2021-2022學年河北省唐山市南觀鄉(xiāng)中學高三數(shù)學文測試題含解析

2021-2022學年河北省唐山市南觀鄉(xiāng)中學高三數(shù)學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)y＝的定義域為()A．(－4，－1)

B．(－4,1)C．(－1,1)

D．(－1,1參考答案：C2.一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為m3．參考答案：【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是圓柱與兩個圓錐的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是底面相同的圓柱與兩個圓錐的組合體，且圓柱底面圓的半徑為1，高為2，圓錐底面圓的半徑為1，高為1；∴該幾何體的體積為V幾何體=2×π?12×1+π?12?2=π．故答案為：π．【點評】本題考查了利用空間幾何體的三視圖求體積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．3.已知雙曲線：（）的上焦點為（），是雙曲線下支上的一點，線段與圓相切于點，且，則雙曲線的漸進線方程為（

）A． B． C． D．參考答案：D試題分析：設(shè)下焦點為，圓的圓心為，易知圓的半徑為，易知，又，所以，且，又，所以，則，設(shè)，由得考點：直線與圓的位置關(guān)系，雙曲線的幾何性質(zhì)．【名師點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出之間的關(guān)系．解決解析幾何問題還能純粹地進行代數(shù)計算，那樣做計算量很大，事倍功半，事倍功半，而是借助幾何性質(zhì)進行簡化計算．本題中直線與圓相切于，且，通過引入另一焦點，圓心，從而得出，，這樣易于求得點坐標（用表示），代入雙曲線方程化簡后易得結(jié)論．4.已知A，B，C，D，E是函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜一個周期內(nèi)的圖象上的五個點，如圖所示，，B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關(guān)于點E對稱，在x軸上的投影為，則ω，φ的值為（）A．ω=2，φ= B．ω=2，φ= C．ω=，φ= D．ω=，φ=參考答案：B【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】通過函數(shù)的圖象，結(jié)合已知條件求出函數(shù)的周期，推出ω，利用A的坐標求出?的值即可．【解答】解：因為A，B，C，D，E是函數(shù)y=sin（ωx+?）（ω＞0，0＜?＜一個周期內(nèi)的圖象上的五個點，如圖所示，，B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關(guān)于點E對稱，在x軸上的投影為，所以T=4×（）=π，所以ω=2，因為，所以0=sin（﹣+?），0＜?＜，?=．故選B．5.設(shè)集合，，則A∩B=（

）A.{1,2} B.{2,3} C.{1,3} D.{1,2,3}參考答案：B【分析】化簡集合B，根據(jù)交集運算求解即可.【詳解】由可得，所以，，故選B.【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，屬于容易題.6.圓（為參數(shù)）被直線截得的劣弧長為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A試題分析：圓的標準方程為，圓心到直線的距離為1，故圓心角為，故劣弧長為考點：直線與圓的位置關(guān)系、弧長公式7.已知圓截直線所得弦長為6，則實數(shù)的值為（

）A．8

B．11

C．14

D．17參考答案：B圓，圓心，半徑．故弦心距．再由弦長公式可得；故選B．考點：直線與圓的位置關(guān)系．8.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)單調(diào)遞增的函數(shù)是()A．y＝x3

B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1

D．y＝2－|x|參考答案：B9.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若、的圖象都經(jīng)過點，則的值可以是A． B． C． D． 參考答案：B10.已知集合M＝{x∈Z|－3<x<0}，N＝{x∈Z|－1≤x≤1}，則圖1中陰影部分表示的集合為

(

)A．{－2}

B．{－2，－1}C．{－2，－1,0}

D．{－2，－1,0,1}參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在正三棱錐中，，，則此三棱錐的外接球的表面積為

．

參考答案：略12.若直線經(jīng)過原點，且與直線的夾角為300，則直線方程為___________參考答案：略13.在中，，則的面積為_________．參考答案：試題分析：∵，∴，即．∴．所以答案應(yīng)填：．考點：正弦定理．14.在極坐標系（）中，直線被圓截得的弦的長是

．參考答案：15.已知奇函數(shù)的導函數(shù)的部分圖象如圖所示，是最高點，且是邊長為1的正三角形，那么______．參考答案：【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出，根據(jù)是邊長為1的正三角形求出和，可得函數(shù)的解析式，從而求得的值．【詳解】由奇函數(shù)的導函數(shù)的部分圖象可知，．是最高點，且是邊長為1的正三角形，∴，∴，，故，那么，故答案為．【點睛】本題主要考查由函數(shù)部分圖象求解析式，函數(shù)的奇偶性，正三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

16.焦點在x軸上，短軸長等于16，離心率等于的橢圓的標準方程為________．參考答案：【分析】由短軸長等于16可得，聯(lián)立離心率及即可求得，問題得解?！驹斀狻坑深}可得：，解得：又，解得：所以所求橢圓的標準方程為.【點睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。17.（5分）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=4，a3=9，an=an﹣1+an﹣2﹣an﹣3（n=4，5，…），則a2015=．參考答案：8057【考點】：數(shù)列遞推式．【專題】：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法．【分析】：由數(shù)列遞推式得到an+1=an+an﹣1﹣an﹣2，進一步得到an+1+an﹣3=2an﹣1，說明數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項均構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式求得a2015．解：由an=an﹣1+an﹣2﹣an﹣3，得an+1=an+an﹣1﹣an﹣2，兩式作和得：an+1=2an﹣1﹣an﹣3．即an+1+an﹣3=2an﹣1（n=4，5，…）．∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項均構(gòu)成等差數(shù)列，∵a1=1，a3=9，∴奇數(shù)項公差為8．則a2015=a1+8（1008﹣1）=1+8×1006=8057．故答案為：8057．【點評】：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，是中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為，以O(shè)為極點，軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ.（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程及直線的普通方程；（Ⅱ）將曲線C上的所有點的橫坐標縮短為原來的，再將所得曲線向左平移1個單位，得到曲線C1，求曲線C1上的點到直線的距離的最小值.參考答案：（Ⅰ）曲線C的直角坐標方程為：

即：直線的普通方程為

4分（2）將曲線C上的所有點的橫坐標縮為原來的，得

即再將所得曲線向左平移1個單位，得：又曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)曲線上任一點則（其中）點到直線的距離的最小值為.19.已知a＞0，函數(shù)f（x）=a2x3﹣3ax2+2，g（x）=﹣3ax+3．（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的圖象在點x=1處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的極值；（3）若?x0∈（0，]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）由導數(shù)值即曲線上過該點的切線的斜率求出斜率，后由點斜式寫出切線方程；（2）求出原函數(shù)的導函數(shù)，求出導函數(shù)的兩個零點，由零點對定義域分段，得到在各區(qū)間段內(nèi)導函數(shù)的符號，判斷出原函數(shù)的單調(diào)性，從而求出原函數(shù)在[﹣1，1]上的極值點，進一步求得函數(shù)的極值．（3）設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x），求導，由F（x）為增函數(shù)，根據(jù)閉區(qū)間x的范圍，求出F（x）的最大值，只要F（x）max＞0即可，列出不等式求得a的范圍．【解答】解：由f（x）=a2x3﹣3ax2+2，求導，f′（x）=3a2x2﹣6ax，（Ⅰ）當a=1時，f′（x）=3x2﹣6x，f′（1）=﹣3，f（1）=0，∴f（x）在點（1，f（1））的切線方程的斜率k=﹣3，直線方程y=﹣3（x﹣1），即y+3x﹣3=0，函數(shù)f（x）的圖象在點x=1處的切線方程y+3x﹣3=0；（Ⅱ）令f′（x）=0，得：x1=0，x2=，（1）當0＜＜1，即a＞2時，x∈（﹣∞，0），（，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈（0，）時f′（x）＜0，∴當x在區(qū)間（﹣1，1）上，x，f′（x），f（x）變化，x（﹣1，0）0（0，）（，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑極大值↓極小值↑∴函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上有極大值f（0）=2，極小值f（）=；當=1，即a=2時，x∈（﹣∞，0），（1，+∞）時，f′（x）＞0，x∈（0，1）時f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上有極大值f（0）=2，極小值f（1）=a2﹣3a+2；當＜1，即0＜a＜2時，x∈（﹣∞，0），（，+∞）時f′（x）＞0，x∈（0，）時f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上有極大值f（0）=2．綜上，當a＞2時，函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上有極大值f（0）=2，極小值f（）=；當a=2時，函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上有極大值f（0）=2，極小值f（1）=a2﹣3a+2；當0＜a＜2時，函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上有極大值f（0）=2；（3）設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x）=a2x3﹣3ax2+3ax﹣1，（x∈（0，]），對F（x）求導，得F′（x）=3a2x2﹣6ax+3a=3a2x2+3a（1﹣2x）＞0（a＞0），∴F（x）在（0，]上為增函數(shù)，則F（x）max=F（）．依題意，只需F（x）max＞0，即a2×﹣3a×+3a×﹣1＞0，∴a2+6a﹣8＞0，解得a＞﹣3+或a＜﹣3﹣（舍去）．于是，所求實數(shù)a的取值范圍是（﹣3+，+∞）．20.某大學舉辦“我愛記歌詞”校園歌手大賽，經(jīng)過層層選拔，有5人進入決賽。決賽辦法如下：選手先參加“千首電腦選歌”演唱測試，測試過關(guān)者即被授予“校園歌手”稱號，否則參加“百首電腦選歌”演唱測試。若“百首電腦選歌”演唱測試過關(guān)也被授予“校園歌手”稱號，否則被徹底淘汰。若進入決賽的5人“千首電腦選歌”演唱測試過關(guān)的概率是0.5，“百首電腦選歌”演唱測試合格的概率是0.8，而且每個人每輪測試是否合格是相互獨立的。試計算（結(jié)果精確到0.01）：

（1）恰好有兩人參加“百首電腦選歌”演唱的概率；

（2）平均有幾人參加“百首電腦選歌”演唱；

（3）至少一人被最終淘汰的概率。參考答案：（1）記A表示事件“恰好有兩人參加“百首電腦選歌”演唱”，則事件A等價于進入決賽的5人中，恰好有3人“千首電腦選歌”演唱測試過關(guān)，所以，因此恰好有兩人參加“百首電腦選歌”演唱的概率是0.31。（2）設(shè)參加“百首電腦選歌”演唱的人數(shù)為，依題意=0，1，2，3，4，5。表示進入決賽的5人“千首電腦選歌”演唱測試過關(guān)人，未過關(guān)人，其中=0，1，2，3，4，5。由已知，從而的數(shù)學期望是＝，即平均有2.50人參加“百首電腦選歌”演唱。（3）記B表示事件“至少一人被最終淘汰”，則表示事件“5人都被授予“校園歌手”稱號”，包括參加“千首電腦選歌”演唱測試過關(guān)者和參加“千首電腦選歌”演唱測試未過關(guān)者又參加“百首電腦選歌”演唱測試合格者”。因為每個人未被最終淘汰的概率為0.5+(1-0.5)×0.8=0.9，所以，故至少一人被最終淘汰的概率。21.（12分）如圖，設(shè)矩形ABCD（的周長為24，把它關(guān)于AC折起來，AB折過去后，交DC于點P.設(shè)AB=，求的最大面積及相應(yīng)的值.參考答案：解析：解法一：因為，所以.又，由勾股定理得，整理得.

…………4分因此的面積.

……………6分..

……………8分當且僅當時，即時，S有最大值.答：當時，的面積有最大值.

………