2021-2022學(xué)年湖北省黃石市孝感中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

2021-2022學(xué)年湖北省黃石市孝感中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.從6名學(xué)生中選出4人分別從事A、B、C、D四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙兩人不能從事A種工作，則不同的選派方案共有………………..（

） A．280種 B．240種 C．180種 D．96種參考答案：B2.下列各函數(shù)中，最小值為2的是()A．y＝x＋

B．y＝sinx＋，x∈(0，)C．y＝

D．y＝x＋－1參考答案：D略3.上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A4.已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝A.－4 B.－3 C.－2 D.－1

參考答案：B本題考查平面向量的數(shù)量積。由題意得：，即，解得；選B。

5.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則是為奇函數(shù)的（

）條件A．充分不必要

B．必要不充分

C．充分必要

D．既不充分也不必要參考答案：B6.如圖，角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，始邊為y軸的非負(fù)半軸、終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-3，-4）．角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊OQ落在第二象限，且，則的值為

（

） A．

B．

C．

D．參考答案：A略7.若方程的根在區(qū)間上，則的值為（

）A．

B．1

C．或2

D．或1參考答案：D8.以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是（

）

A．

B.

C.

D.

參考答案：B右焦點(diǎn)即圓心為，漸近線方程，為半徑，選B9.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）的直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，又知點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，則等于（

） A．6

B．8

C．9

D．10參考答案：B由題意可知拋物線的準(zhǔn)線方程為,如圖,由拋物線的性質(zhì)得，而，所以,選B.10.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則z=3x+4y-2的最大值為(

)A．8

B．6

C．5

D．1參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.平面向量的單位向量是

.參考答案：12.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知直線（

為參數(shù)）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為

個(gè)參考答案：013.函數(shù)f（x）=滿足[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0對(duì)定義域中的任意兩個(gè)不相等的x1，x2都成立，則a的取值范圍是．參考答案：（0，]【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】首先判斷函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，再分別考慮各段的單調(diào)性及分界點(diǎn)，得到0＜a＜1①a﹣3＜0②a0≥（a﹣3）×0+4a③，求出它們的交集即可．【解答】解：[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0對(duì)定義域中的任意兩個(gè)不相等的x1，x2都成立，則函數(shù)f（x）在R上遞減，當(dāng)x＜0時(shí)，y=ax，則0＜a＜1①當(dāng)x≥0時(shí)，y=（a﹣3）x+4a，則a﹣3＜0②又a0≥（a﹣3）×0+4a③則由①②③，解得0＜a≤．故答案為：（0，]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，注意分界點(diǎn)的情況，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．14.已知B為銳角，，則cosB=_________.參考答案：略15.函數(shù)的定義域是(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：C略16.已知函數(shù),若,則.參考答案：或因?yàn)?，所以，即，所以，即，解得或?7.如圖，有一個(gè)形如六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)（算第1層），第2層每邊有兩個(gè)點(diǎn)，第3層每邊有三個(gè)點(diǎn)，依次類推．如果一個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有169個(gè)點(diǎn)，那么它一共有___________層

參考答案：8三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=PA=BC=2．D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，過DE的平面與PB，PC相交于點(diǎn)M，N（M與P，B不重合，N與P，C不重合）．（Ⅰ）求證：MN∥BC；（Ⅱ）求直線AC與平面PBC所成角的大??；（Ⅲ）若直線EM與直線AP所成角的余弦值時(shí)，求MC的長．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角．【分析】（Ⅰ）DE為△ABC的中位線，從而得到DE∥BC，然后根據(jù)線面平行的判定定理及性質(zhì)定理即可得到DE∥MN，從而BC∥MN，即MN∥BC；（Ⅱ）過B作BZ∥PA，容易說明BC，BA，BZ三條直線互相垂直，從而以B為原點(diǎn)，BC，BA，BZ所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，這樣即可求得的坐標(biāo)．從而可求出平面PBC的一個(gè)法向量坐標(biāo)，設(shè)直線AC與平面PBC所成角為α，根據(jù)sinα=即可求出α；（Ⅲ）根據(jù)圖形設(shè)M（0，y，z），由M點(diǎn)在棱BP上，便可得到，從而表示M為M（0，2λ，2λ），根據(jù)直線EM與直線AP所成角的余弦值，設(shè)直線EM與直線AP所成角為θ，從而通過cosθ=即可求出λ，從而求出M點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式即可求出MC．【解答】解：（Ⅰ）證明：∵D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)；∴DE∥BC，BC?平面PBC，DE?平面PBC；∴DE∥平面PBC，平面DENM∩平面PBC=MN；∴DE∥MN；∴MN∥BC；（Ⅱ）如圖，在平面PAB內(nèi)作BZ∥PA，則根據(jù)：PA⊥底面ABC，及AB⊥BC即知，BC，BA，BZ兩兩垂直；∴以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，BZ所在直線為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），P（0，2，2）；∴，；設(shè)平面PBC的法向量為；則由得：，令z1=1，得x1=0，y1=﹣1；∴；設(shè)直線AC和平面PBC所成角為α，則：sinα==；又；∴；即直線AC和平面PBC所成角為；（Ⅲ）設(shè)M（0，y，z），M在棱PB上，則：；∴（0，y，z）=λ（0，2，2）；∴M（0，2λ，2λ），E（1，1，0）；∴；因?yàn)橹本€EM與直線AP所成角的余弦值；設(shè)直線EM和直線AP所成角為θ；所以cosθ=；∴8λ2﹣18λ+9=0；解得，或（舍去）；∴M（0，）；∴．19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求f(x)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；（3）若對(duì)任意的，，恒有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案：（1）極小值，無極大值；（2）參考解析；（3）【詳解】試題分析：第一問，將代入中確定函數(shù)的解析式，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性，確定在時(shí)，函數(shù)有極小值，但無極大值，在解題過程中，注意函數(shù)的定義域；第二問，對(duì)求導(dǎo)，的根為和，所以要判斷函數(shù)的單調(diào)性，需對(duì)和的大小進(jìn)行3種情況的討論；第三問，由第二問可知，當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，所以為最大值，為最小值，所以的最大值可以求出來，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，所以，將的最大值代入后，，又是一個(gè)恒成立，整理表達(dá)式，即對(duì)任意恒成立，所以再求即可.試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，由,解得.∴f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).∴f(x)的極小值為，無極大值.（2）.①當(dāng)時(shí)，f(x)在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，f(x)在上是減函數(shù)；③當(dāng)時(shí)，f(x)在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知f(x)在上是減函數(shù)，∴.由對(duì)任意的恒成立，∴即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，由于當(dāng)時(shí)，，∴.考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；4.不等式的性質(zhì).20.如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M為線段AB的中點(diǎn)．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D﹣ABC，如圖2所示．（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．

參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【分析】（Ⅰ）要證BC⊥平面ACD，只需證明BC垂直平面ACD內(nèi)的兩條相交直線AC、OD即可；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量的數(shù)量積，求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）在圖1中，可得，從而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC取AC中點(diǎn)O連接DO，則DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，面ADC∩面ABC=AC，DO?面ACD，從而OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD另解：在圖1中，可得，從而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC?面ABC，從而BC⊥平面ACD（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz如圖所示，則，，，設(shè)為面CDM的法向量，則即，解得令x=﹣1，可得又為面ACD的一個(gè)法向量∴∴二面角A﹣CD﹣M的余弦值為．21.（本小題滿分13分）

已知直線y=－x+m與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若橢圓的離心率為，焦距為2．

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）若向量·=0（其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值．

參考答案：

略22.(本小題滿分12分)已知數(shù)列，前項(xiàng)和，且方程有一根為（＝1，2，3……）（Ⅰ）求的值（Ⅱ）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并給出嚴(yán)格證明。（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，試比較與的大小參考答案：(Ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．……3分

當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝．……

5分

(Ⅱ)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，