2021-2022學(xué)年山西省忻州市蘭臺(tái)學(xué)校高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2021-2022學(xué)年山西省忻州市蘭臺(tái)學(xué)校高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.“命題為假命題”是“”的（

）A.充要條件

B.必要不充分條件C.充分不必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B2.△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a、b、c．若a=b，A=2B，則cosB=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用．【分析】通過(guò)正弦定理得出sinA和sinB的方程組，求出cosB的值．【解答】解：∵△ABC中，，∴根據(jù)正弦定理得∴故選B．3.設(shè)函數(shù)f′（x）是函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，則4f（x）＞f′（x）（）A．（，+∞） B．（，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】容易求出f′（0）=6，結(jié)合條件便可得出函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出導(dǎo)函數(shù)，代入4f（x）＞f′（x），根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)的運(yùn)算便可解出原方程．【解答】解：根據(jù)條件，3f（0）=3=f′（0）﹣3；∴f′（0）=6；∴f（x）=2e3x﹣1，f′（x）=6e3x；∴由4f（x）＞f′（x）得：4（2e3x﹣1）＞6e3x；整理得，e3x＞2；∴3x＞ln2；∴x＞；∴原不等式的解集為（，+∞）故選：B．4.在中，則（

）A、

B.

C.

D.參考答案：A試題分析：,選A.考點(diǎn)：余弦定理【名師點(diǎn)睛】1．選用正弦定理或余弦定理的原則在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息．2．(1)運(yùn)用余弦定理時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用．(2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角，求該三角形的其它邊角的問(wèn)題時(shí)，首先必須判斷是否有解，如果有解，是一解還是兩解，注意“大邊對(duì)大角”在判定中的應(yīng)用．5.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部為（

）．A． B． C． D．參考答案：D，∴虛部為，選．6.設(shè)A為圓上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且則P點(diǎn)的軌跡方程為（

）A.

B.C.

D.參考答案：B7.如圖，在平行四邊形中，O是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，N是線段OD的中點(diǎn)，AN的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)E，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A．

B．C．

D．

參考答案：D8.直線x+y+1=0的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°參考答案：D【考點(diǎn)】直線的傾斜角．【分析】設(shè)出直線的傾斜角，求出斜率，就是傾斜角的正切值，然后求出傾斜角．【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為α，由題意直線的斜率為，即tanα=所以α=150°故選D．9.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),y=f(x)的圖象如圖1所示,則導(dǎo)函數(shù)y=f￠(x)可能為（）參考答案：D10.曲線y=x3﹣2在點(diǎn)（1，﹣）處切線的斜率是（）A． B．1 C．﹣1 D．﹣參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將x換為1，計(jì)算即可得到切線的斜率．【解答】解：y=x3﹣2的導(dǎo)數(shù)為y′=x2，即有在點(diǎn)（1，﹣）處切線的斜率為k=1．故選B9．定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)是f′（x），若x?f′（x）+f（x）＜0，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．3f（2）＜2f（3） B．3f（2）＞2f（3） C．2f（2）＜3f（3） D．2f（2）＞3f（3）【答案】D【解析】【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求不等式．【解答】解：設(shè)g（x）=xf（x），則g′（x）=[xf（x）]′=xf′（x）+f（x）＜0，即函數(shù)g（x）=xf（x）單調(diào)遞減，顯然g（2）＞g（3），則2f（2）＞3f（3），故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11..如果關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，那么實(shí)數(shù)a的值是__________．參考答案：0或±2【分析】將通過(guò)參數(shù)分離轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)函數(shù)，畫(huà)出圖形得到答案.【詳解】方程設(shè)根據(jù)圖像知：a等于0或±2故答案為：0或±2【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解，通過(guò)參數(shù)分離轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.12.一船以每小時(shí)12海里的速度向東航行，在處看到一個(gè)燈塔在北偏東60°，行駛4小時(shí)后到達(dá)處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°，這時(shí)船與燈塔相距__________海里.參考答案：本題主要考查正弦定理.根據(jù)題意，可得出

，在

中，根據(jù)正弦定理得：海里，則這時(shí)船與燈塔的距離為海里，故本題正確答案是.13.（文科做）已知曲線y=f（x）在點(diǎn)M（2，f（2））處的切線方程是y=2x+3，則f（2）+f′（2）的值為

．參考答案：9【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求解即可．【解答】解：y=f（x）在點(diǎn)M（2，f（2））處的切線方程是y=2x+3，∴f（2）=2×2+3=4+3=7，切線的斜率k=2，即f′（2）=2，則f（2）+f′（2）=7+2=9，故答案為：914.我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．下列幾何體中，一定屬于相似體的有________．①兩個(gè)球體；②兩個(gè)長(zhǎng)方體；③兩個(gè)正四面體；④兩個(gè)正三棱柱；⑤兩個(gè)正四棱椎．參考答案：

①③

15.如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練．已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值是．（仰角θ為直線AP與平面ABC所成角）參考答案：【考點(diǎn)】在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型；解三角形．【分析】過(guò)P作PP′⊥BC，交BC于P′，連接AP′，則tanθ=，求出PP′，AP′，利用函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°，∴BC=20m，過(guò)P作PP′⊥BC，交BC于P′，連接AP′，則tanθ=，設(shè)BP′=x，則CP′=20﹣x，由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=（20﹣x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=?，令y=，則函數(shù)在x∈[0，20]單調(diào)遞減，∴x=0時(shí)，取得最大值為=．若P′在CB的延長(zhǎng)線上，PP′=CP′tan30°=（20+x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=?，令y=，則y′=0可得x=時(shí)，函數(shù)取得最大值，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．16.若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）則準(zhǔn)線方程為_(kāi)____；參考答案：略17.函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中則得最小值為

.參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知△的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，且所在直線的斜率之積等于．（1）求頂點(diǎn)的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；（2）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為(不重合)，試問(wèn)：直線與軸的交點(diǎn)是否是定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案：（1）由題知：

化簡(jiǎn)得：

…………2分當(dāng)時(shí)軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；當(dāng)時(shí)軌跡表示以為圓心半徑是１的圓，且除去兩點(diǎn)；當(dāng)時(shí)

軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；當(dāng)時(shí)

軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且除去兩點(diǎn)；……6分（2）設(shè)依題直線的斜率存在且不為零，則可設(shè):，代入整理得，，

…………9分又因?yàn)椴恢睾?，則的方程為令，得故直線過(guò)定點(diǎn).

…………14分解二：設(shè)依題直線的斜率存在且不為零，可設(shè):代入整理得：,，

…………9分的方程為

令，得直線過(guò)定點(diǎn)

…………14分略19.已知銳角三角形ABC的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求角B的大小；（2）若，，求b的值．參考答案：（1）；（2）．（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得?-----2分因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以．---5分（2）由（1）知，所以由余弦定理可得．---10分20.（本小題滿分16分）已知，且正整數(shù)n滿足，．(1)求n；(2)若，是否存在，當(dāng)時(shí)，恒成立？若存在，求出最小的，若不存在，試說(shuō)明理由；(3)若的展開(kāi)式有且只有6個(gè)無(wú)理項(xiàng)，求．參考答案：解：(1)由可知n=8.

…………..……3分(2)存在.展開(kāi)式中最大二項(xiàng)式系數(shù)滿足條件，又展開(kāi)式中最大二項(xiàng)式系數(shù)為，∴j=4．

…………..……9分(3)展開(kāi)式通項(xiàng)為=，分別令k=1，2，3，…，8，檢驗(yàn)得k=3或4時(shí)是k的整數(shù)倍的r有且只有三個(gè)．故k=3或4……16分21.已知函數(shù)及正整數(shù)數(shù)列.若,且當(dāng)時(shí),有;又,,且對(duì)任意恒成立.數(shù)列滿足:.(1)求數(shù)列及的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)證明存在，使得對(duì)任意均成立參考答案：解析：(1)由得：

.因?yàn)槭钦麛?shù)列,所以.于是是等比數(shù)列.

又,,所以

.

因?yàn)?/p>

,所以,于是:,說(shuō)明是以2為公比的等比數(shù)列.所以因?yàn)?由題設(shè)知：，解得：。又因?yàn)榍遥?。于是?2)由得：.由及得：設(shè)

①②當(dāng)時(shí)，①式減去②式,得于是,這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和．當(dāng)時(shí)，．這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和．(3)證明：通過(guò)分析，推測(cè)數(shù)列的第一項(xiàng)最大，下面證明：

③由知，要使③式成立，只要，因?yàn)椋寓凼匠闪ⅲ虼耍嬖?，使得?duì)任意均成立．22.某市A，B兩校組織了一次英語(yǔ)筆試（總分120分）聯(lián)賽，兩校各自挑選了英語(yǔ)筆試成績(jī)最好的100名學(xué)生參賽，成績(jī)不低于115分定義為優(yōu)秀.賽后統(tǒng)計(jì)了所有參賽學(xué)生的成績(jī)（都在區(qū)間[100,120]內(nèi)），將這些數(shù)據(jù)分成4組：[100,105),[105,110),[110,115),[115,120]得到如下兩個(gè)頻率分布直方圖：（1）分別計(jì)算A，B兩校聯(lián)賽中的優(yōu)秀率；（2）聯(lián)賽結(jié)束后兩校將根據(jù)學(xué)生的成績(jī)發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金，已知獎(jiǎng)學(xué)金y（單位：百元）與其成績(jī)t的關(guān)系式為①當(dāng)時(shí)，試問(wèn)A，B兩校哪所學(xué)校的獲獎(jiǎng)人數(shù)更多？②當(dāng)時(shí)，若以獎(jiǎng)學(xué)金的總額為判斷依據(jù)，試問(wèn)本次聯(lián)賽A，B兩校哪所學(xué)校實(shí)力更強(qiáng)？參考答案：（1）A校的優(yōu)秀率為0.3，B校的優(yōu)秀率為0.2（2）①B校的獲獎(jiǎng)人數(shù)更多②A校實(shí)力更強(qiáng)，詳見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖找出、兩校頻率分布直方圖中成績(jī)不小于分的矩形面積，即可得出這兩個(gè)學(xué)校的優(yōu)秀率；（2）①根據(jù)題意計(jì)算出、兩校成績(jī)不低于的人數(shù)，即為獲獎(jiǎng)人數(shù)，再與這兩個(gè)學(xué)校的獲獎(jiǎng)人數(shù)的多少進(jìn)行比較；②根據(jù)（獎(jiǎng)學(xué)金）與成績(jī)之間的關(guān)系式計(jì)算出、兩校所獲得的獎(jiǎng)金數(shù)，再對(duì)兩校所得獎(jiǎng)金數(shù)進(jìn)行比較，得出獲得獎(jiǎng)金數(shù)較多的學(xué)校實(shí)力較強(qiáng)?！驹斀狻浚?）由頻率分布直方圖知，