2021-2022學(xué)年湖南省常德市青峰煤礦職工子弟學(xué)校高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

2021-2022學(xué)年湖南省常德市青峰煤礦職工子弟學(xué)校高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則=（

）A．-16

B．-32 C．32 D．-64參考答案：B略2.設(shè)命題甲：關(guān)于的不等式對(duì)一切恒成立，命題乙：對(duì)數(shù)函數(shù)在上遞減，那么甲是乙的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B3.在△中,,,則△的面積為（）.A．3 B．

C．6 D．4參考答案：D【知識(shí)點(diǎn)】向量的數(shù)量積公式；三角形面積公式F3解析：因?yàn)椋?，即，則，故選D.【思路點(diǎn)撥】先利用已知條件結(jié)合向量的數(shù)量積公式得到，再利用三角形面積計(jì)算即可。4.命題p：?a∈（0，1）∪（1，+∞），函數(shù)f（x）=loga（x﹣1）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，0），命題q：?x∈N，x3＜x2．則（）A．p假q假 B．p真q假 C．p假q真 D．p真q真參考答案：B【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用；4N：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及冪函數(shù)圖象和性質(zhì)，分析命題p，q的真假，可得答案．【解答】解：當(dāng)x=2時(shí)，loga（x﹣1）=loga1=0恒成立，故命題p：?a∈（0，1）∪（1，+∞），函數(shù)f（x）=loga（x﹣1）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，0），為真命題；?x∈N，x3≥x2恒成立，故命題q：?x∈N，x3＜x2為假命題，故選：B5.在正四面體ABCD的面上，到棱AB以及C、D兩點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)共有（

）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

參考答案：B略6.（5分）已知雙曲線方程為=1，過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線（斜率存在）交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，PQ的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則的值為（）A．B．C．D．參考答案：B【考點(diǎn)】：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】：計(jì)算題．【分析】：依題意，不妨設(shè)過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線的斜率為1，利用雙曲線的第二定義可求得可求得|PQ|，繼而可求得PQ的垂直平分線方程，令x=0可求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，從而使問(wèn)題解決．【解答】：解：∵雙曲線的方程為﹣=1，∴其右焦點(diǎn)F（5，0），不妨設(shè)過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線的斜率為1，依題意，直線PQ的方程為：y=x﹣5．由得：7x2+90x﹣369=0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1，x2為方程7x2+90x﹣369=0的兩根，∴x1+x2=﹣，y1+y2=（x1﹣5）+（x2﹣5）=x1+x2﹣10=﹣，∴線段PQ的中點(diǎn)N（﹣，﹣），∴PQ的垂直平分線方程為y+=﹣（x+），令y=0得：x=﹣．又右焦點(diǎn)F（5，0），∴|MF|=5+=．①設(shè)點(diǎn)P在其準(zhǔn)線上的射影為P′，點(diǎn)Q在其準(zhǔn)線上的射影為Q′，∵雙曲線的一條漸近線為y=x，其斜率k=，直線PQ的方程為：y=x﹣5，其斜率k′=1，∵k′＜k，∴直線PQ與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)一個(gè)在左支上，另一個(gè)在右支上，不妨設(shè)點(diǎn)P在左支，點(diǎn)Q在右支，則由雙曲線的第二定義得：==e==，∴|PF|=x1﹣×=x1﹣3，同理可得|QF|=3﹣x2；∴|PQ|=|QF|﹣|PF|=3﹣x2﹣（x1﹣3）=6﹣（x1+x2）=6﹣×（﹣）=．②∴==．故選B．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查雙曲線的第二定義的應(yīng)用，考查直線與圓錐曲線的相交問(wèn)題，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用與直線方程的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題．7.已知函數(shù)的最大值是，最小值是，最小正周期是，直線是其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，則下面各式中符合條件的解析式是（

）A.

B.C.

D.參考答案：D略8.拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則直線的斜率為（

）A．2

B．

C.

D．參考答案：D9.已知，滿足不等式組則目標(biāo)函數(shù)的最大值為(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B做出可行域，由得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，直線的的截距最大，此時(shí)最大，由題意知，代入直線得，所以最大值為12，選B.

【解析】略10.設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則等于（

）A.

B.

C.-1

D.1

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．參考答案：因?yàn)楹瘮?shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，等價(jià)于，在上有解，設(shè)，求導(dǎo)得，在有唯一的極值點(diǎn)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，的值域?yàn)椋史匠淘谏嫌薪獾葍r(jià)于，從而的取值范圍是，故答案為.12.16．定義：曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱(chēng)為曲線C到直線l的距離，已知曲線C1：y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2：x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離，則實(shí)數(shù)a=_______。參考答案：13.設(shè)直線：的方向向量是，直線2：的法向量是，若與平行，則_________．參考答案：因?yàn)榕c平行，所以直線垂直。的斜率為，直線的斜率為，由，解得。14.已知函數(shù)f（x）=（x＞1），當(dāng)且僅當(dāng)x=

時(shí)，f（x）取到最小值為

．參考答案：2;2.【考點(diǎn)】基本不等式；函數(shù)的最值及其幾何意義．【專(zhuān)題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．∴函數(shù)f（x）==x﹣1+=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)．故答案分別為：2；2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15.已知△ABC的三邊長(zhǎng)成公比為的等比數(shù)列，則△ABC最大的余弦值為

．參考答案：由題設(shè)三邊長(zhǎng)分別為:a,,2a,且2a為最大邊,所對(duì)的角為,

由余弦定理得:

16.(理科)已知集合,,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________________參考答案：(0,4)17.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M到曲線ρcos＝2上的點(diǎn)的距離的最小值為_(kāi)______參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓（a＞b＞0）的焦距為4，離心率為，斜率為k的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，1），與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)橢圓C的右焦點(diǎn)F在以AB為直徑的圓內(nèi)時(shí)，求k的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）∵焦距為4，∴c=2

………………1分

又，∴a=，b=2

…………3分

∴標(biāo)準(zhǔn)方程為

………4分

（Ⅱ）設(shè)直線l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

由得

……5分

∴x1+x2=，x1x2=

由（Ⅰ）知右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（2，0），

∵右焦點(diǎn)F在圓內(nèi)部，∴＜0

………………7分

∴（x1-2）（x2-2）+y1y2＜0

即x1x2-2（x1+x2）+4+k2x1x2+k（x1+x2）+1＜0

……8分

∴＜0

……………10分

∴k＜經(jīng)檢驗(yàn)得k＜時(shí)，直線l與橢圓相交，

∴直線l的斜率k的范圍為（-∞，）

……………12分19.某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行20次射擊練習(xí)，記錄了他射擊的有關(guān)數(shù)據(jù)，得到下表：環(huán)數(shù)78910命中次數(shù)2783（1）求此運(yùn)動(dòng)員射擊的環(huán)數(shù)的平均值；（2）若將表中某一環(huán)數(shù)所對(duì)應(yīng)的命中次數(shù)作為一個(gè)結(jié)果，在四個(gè)結(jié)果（2次、7次、8次、3次）中，隨機(jī)取2個(gè)不同的結(jié)果作為基本事件進(jìn)行研究，記這兩個(gè)結(jié)果分別為m次、n次，每個(gè)基本事件為（m，n），求事件“m+n≥10”的概率．參考答案：解：（1）運(yùn)動(dòng)員射擊的總次數(shù)為2+7+8+3=20次，射擊的總環(huán)數(shù)為2×7+7×8+8×9+3×10=172（環(huán)）．故平均環(huán)數(shù)為=8.6（環(huán)）．（2）依題意，用（m，n）的形式列出所有基本事件為（2，7），（2，8），（2，3），（7，8），（3，8），（3，7），（7，2），（8，2），（3，2），（8，7），（8，3），（7，3）共12個(gè)；設(shè)滿足條件“m+n≥10”的事件為A，則事件A包含的為（2，8），（7，8），（3，8），（3，7），（8，2），（8，7），（8，3），（7，3），總數(shù)為8，所以P（A）==，故滿足條件“m+n≥10”的概率為．略20.（本小題滿分12分）如圖4，是平行四邊形，已知，,平面平面.（Ⅰ）證明：（Ⅱ）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值.參考答案：（Ⅰ）∵是平行四邊形，且∴，故，即

（1分）取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，∵，∴

（2分）又∵平面平面，∴平面

（3分）∵平面，∴

（4分）∵平面，∴平面，

（5分）∵平面，∴

（6分）（Ⅱ）∵,由（Ⅰ）得

（7分）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則

∴

（8分）設(shè)平面的法向量為，則，即

得平面的一個(gè)法向量為

（10分）由（Ⅰ）知平面，所以可設(shè)平面的法向量為

（11分）設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則

即平面與平面所成二面角的平面角的余弦值為.（12分）

21.（13分）已知在中，分別為角的對(duì)邊，,，.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值.參考答