高中數(shù)學(xué)人教A版1直線與圓的位置關(guān)系 學(xué)業(yè)分層測評(píng)7

學(xué)業(yè)分層測評(píng)(七)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．如圖2-2-13，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于()圖2-2-13A．120° B．136°C．144° D．150°【解析】設(shè)∠BCD＝3x，∠ECD＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，即∠BCD＝108°，∠ECD＝72°，∴∠BAD＝72°，∴∠BOD＝2∠BAD＝144°.【答案】C2．如圖2-2-14，在⊙O中，弦AB的長等于半徑，∠DAE＝80°，則∠ACD的度數(shù)為()圖2-2-14A．30° B．45°C．50° D．60°【解析】連接OA，OB，∵∠BCD＝∠DAE＝80°，∠AOB＝60°，∴∠BCA＝eq\f(1,2)∠AOB＝30°，∴∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝80°－30°＝50°.【答案】C3．圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不對(duì)【解析】由四邊形ABCD內(nèi)接于圓，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，從而只有B符合題意．【答案】B4．如圖2-2-15，四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AC為BD的垂直平分線，∠ACB＝60°，AB＝a，則CD等于()圖2-2-15\f(\r(3),3)a \f(\r(6),2)a\f(1,2)a \f(1,3)a【解析】∵AC為BD的垂直平分線，∴AB＝AD＝a，AC⊥BD.∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝60°，∴AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠CDB＝30°，∴∠ADC＝90°，∴CD＝tan30°·AD＝eq\f(\r(3),3)a.【答案】A5．如圖2-2-16所示，圓內(nèi)接四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD，BC的延長線相交于點(diǎn)P，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)Q，則圖中共有相似三角形的對(duì)數(shù)為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07370035】圖2-2-16A．4 B．3C．2 D．1【解析】利用圓周角和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理，可得△PCD∽△PAB，△QCD∽△QBA，△AQD∽△BQC，△PAC∽△PBD.因此共4對(duì)．【答案】A二、填空題6．如圖2-2-17，以AB＝4為直徑的圓與△ABC的兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，∠ACB＝60°，則EF＝________.圖2-2-17【解析】如圖，連接AE.∵AB為圓的直徑，∴∠AEB＝∠AEC＝90°.∵∠ACB＝60°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝eq\f(1,2)AC.∵∠C＝∠C，∠CFE＝∠B，∴△CFE∽△CBA，∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(CE,AC)，∵AB＝4，CE＝eq\f(1,2)AC，∴EF＝2.【答案】27．四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC是直徑，＝40°，則∠D＝__________.【解析】如圖，連接AC.∵＝40°.BC是⊙O的直徑，∴∠ACB＝20°，∠BAC＝90°，∴∠B＝180°－∠BAC－∠ACB＝70°，∴∠D＝180°－∠B＝110°.【答案】110°8．如圖2-2-18，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點(diǎn)P，若eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2)，eq\f(PC,PD)＝eq\f(1,3)，則eq\f(BC,AD)的值為________．圖2-2-18【解析】由于∠PBC＝∠PDA，∠P＝∠P，則△PAD∽△PCB，∴eq\f(PC,PA)＝eq\f(PB,PD)＝eq\f(BC,AD).又eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2)，eq\f(PC,PD)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(PB,PA)×eq\f(PC,PD)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)，∴eq\f(PC,PA)×eq\f(PB,PD)＝eq\f(1,6)，∴eq\f(BC,AD)×eq\f(BC,AD)＝eq\f(1,6)，∴eq\f(BC,AD)＝eq\f(\r(6),6).【答案】eq\f(\r(6),6)三、解答題9．如圖2-2-19，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點(diǎn)，且EC＝ED.圖2-2-19(1)證明：CD∥AB；(2)延長CD到F，延長DC到G，使得EF＝EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．【證明】(1)因?yàn)镋C＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，所以∠EDC＝∠EBA，故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥A B.(2)由(1)知，AE＝BE，∠EDF＝∠ECG，因?yàn)镋F＝EG，故∠EFD＝∠EGC，從而∠FED＝∠GEC.連接AF，BG，則△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA，所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．10．如圖2-2-20，已知P為正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，通過P作正方形的邊的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G，H.你能判斷出E，F(xiàn)，G，H是否在同一個(gè)圓上嗎？試說明你的猜想．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07370036】圖2-2-20【解】猜想：E，F(xiàn)，G，H四個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為圓心的圓上．證明如下：如圖，連接OE，OF，OG，OH.在△OBE，△OBF，△OCG，△OAH中，OB＝OC＝OA.∵PEBF為正方形，∴BE＝BF＝CG＝AH，∠OBE＝∠OBF＝∠OCG＝∠OAH＝45°.∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH.∴OE＝OF＝OG＝OH.由圓的定義可知：E，F(xiàn)，G，H在以O(shè)為圓心的圓上．[能力提升]1．已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，下列結(jié)論中正確的有()①如果∠A＝∠C，則∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，則四邊形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角與∠C的外角互補(bǔ)；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4.A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【解析】由“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”可知：①相等且互補(bǔ)的兩角必為直角；②兩相等鄰角的對(duì)角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互補(bǔ)兩內(nèi)角的外角也互補(bǔ)；④兩組對(duì)角之和的份額必須相等(這里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正確，②④錯(cuò)誤．【答案】B2．如圖2-2-21，以△ABC的一邊AB為直徑的圓交AC邊于D，交BC邊于E，連接DE，BD與AE交于點(diǎn)F.則sin∠CAE的值為()圖2-2-21\f(DF,AD) \f(CD,AC)\f(EF,AF) \f(DE,AB)【解析】根據(jù)圓周角定理，易得∠AEB＝90°，進(jìn)而可得∠AEC＝90°.在Rt△AEC中，由銳角三角函數(shù)的定義，可得sin∠CAE＝eq\f(CE,AC)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠CED＝∠CAB，∠CDE＝∠CBA，可得△CDE∽△CBA，則有eq\f(CE,AC)＝eq\f(DE,AB)，故有sin∠CAE＝eq\f(DE,AB).【答案】D3．如圖2-2-22，AB＝10cm，BC＝8cm，CD平分∠ACB，則AC＝__________，BD＝__________.圖2-2-22【解析】∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝6.又∵CD平分∠ACB，即∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD，∴BD＝eq\r(\f(AB2,2))＝5eq\r(2).【答案】65eq\r(2)4.如圖2-2-23，銳角△ABC的內(nèi)心為I，過點(diǎn)A作直線BI的垂線，垂足為H，點(diǎn)E為內(nèi)切圓I與邊CA的切點(diǎn)．圖2-2-23(1)求證：四點(diǎn)A，I，H，E共圓；(2)若∠C＝50°，求∠IEH的度數(shù)．【解】(1)證明：由圓I與邊AC相切于點(diǎn)E，得IE⊥AE，結(jié)合IH⊥AH，得∠AEI＝∠AHI＝90°.所以四點(diǎn)A，I，H，E共圓．(2)由(1)知四點(diǎn)A，I，H，E共圓，得∠IEH＝∠HAI.在