高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明單元測試 一等獎(jiǎng)

選修2-2第二章2.一、選擇題1．用反證法證明命題“如果a>b>0，那么a2>b2”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510585)()A．a(chǎn)2＝b2 B．a(chǎn)2<b2C．a(chǎn)2≤b2 D．a(chǎn)2<b2，且a2＝b2[答案]C2．用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)中正確的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510586)()A．假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)B．假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)偶數(shù)D．假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)是偶數(shù)[答案]B[解析]“至少有一個(gè)”的對(duì)立面是“一個(gè)都沒有”．3．實(shí)數(shù)a、b、c不全為0等價(jià)于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510587)()A．a(chǎn)、b、c均不為0B．a(chǎn)、b、c中至多有一個(gè)為0C．a(chǎn)、b、c中至少有一個(gè)為0D．a(chǎn)、b、c中至少有一個(gè)不為0[答案]D[解析]“不全為0”的含義是至少有一個(gè)不為0，其否定應(yīng)為“全為04．下列命題錯(cuò)誤的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510588)()A．三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°B．四面體的三組對(duì)棱都是異面直線C．閉區(qū)間[a，b]上的單調(diào)函數(shù)f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)D．設(shè)a，b∈Z，若a，b中至少有一個(gè)為奇數(shù)，則a＋b是奇數(shù)[答案]D[解析]a＋b為奇數(shù)?a，b中有一個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為偶數(shù)．故D錯(cuò)誤．5．設(shè)a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR>0”是P、Q、R同時(shí)大于零的eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510589)()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件[答案]C[解析]若P>0，Q>0，R>0，則必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因?yàn)楫?dāng)PQR>0時(shí)，若P、Q、R不同時(shí)大于零，則P、Q、R中必有兩個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)P<0，Q<0，R>0，即a＋b<c，b＋c<a，兩式相加得b<0，這與已知b∈R＋矛盾，因此必有P>0，Q>0，R>0.6．若m、n∈N*，則“a>b”是“am＋n＋bm＋n>anbm＋ambn”的eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510590)()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]D[解析]am＋n＋bm＋n－anbm－ambn＝an(am－bm)＋bn(bm－am)＝(am－bm)(an－bn)>0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am>bm,an>bn))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am<bm,an<bn))，不難看出a>b?/am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm，am＋n＋bm＋n>ambn＋bman?/a>b.二、填空題7．“x＝0且y＝0”的否定形式為\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510591)[答案]x≠0或y≠0[解析]“p且q”的否定形式為“?p或?q”．8．和兩條異面直線AB、CD都相交的兩條直線AC、BD的位置關(guān)系是\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510592)[答案]異面[解析]假設(shè)AC與BD共面于平面α，則A，C，B，D都在平面α內(nèi)，∴AB?α，CD?α，這與AB，CD異面相矛盾，故AC與BD異面．9．在空間中有下列命題：①空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則這四點(diǎn)必共面；②空間四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)不共線，則這四點(diǎn)不共面；③垂直于同一直線的兩直線平行；④兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．其中真命題是\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510593)[答案]①[解析]四點(diǎn)中若有三點(diǎn)共線，則這條直線與另外一點(diǎn)必在同一平面內(nèi)，故①真；四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線，這四點(diǎn)也可以共面，如正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，故②假；正方體交于同一頂點(diǎn)的三條棱所在直線中，一條與另兩條都垂直，故③假；空間四邊形ABCD中，可以有AB＝CD，AD＝BC，例如將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折起構(gòu)成空間四邊形，這時(shí)它的兩組對(duì)邊仍保持相等，故④假．三、解答題10．(2023·吉林高二檢測)已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510594)[解析]假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)，因?yàn)閍＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，這與已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．一、選擇題1．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510595)()A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線[答案]C[解析]假設(shè)c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線．故應(yīng)選C.2．已知a、b、c∈(0,1)．則在(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a中，eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510596)()A．不能同時(shí)大于eq\f(1,4) B．都大于eq\f(1,4)C．至少一個(gè)大于eq\f(1,4) D．至多有一個(gè)大于eq\f(1,4)[答案]A[解析]證法1：假設(shè)(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于eq\f(1,4).∵a、b、c都是小于1的正數(shù)，∴1－a、1－b、1－c都是正數(shù).eq\f(1－a＋b,2)≥eq\r(1－ab)＞eq\r(\f(1,4))＝eq\f(1,2)，同理eq\f(1－b＋c,2)＞eq\f(1,2)，eq\f(1－c＋a,2)＞eq\f(1,2).三式相加，得eq\f(1－a＋b,2)＋eq\f(1－b＋c,2)＋eq\f(1－c＋a,2)＞eq\f(3,2)，即eq\f(3,2)＞eq\f(3,2)，矛盾．所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).證法2：假設(shè)三個(gè)式子同時(shí)大于eq\f(1,4)，即(1－a)b>eq\f(1,4)，(1－b)c>eq\f(1,4)，(1－c)a>eq\f(1,4)，三式相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3①因?yàn)?<a<1，所以0<a(1－a)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－a＋a,2)))2＝eq\f(1,4).同理，0<b(1－b)≤eq\f(1,4)，0<c(1－c)≤eq\f(1,4).所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3.②因?yàn)棰倥c②矛盾，所以假設(shè)不成立，故選A.二、填空題3．用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程歸納為以下三個(gè)步驟：eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510597)①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角；③假設(shè)∠A、∠B、∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°.正確順序的序號(hào)排列為____________．[答案]③①②[解析]由反證法證明的步驟知，先反設(shè)即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結(jié)論即②，即順序應(yīng)為③①②.4．(2023·鄭州高二檢測)設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是______(填序號(hào)).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510598)[答案]③[解析]對(duì)于①②④可舉反例，說明條件不能推出結(jié)論，如①中：a＝b＝eq\f(1,2)，②中：a＝b＝1，④中：a＝－1，b＝－2.對(duì)于③，反設(shè)a，b都小于等于1，則a＋b≤2與已知矛盾．∴假設(shè)不成立，故③正確．三、解答題5.如圖所示，在△ABC中，AB>AC，AD為BC邊上的高，AM是BC邊上的中線，求證：點(diǎn)M不在線段CD上.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510599)[證明]假設(shè)點(diǎn)M在線段CD上，則BD<BM＝CM<CD，且AB2＝BD2＋AD2，AC2＝AD2＋CD2，所以AB2＝BD2＋AD2<BM2＋AD2<CD2＋AD2＝AC2，即AB2<AC2，所以AB<AC.這與AB>AC矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤．所以點(diǎn)M不在線段CD上．6．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝eq\f(1,2)，eq\f(31＋an＋1,1－an)＝eq\f(21＋an,1－an＋1)，anan＋1<0(n≥1)；數(shù)列{bn}滿足：bn＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)(n≥1).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510600)(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；(2)證明：數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列．[解析](1)由題意可知，1－aeq\o\al(2,n＋1)＝eq\f(2,3)(1－aeq\o\al(2,n))．令cn＝1－aeq\o\al(2,n)，則cn＋1＝eq\f(2,3)cn.又c1＝1－aeq\o\al(2,1)＝eq\f(3,4)，則數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為c1＝eq\f(3,4)，公比為eq\f(2,3)的等比數(shù)列，即cn＝eq\f(3,4)·(eq\f(2,3))n－1，故1－aeq\o\al(2,n)＝eq\f(3,4)·(eq\f(2,3))n－1?aeq\o\al(2,n)＝1－eq\f(3,4)·(eq\f(2,3))n－1.又a1＝eq\f(1,2)>0，anan＋1<0，故an＝(－1)n－1eq\r(1－\f(3,4)·\f(2,3)n－1).bn＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝[1－eq\f(3,4)·(eq\f(2,3))n]－[1－eq\f(3,4)·(eq\f(2,3))n－1]＝eq\f(1,4)·(eq\f(2,3))n－1.(2)用反證法證明．假設(shè)數(shù)列{bn}存在三項(xiàng)br，bs，bt(r<s<t)按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為eq\f(1,