矩圖。

例5圖由梁A端開始。由于A處有向上支座反力RA=7KN，Q圖由零向上突變，突變值為RA=7KN。由于AB段內無分布荷載，所以AB段的剪力圖為一水平直線，并從A點一直延伸到B點稍偏左截面處。（二）作剪力圖

由于B處有向下集中力P1的作用，Q圖上向下有一突變，突變值為P1=-10KN，所以B右段面的剪力值為：

BC段內無分布荷載，所以BC段的剪力圖為一水平線，并從B右一直延伸到C點。

由于CD段有向下的均布荷載作用，即q(x)=-2KN/m（常數(shù)），所以該段Q圖為一下降的斜直線。

C、D兩截面的剪力之差等于荷載在該段之和，即-2×2=-4KN，所以D左截面的剪力值為：

D處有向上支座反力RD作用，剪力圖在D處有突變，突變值就是RD=9KN。D右處的剪力為：

DE段內無荷載作用，剪力圖為一水平線，從D右一直延伸到E左。

在E處有集中力P2向下作用，Q圖又回到零。

全梁的Q圖見圖示。

由于A為鉸支座，又沒有集中力偶作用，所以MA=0；彎矩從零開始在AB段內Q=7KN>0，所以M為一上升斜直線。

B、A兩截面的彎矩之差即為剪力圖（AB段）的面積。即（三）作彎矩圖

在BC段內剪力為常數(shù)Q=-3KN，所以M為一下降斜直線。C左、B兩截面彎矩之差等于BC段剪力圖的面積，即

C處有集中力偶作用，彎矩圖在C處有突變，突變值就是，所以C右截面的彎矩為

在CD段內，由于q(x)=-2KN/m，所以M圖在該段為一上凸的二次曲線。D、C右截面的彎矩之差就等于該段剪力圖的面積，即：

DE段內Q=2KN>0，所以M為一上升斜直線。由于E處為自由端，又沒有集中力偶作用，故E處的彎矩ME=0。全梁的M圖見圖示。用疊加法作彎矩圖qF=+疊加原理:qFlx例如圖示懸臂梁總彎矩總彎矩q單獨作用P單獨作用表1常見受載情況的梁的彎矩圖