湖南省長沙市維新中學2021-2022學年高三數學文期末試題含解析

湖南省長沙市維新中學2021-2022學年高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數y=e|lnx|﹣|x﹣1|的圖象大致是(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點】對數的運算性質；函數的圖象與圖象變化．【分析】根據函數y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必過點（1，1），再對函數進行求導觀察其導數的符號進而知原函數的單調性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函數過點（1，1），當0＜x＜1時，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x為減函數；若當x＞1時，y=elnx﹣x+1=1，故選D．【點評】本題主要考查函數的求導與函數單調性的關系．2.已知具有線性相關的變量，設其樣本點為，回歸直線方程為，若，（為原點），則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B因為，所以，因此，選B.3.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側面的面積為（）

A．B． C．D．1參考答案：B【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱錐A﹣BCDE的高為1，四邊形BCDE是邊長為1的正方形，分別計算側面積，即可得出結論．【解答】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱錐A﹣BCDE的高為1，四邊形BCDE是邊長為1的正方形，則S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故選：B．【點評】本題考查三視圖與幾何體的關系，幾何體的側面積的求法，考查計算能力．4.已知函數則函數在[-1,1]上的單調增區(qū)間為A.

B.

C.

D.參考答案：A5.定義已知，，，則A．

B．

C．

D．不能確定參考答案：C略6.若三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，則球O的表面積為(

) A．64π B．16π C．12π D．4π參考答案：A考點：棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：計算題；空間位置關系與距離．分析：由三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC，∠ABC=90°，可得△ABC截球O所得的圓O′的半徑，利用SA⊥平面ABC，SA=2，此能求出球O的半徑，從而能求出球O的表面積．解答： 解：如圖，三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC=，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圓O′的半徑r=1，∵SA⊥平面ABC，SA=2∴球O的半徑R=4，∴球O的表面積S=4πR2=64π．故選：A．點評：本題考查球的表面積的求法，合理地作出圖形，數形結合求出球半徑，是解題的關鍵．7.若函數的圖象在處的切線與圓相切，則的最大值是（

）A.4

B.

C.2

D.參考答案：D略8.，，則與的大小關系為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D，因為，，所以，，所以，所以，選D.9.等差數列的前n項和為，已知，,則（

）（A）38

（B）20

（C）10

（D）9參考答案：C略10.已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其圖象與直線y=﹣1相鄰兩個交點的距離為π，若f（x）＞1對?x∈（﹣，）恒成立，則φ的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】H2：正弦函數的圖象．【分析】由題意可得函數的周期為=π，求得ω=2．再根據當x∈（﹣，）時，sin（2x+φ）＞0恒成立，2kπ＜2?（﹣）+φ＜2?+φ＜2kπ+π，由此求得φ的取值范圍．【解答】解：函數f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其圖象與直線y=﹣1相鄰兩個交點的距離為π，故函數的周期為=π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+φ）+1．若f（x）＞1對?x∈（﹣，）恒成立，即當x∈（﹣，）時，sin（2x+φ）＞0恒成立，故有2kπ＜2?（﹣）+φ＜2?+φ＜2kπ+π，求得2kπ+φ＜2kπ+，k∈Z，結合所給的選項，故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數f(x)=sin(ωx+)(ω＞0)與g（x）=sin（2x+θ）對稱軸完全相同，將f（x）圖象向右平移個單位得到h（x），則h（x）的解析式是

．參考答案：h（x）=﹣cos2x．【分析】由題意，函數與g（x）=sin（2x+θ）對稱軸完全相同，可知周期相同，可得ω=2．可得f（x）的解析式，再利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結論．【解答】解：由題意，函數與g（x）=sin（2x+θ）對稱軸完全相同，∴ω=2．∴f（x）的解析式為：f（x）=sin（2x+）．f（x）圖象向右平移個單位得到sin（2x﹣+）=﹣cos2x，∴h（x）=﹣cos2x，故答案為：h（x）=﹣cos2x．【點評】本題主要考查三角函數的性質和函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎題．12.已知函數圖象與直線的交點中，距離最近兩點間的距離為，那么此函數的周期是_______.參考答案：13.設，其中成公比為的等比數列，成公差為1的等差數列，則的最小值是

.參考答案：略14.已知向量，，若，則實數______;參考答案：215.若變量x,y滿足約束條件則x+y的最大值為___6___參考答案：616.某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為__________．參考答案：40【分析】畫出三視圖對應的幾何體，應用割補法求幾何體的體積.【詳解】在正方體中還原該幾何體，如圖所示幾何體的體積V=43-（2+4）×2×4=40

17.已知函數，對于任意且，均存在唯一的實數t，使得，且，若關于x的方程有4個不相等的實數根，則a的取值范圍是

．參考答案：(－6,－3).三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數（1）求的單調區(qū)間與極值；（2）若函數上是單調減函數，求實數的取值范圍.參考答案：（1）函數的定義域為

1

當時，，的增區(qū)間為，此時無極值；2

當時，令，得或（舍去）0

極大值

的增區(qū)間為，減區(qū)間為有極大值為，無極小值；

................

4分3

當時，令，得（舍去）或0

極大值

的增區(qū)間為，減區(qū)間為有極大值為，無極小值；.............

6分（2）由（1）可知：①當時，在區(qū)間上為增函數，不合題意；②當時，的單調遞減區(qū)間為，依題意，得，得；③當時，的單調遞減區(qū)間為，依題意，得，得綜上，實數的取值范圍是.

.............

12分法二：①當時，，在區(qū)間上為增函數，不合題意；②當時，在區(qū)間上為減函數，只需在區(qū)間上恒成立.恒成立，

19.已知等比數列{an}的公比q=3，前3項和S3=．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）若函數f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在處取得最大值，且最大值為a3，求函數f（x）的解析式．參考答案：【考點】等比數列的通項公式；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】（Ⅰ）根據等比數列的前n項和的公式及q=3化簡S3=，得到關于首項的方程，求出方程的解得到首項的值，然后根據首項和公比即可寫出數列的通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的通項公式求出a3的值，即可得到A的值，然后把代入正弦函數中得到函數值等于1，根據φ的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出φ的值，把φ的值代入即可確定出f（x）的解析式．【解答】解：（Ⅰ）由q=3，S3=得：=，解得a1=，所以an=×3n﹣1=3n﹣2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an=3n﹣2，所以a3=3，因為函數f（x）的最大值為3，所以A=3；又因為當x=時，f（x）取得最大值，所以sin（2×+φ）=1，由0＜φ＜π，得到φ=．則函數f（x）的解析式為f（x）=3sin（2x+）．20.如圖，是圓的直徑，點在圓上，延長到使，過作圓的切線交于.若，，求的長.

參考答案：

是圓的直徑且，

，

連，為圓的切線，，記是圓的交點，連，

，

，21.（2017?長春三模）已知在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．曲線C1的極坐標方程為ρ=4cosθ，直線l：（為參數）．（1）求曲線C1的直角坐標方程及直線l的普通方程；（2）若曲線C2的參數方程為（α為參數），曲線P（x0，y0）上點P的極坐標為，Q為曲線C2上的動點，求PQ的中點M到直線l距離的最大值．參考答案：【考點】參數方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程．【分析】（1）利用三種方程的轉化方法，求曲線C1的直角坐標方程及直線l的普通方程；（2），直角坐標為（2，2），，利用點到直線l的距離公式能求出點M到直線l的最大距離．【解答】解：（1）由曲線C1的極坐標方程為ρ=4cosθ，得直角坐標方程，直線l：，消去參數，可得普通方程l：x+2y﹣3=0．（2），直角坐標為（2，2），，M到l的距離d==，從而最大值為．（10分）【點評】本小題主要考查極坐標系與參數方程的相關知識，具體涉及到極坐標方程與平面直角坐標方程的互化，參數方程的運用．22.已知函數f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．（1）討論f（x）的單調性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范圍．參考答案：【分析】（1）先求導，再分類討論，根據導數和函數的單調性即可判斷，（2）根據（1）的結論，分別求出函數的最小值，即可求出a的范圍．【解答】解：（1）f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x=e2x﹣exa﹣a2x，∴f′（x）=2e2x﹣aex﹣a2=（2ex+a）（ex﹣a），①當a=0時，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在R上單調遞增，②當a＞0時，ex﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，當x＜lna時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，當x＞lna時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，③當a＜0時，2ex+a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣），當x＜ln（﹣）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，當x＞ln（﹣）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，綜上所述，當a=0時，f（x）在R上單調遞增，當a＞0時，f（x）在（﹣∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，當a＜