第4章與或圖搜索

第四章與或圖搜索1問題歸約法2與或圖3與或圖搜索4AO*算法5博弈樹的搜索問題:在邊長為2的正方形內(nèi)，任意放置5個點，求證其中必存在兩個點，它們之間的距離不大于2。問題可轉(zhuǎn)化為：在四個單位正方形內(nèi)，任意放置5個點，至少有兩個點在同一正方形內(nèi)。1問題歸約法問題:假定我們已經(jīng)會求矩形的面積，現(xiàn)在要求如圖所示的五邊形的面積。方法分析:五邊形的面積轉(zhuǎn)化為矩形面積。IIIII①②③123I求解步驟：求五邊形面積求1面積求2面積求3面積求I面積求II面積求III面積求①面積求②面積求③面積123IIIIII①②③問題歸約法:當問題復雜時，可把初始問題分解成若干簡單的子問題，若子問題仍復雜，可再進一步分解，直到這些子問題的解可直接得到。這種問題的描述和求解方法，稱為~.本原問題:可直接解答的問題稱為~，它是不必證明的、自然成立的.歸約法的組成：1）一個初始問題的描述；2）一組把問題變成子問題的算子(分解或轉(zhuǎn)換)；3）

一組本原問題的描述不同的算子對應不同的關(guān)系,從而使問題歸約的描述可用一個與或圖的結(jié)構(gòu)來表示.小結(jié):

2與或圖與節(jié)點：把單個問題分解為幾個子問題來求解。只有當所有子問題都有解，該父輩節(jié)點才有解。表示一種“與”關(guān)系?；蚬?jié)點：同一問題被轉(zhuǎn)換為幾種不同的后繼問題。只要有一個后繼問題有解，則原問題有解。表示一種“或”關(guān)系。與節(jié)點由與運算連接（超?。?，如圖（a）.或節(jié)點由或運算連接，如圖（b）.定義：與或圖就是包含與節(jié)點和或節(jié)點的圖，即存在超弧的圖，也稱為超圖.超圖與狀態(tài)空間圖有什么區(qū)別？與或圖是一種更一般的圖.定義：一超弧所相關(guān)的邊數(shù)（K）被稱為該超弧的度，實現(xiàn)的連接稱為K-連接.K—連接符：從一個父節(jié)點指向一組含有K個后繼節(jié)點的節(jié)點集.在與或圖中，節(jié)點n0有兩個連接符：1-連接符指向節(jié)點n1；2-連接符指向節(jié)點集合{n4、n5}；對于節(jié)點n0來講，n1可稱為或節(jié)點，n4、n5可稱為與節(jié)點。

與或圖

3與或圖搜索含義：在與或圖上執(zhí)行搜索的過程，其目的在于標明起始節(jié)點是有解的，即，搜索不是去尋找到目標節(jié)點的一條路徑，而是尋找一個解圖。定義：一個節(jié)點被稱為能解節(jié)點，其遞歸定義為：1．終節(jié)點是能解節(jié)點（直接與本原問題相關(guān)聯(lián)）；2．若非終節(jié)點有“或”子節(jié)點時，當且僅當其子節(jié)點至少有一個能解，該非終節(jié)點才能解；3．若非終節(jié)點有“與”子節(jié)點時，當且僅當其子節(jié)點均能解，該非終節(jié)點才能解。定義：不能解節(jié)點的遞歸定義為:

1．沒有后裔的非終節(jié)點是不能解的節(jié)點；2．若非終節(jié)點有“或”子節(jié)點時，當且僅當所有子節(jié)點均不能解時，該非終節(jié)點才不能解；3．若非終節(jié)點有“與”子節(jié)點時，當至少有一子節(jié)點不能解時，該非終節(jié)點才不能解.是由能解節(jié)點構(gòu)成的一個子圖，是包含一節(jié)點（n）到目的(終)節(jié)點集合（N）的、連通的能解節(jié)點的子圖.在一個與或圖G中，從節(jié)點n到節(jié)點集N的解圖記為G，G是G的子圖.1．若n是N的一個元素，則G由單個節(jié)點n組成；2．若n有一個指向節(jié)點集{n1…,nk}的外向連接符K，使得從每一個節(jié)點ni到N有一個解圖(i=1,…,k)，則G由節(jié)點n，連接符K，以及{n1,…,nk}中的每一個節(jié)點到N的解圖所組成；3．否則n到N不存在解圖.如果n=s為初始節(jié)點，則解圖為所求解問題的解圖.解圖的定義：若解圖的耗散值記為k(n,N)，則可遞歸計算如下：若n是N的一個元素，則k(n,N)=0；若n有一個外向連接符指向其后繼節(jié)點集合{n1…,ni}，并設(shè)該連接符的耗散值為Cn（一般k-連接符的耗散值=k），則

k(n,N)=Cn+k(n1,N)+…+k(ni,N)具有最小耗散值的解圖稱為最佳解圖，其值也用h*(n)標記。解圖耗散值的計算：例：從節(jié)點n開始，正確選擇一個外向連接符，一直進行下去直到產(chǎn)生的每一個后繼節(jié)點成為集合N中的一個元素為止。下圖給出了n0→{n7，n8}的三個解圖（耗散值分別為8，7，5）.解圖的求法與或圖搜索與狀態(tài)空間圖搜索的區(qū)別：搜索目的不同：是證明起始節(jié)點是否可解，而可解節(jié)點是遞歸定義的，取決于后繼節(jié)點是否可解，即搜索過程是能否找到可解的葉節(jié)點.結(jié)果不同：若初始節(jié)點被標示為可解，則搜索成功結(jié)束；若初始節(jié)點被標示為不可解，則搜索失敗.節(jié)點處理不同：一旦發(fā)現(xiàn)不可解節(jié)點，應把該節(jié)點從圖中刪去.4與或圖啟發(fā)式搜索算法AO*假設(shè)：G；G；h(n)是從節(jié)點n到一組終葉節(jié)點的一個最優(yōu)解圖的一個代價估計，評價函數(shù)q(n)=h(n)AO*過程:1.建立初始搜索圖，G:=s，計算q(s)=h(s)，IFGOAL(s)THENM(s,SOLVED)；2.Untils已標記為SOLVED,do:3.Begin4.G:=FIND(G)；根據(jù)連接符標記（指針）找出一個待擴展的侯選局部解圖G（連接符在11步標記）5.n:=G中的任一非終節(jié)點;選一個當前節(jié)點6.EXPAND(n),生成子節(jié)點集{ni}，如果ni

G，G:=ADD({ni},G),計算q(ni)=h(ni)，IFGOAL(ni)THENM(ni,SOLVED);7S:={n};建立含n的節(jié)點集合S.（已擴展待修正）8UntilS為空,do:9Begin(m為S中任一節(jié)點)10REMOVE(m,S),當mc{S};（m→mc,從底層開始修正）11修改m的耗散值q(m):對m指向節(jié)點集(n1i，n2i,…nki)的每一個連接符i分別計算qi,qi(m)=Ci+q(n1i)+…+q(nki),并取q(m):=minqi(m);

加(或修正)指針到minqi(m)的連接符上.IFM(nji,SOLVED)THENM(m,SOLVED);（j=1，2，…，k）若該連接符的所有子節(jié)點都是能解的,則m也能解.12IFM(m,SOLVED)(q(m)q0(m))THENADD(ma,S);m能解或修正的耗散值與原先估算q0不同,則把m的所有先輩節(jié)點ma添加到S中.（能解或修正向上傳遞）13end(與8匹配)14

end(與2匹配)兩個過程的重復:自上而下的圖生長過程（4-6步）:先通過有標記的連接符，找到目前為止最好的一個局部解圖，然后對其中一個非終節(jié)點進行擴展，并對其后繼節(jié)點賦估計耗散值和加能解標記.自下而上的估價函數(shù)值的修正、連接符的標記和SOLVED的標注過程(7-12):耗散值的修正從剛被擴展的節(jié)點n開始，其修正耗散值q(n)取所有估計值中最小的一個，然后根據(jù)耗散值遞歸計算公式逐級向上修正其先輩節(jié)點的耗散值.只有下層節(jié)點耗散值修正后，才可能影響到上一層節(jié)點的耗散值，如此一直修正到初始節(jié)點.AO*搜索算法過程分析例:各節(jié)點啟發(fā)值如圖，k-連接符的耗散值=k,求最佳解圖.

應用AO*算法，經(jīng)四個循環(huán)，可找到解圖.

在第一次循環(huán)擴展節(jié)點n0；然后,依次擴展節(jié)點n1、n5、n4。在節(jié)點n4被擴展之后，節(jié)點n0便被標注SOLVED，此時，通過向下跟蹤有標記的連接符，便獲得了解圖.

主要步驟第4步(G’)第5步(n)第6步第7步(S)第11步第12步AO*搜索算法的過程第1循環(huán)(n0)(n0)(n1,n5,n4)(n0)比較,選n0→n1;n1不可解;無第2循環(huán)n0→n1(n1)(n2,n3)(n1)1)比較,選n1→n3;n3不可解;2)比較,改n0→n5,n4;n5,n4不可解;n0不可解,值變;1)加n0→S;2)無前輩;第3循環(huán)n0→n5,n4(n5)(n6,n7,n8)(n5)1)比較,選n5→n7,n8;n7,n8可解,n5可解;2)n0不可解,值變;1)加n0→S;2)無;第4循環(huán)n0→n5,n4;(n4)(n5,n8)(n4)1)比較,選n4→n8;n8可解,n4可解;2)n4,n5可解;n0可解,值不變;1)加n0→S;2)無;n0n1n4n52113446542002×5n6n3n2n7n8★★★★★不帶括號的數(shù)是啟發(fā)函數(shù)h(n)值,帶括號數(shù)是估價函數(shù)q（n）的修正值；短箭頭用來標記連接符，標明侯選局部解圖；已經(jīng)標注SOLVED的節(jié)點用黑心圓來表示。

討論當節(jié)點n無后繼節(jié)點?在第11步中對m(n)賦一個高的q值(會傳遞到s),從而排除了含有n的子圖被當作候選局部解圖的可能性.在G’中存在多個非終節(jié)點時,選擇什么樣的節(jié)點先擴展?一般選擇最能導致該局部解圖耗散值發(fā)生較大變化的節(jié)點先進行擴展,可促使及時修改局部解圖的標記.同A算法類似,若s→N存在解圖,當h(n)≤h*(n)且h(n)滿足單調(diào)限制條件時(對n到其子節(jié)點的每一連接符均需要滿足),則AO*一定能找到最佳解圖.與A*算法的區(qū)別評價函數(shù)只考慮h(n):

理由:算法有自下而上的修正費用的的操作,實際上局部解圖費用值的估計是在起始節(jié)點S比較,計算g既無必要也不可能.不能優(yōu)先擴展具有最小費用的節(jié)點:理由:K-連接符連接的有關(guān)子節(jié)點對父節(jié)點的可解性及費用值的估計都會產(chǎn)生影響.僅適用于無環(huán)圖,否則耗散值遞歸計算不收斂:方法:當新生成的節(jié)點已在圖中時,判斷是否為正被擴展節(jié)點的先輩節(jié)點.控制策略不同:沒有OPEN表和CLOSED表,只用生成的解圖結(jié)構(gòu)G,h(n)是最佳解圖的費用估計.

5博弈樹的搜索問題:二人完備博弈：1．由二人對壘，輪流走步，自己的走步自己選擇2．信息完備:任何一方都完全知道對方過去的走步情況和今后可能的走步，不包括碰運氣的情況表示方法:利用與或圖表示來描述博弈問題.理由:由于在博弈中,決定自己走步時只需考慮對自己有利的一步——或，而考察對方時，則應考慮對方所有可能的走步——與.求解方法:特殊的與或圖搜索算法——博弈樹搜索.理由:由于兩人嚴格地輪流走步，使博弈狀態(tài)圖呈現(xiàn)出嚴格的與或圖的交替層次.1)Grundy博弈

例：假設(shè)桌上放有一堆（7個）錢幣，由兩人輪流進行分堆，要求每人每次只把其中某堆錢幣分成數(shù)目不相等的兩小堆，最后不能分下去的人被判負.綜合數(shù)據(jù)庫：（x1，x2，…，xn，M）表示某個選手走步的狀態(tài).其中,x1，x2，…，xn表示n堆錢幣不同的個數(shù)，M代表選手(MIN或MAX).規(guī)則：控制策略:博弈雙方總是偏向最有利于自己的狀態(tài)前進，己方會盡力將贏的幾率最大化,而使對手方偏離取勝目標.(5,1,1,MIN)(6,1,MAX)(5,2,MAX)(4,3,MAX)(3,2,2,MIN)(4,2,1,MIN)(7,MIN)(3,3,1,MIN)(4,1,1,1,MAX)(3,2,1,1,MAX)(2,2,2,1,MAX)(2,1,1,1,1,MAX)(3,1,1,1,1,MIN)(2,2,1,1,1,MIN)ABC搜索策略分析（以MAX方的角度）對MAX節(jié)點(MIN控制)，MAX必須都能夠獲勝，即MAX必須考慮應付MIN的所有招法，故它為與節(jié)點.對MIN節(jié)點(MAX控制)，MAX只需證明有一步能走贏就可以，即MAX只要考慮有一步棋使MIN無法招架就成，故它為或節(jié)點.因此,對弈過程的搜索圖就呈現(xiàn)出與或圖表示的形式，從圖可見，MAX方存在完全取勝的策略.于是,尋找MAX方取勝的策略便和求與或圖的解圖(能解→能勝)一致起來，即MAX要獲勝，在各層必須對所有與節(jié)點取勝，但只需對一個或節(jié)點取勝.2)博弈樹的極大極小搜索法思想：預先考慮雙方對弈若干步之后的局勢，從當前侯選的走步中選一個相對好的走步來走，即在有限搜索深度范圍內(nèi)進行求解.方法：定義一個評價函數(shù)f，以便對棋局的勢態(tài)（節(jié)點）作出優(yōu)劣估值.一般規(guī)定:有利于MAX(我)的勢態(tài)，f(n)取正值;有利于MIN(敵)的勢態(tài)，f(n)取負值;勢均力敵，f(n):=0.若f(n):=，表示MAX方獲勝;若f(n):=-，表示MIN方獲勝.選步的過程:假定開始由MAX選擇走一步棋，如何選擇一步好棋？首先，對給定的格局MAX給出可能的走法，接著,MIN對MAX的每一步走法，又給出可能的走法，這樣進行若干次（規(guī)定深度），得到一組端節(jié)點.此時,計算每個端節(jié)點相應的靜態(tài)函數(shù)值;然后由底向上逐級計算倒推估值，在MIN處(與節(jié)點)取其下層估值中最小者，在MAX處(或節(jié)點)取其下層估值最大者。一直到MAX的開始棋局，取其下層估值中最大的格局作為要走的第一步.當用端節(jié)點的靜態(tài)估計函數(shù)值求倒推值時，針對兩位選手的控制力應采用不同的策略，從下往上逐層交替使用極大和極小的選值方法，故稱為極大極小過程.ＡＢＣＳＤＥＦＧＨＩＪ9-600-2-4-3-6-2-4-2MAX取極大值MIN取極小值端節(jié)點例.向前看兩步時f(n)的求值過程極大極小過程MIN-MAX：1.T:=(s,MAX)，OPEN:=(s)，CLOSED:=();開始時樹由初始節(jié)點構(gòu)成，OPEN表只含有s.2.LOOP1:IFOPEN=()THENGOLOOP2;3.n:=FIRST(OPEN)，REMOVE(n,OPEN)，ADD(n,CLOSED);將n放到CLOSED表的前面，使第5步操作時深度大的節(jié)點優(yōu)先被取出.(OPEN表先進先出,CLOSED表后進先出)4.IFn可直接判定為贏,輸或平局THENf(n):=-0，GOLOOP1ELSEEXPAND(n){ni}，ADD({ni}，T)IFd{ni}kTHENADD({ni},OPEN),GOLOOP1ELSE計算f(ni)GOLOOP1;ni達到深度k,計算端節(jié)點f值.5.LOOP2：IFCLOSED=NIL,THENGOLOOP3ELSEnd=FIRST(CLOSED);6.IF(nd

MAX)(f(nciMIN)有值)THENf(nd):=max{f(nci)},REMOVE(nd，CLOSED);若MAX所有子節(jié)點均有值,則該MAX取其極大值.ELSEIF(nd

MIN)(f(nciMAX)有值)THENf(nd):=min{f(nci)},REMOVE(nd，CLOSED);若MIN所有子節(jié)點均有值，則該MIN取其極小值.7.GOLOOP2;8.LOOP3:IFf(s)≠NILTHENEXIT(ENDM(Move,T));s有值,或則結(jié)束或標記走步.例：在九宮格棋盤上，甲乙（MAX和MIN）二人輪流在空格中放入自己的棋子（一次一枚），誰先使自己的三子成一線就獲勝，設(shè)甲先走用（）表示，乙用（）表示，p表示某種格局，f(p)表示對格局的評價值。贏線定義:將棋盤的整行、整列或整條對角線稱為贏線。如,一條贏線上只有（或）方的棋子或為空，而沒有對方的棋子，那么這條贏線就稱為（或）方的贏線。f(p)定義：1）MAX勝，f(p)=+

2）MIN勝，f(p)=-

3）若p不是可定勝負的格局，則f(p)=fMAX(p)-fMIN(p)考慮走兩步的搜索過程,并兼顧棋盤對稱性條件第一次調(diào)用算法產(chǎn)生的搜索樹如下圖所示，圖中端節(jié)點下面是計算的f(p)值，非端節(jié)點的倒推值標記在圓圈內(nèi).結(jié)論:第1步的最好走法是把棋子下到中央位置.(為了使初始節(jié)點具有最大的倒推值)fMAX(p)=4fMIN(p)=6f(p)=4-6=-2一字棋第1階段的搜索樹√√√√√√√√√√√√√√√√

一字棋第2階段的搜索樹

√√一字棋第3階段的搜索樹

3)-搜索過程極大極小搜索缺陷:把生成樹和棋局估值兩個過程完全分離，即先生成全部的搜索樹，然后再進行端節(jié)點估值和倒推值計算，這導致效率降低.例:一個MIN節(jié)點要全部生成A、B、C、D節(jié)點，然后逐個計算其靜態(tài)估值，最后在求倒推值階段，才賦給這個MIN節(jié)點的倒推值-.如何改進?改進思路:若兩個過程同時進行，再依一定的條件判斷，有可能盡早剪掉一些無用的分支，那么就可能減少搜索量，這是-搜索的思想.例：生成節(jié)點A后，馬上進行靜態(tài)估值，得知f（A）=-后，便可斷定再生成其余節(jié)點并進行估值計算是多余的，故可馬上對MIN節(jié)點賦倒推值-，不會影響MAX的最好優(yōu)先走步的選擇.實現(xiàn)方法:采用有界深度優(yōu)先策略進行搜索，這樣當生成達到規(guī)定深度的節(jié)點時，就立即計算其靜態(tài)估值函數(shù)，而一旦某個非端節(jié)點有條件確定其倒推值時就立即計算賦值.一字棋第1階段-剪枝方法1-6→f(1)=-1→初始S,f(S)>=-1,此時該MAX層下界值=-1;7-8→f(7)<=-1,此時該MIN層上界值

=-1≥,節(jié)點7的其他子節(jié)點不必再生成，因S的極大值不可能比這個值還小，再生成是多余的，故可剪枝.在搜索過程中,通過記錄并比較倒推值的上、下界并進行比較，就可以實現(xiàn)修剪操作，這種技術(shù)統(tǒng)稱為-剪枝技術(shù).在實際修剪中，、的值可以隨時修正，但滿足如下條件：極大值層的倒推值下界值永不下降，實際的倒推值取其后繼節(jié)點最終確定的倒推值中最大的一個倒推值.極小值層的倒推值上界值永不上升，其倒推值取其后繼節(jié)點最終確定的倒推值中最小的一個倒推值.在一個分支上進行-剪枝的判斷規(guī)則：剪枝：若任一極小值層節(jié)點的值小于或等于它任一先輩極大值層節(jié)點的值，即（先輩層）≥（后繼層），則可終止該MIN層中這個MIN節(jié)點以下的搜索，并設(shè)置這個MIN節(jié)點的最終的倒推值為.(位置：MIN層的剪枝)剪枝：若任一極大值層節(jié)點的值大于或等于它任一先輩極小值層節(jié)點的值，即（后繼層）≥（先輩層），則可終止該MAX層中這個MAX節(jié)點以下的搜索，并設(shè)置這個MAX節(jié)點的最終倒推值為.(位置：MAX層的剪枝)-過程：保存和值，且滿足條件時便進行剪枝，當初始節(jié)點的全部后繼節(jié)點的最終倒推值都給出時，過程即結(jié)束，而最好的優(yōu)先走步就是走向具有最高倒推值的那個后繼節(jié)點.比較是在極大值層節(jié)點和極小值層節(jié)點間進行的(非直系).比較時是與先輩層節(jié)點(已經(jīng)有了值的那些節(jié)點),不僅限于父輩.只有一個節(jié)點的值固定以后,其值才能夠向其父節(jié)點傳遞.-剪枝搜索得到的最佳走步與極大極小方法得到的結(jié)果一致,但效率會提高.生成搜索圖和剪枝過程同時進行.注意幾個問題:⑴0≤0(2)(3)5(4)=0(