高中數(shù)學(xué)蘇教版第3章指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 章末過關(guān)檢測卷(三)

章末過關(guān)檢測卷(三)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的)1．f(x)＝eq\f(1,x)－x的圖象關(guān)于()A．y軸對(duì)稱 B．直線y＝－x對(duì)稱C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D．直線y＝x對(duì)稱解析：f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝eq\f(1,－x)－(－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－x))＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．答案：C2．下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()A．y＝x2＋x B．y＝－x3C．y＝ex D．y＝lneq\r(x2＋1)解析：選項(xiàng)A，C為非奇非偶函數(shù)，選項(xiàng)B為奇函數(shù)．答案：D3．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(9，3)，則log4f\f(1,4)B．－eq\f(1,4)C．2D．－2解析：設(shè)冪函數(shù)為f(x)＝xα，則有3＝9α，得α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))，f(2)＝eq\r(2)，所以log4f(2)＝log4eq\r(2)＝log44eq\s\up6(\f(1,4))＝eq\f(1,4).答案：A4．函數(shù)f(x)＝|logeq\s\do9(\f(1,2))x|的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(0，eq\f(1,2)) B．(0，1)C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)解析：畫f(x)＝|logeq\s\do9(\f(1,2))x|的圖象如圖所示：由圖象知單調(diào)增區(qū)間為[1，＋∞)．答案：D5．已知10m＝2，10n＝4，則10eq\s\up6(\f(3m－n,2))的值為()A．2\r(2)\r(10)D．2eq\r(2)解析：10eq\s\up6(\f(3m－n,2))＝10eq\s\up6(\f(3m,2))÷10eq\s\up6(\f(n,2))＝(10m)eq\s\up6(\f(3,2))÷(10n)eq\s\up6(\f(1,2))＝2eq\s\up6(\f(3,2))÷4eq\s\up6(\f(1,2))＝2eq\f(3,2)－1＝eq\r(2).答案：B6．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝()A．－3B．－1C．1D．3解析：由f(0)＝0得b＝－1.所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.答案：A7．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(e－x－ex,x)，則其圖象()A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于y＝x軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于y軸對(duì)稱解析：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，f(－x)＝eq\f(ex－e－x,－x)＝eq\f(e－x－ex,x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．答案：D8．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表：x123f(x)－則函數(shù)f(x)一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是()A．(－∞，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，＋∞)解析：因?yàn)閒(2)·f(3)＜0，所以f(x)在(2，3)內(nèi)一定存在零點(diǎn)．答案：C9．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|解析：選項(xiàng)A為奇函數(shù)，選項(xiàng)C，D在(0，＋∞)上是減函數(shù)．答案：B10．已知0＜a＜1，x＝logaeq\r(2)＋logaeq\r(3)，y＝eq\f(1,2)loga5，z＝logaeq\r(21)－logaeq\r(3)，則()A．x＞y＞z B．z＞y＞xC．y＞x＞z D．z＞x＞y解析：x＝logaeq\r(2)＋logaeq\r(3)＝logaeq\r(6)＝eq\f(1,2)loga6，z＝logaeq\r(21)－logaeq\r(3)＝logaeq\r(7)＝eq\f(1,2)loga7.因?yàn)?＜a＜1，所以eq\f(1,2)loga5＞eq\f(1,2)loga6＞eq\f(1,2)loga7.即y＞x＞z.答案：C11．某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x噸所需費(fèi)用為P元，而賣出x噸的價(jià)格為每噸Q元，已知P＝1000＋5x＋eq\f(1,10)x2，Q＝a＋eq\f(x,b)，若生產(chǎn)出的產(chǎn)品能全部賣出，且當(dāng)產(chǎn)量為150噸時(shí)利潤最大．此時(shí)每噸的價(jià)格為40元，則有()A．a(chǎn)＝45，b＝－30 B．a(chǎn)＝30，b＝－45C．a(chǎn)＝－30，b＝45 D．a(chǎn)＝－45，b＝－30解析：設(shè)生產(chǎn)x噸產(chǎn)品全部賣出，獲利潤為y元，則y＝xQ－P＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(x,b)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1000＋5x＋\f(1,10)x2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,10)))·x2＋(a－5)x－1000(x＞0)．由題意知，當(dāng)x＝150時(shí)，y取最大值，此時(shí)Q＝40.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a－5,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,10))))＝150，,a＋\f(150,b)＝40，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝45，,b＝－30.))答案：A12．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－3，x≤0，,x\s\up6(\f(1,2))，x＞0，))已知f(a)＞1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－2，1)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)解析：當(dāng)a≤0時(shí)，f(a)＝(eq\f(1,2))a－3＞1，解得a＜－2；當(dāng)a＞0時(shí)，f(a)＝aeq\s\up6(\f(1,2))＞1，解得a＞1.綜上a的取值范圍是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．答案：B二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2ex－1，x＜2，,log3（2x－1），x≥2，))則f(f(2))＝________．解析：因?yàn)閒(2)＝log3(22－1)＝1，所以f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.答案：214．(2023·上海卷)若f(x)＝xeq\s\up6(\f(2,3))－xeq\s\up6(\f(1,2))，則滿足f(x)＜0的x的取值范圍是________．解析：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，由于eq\f(1,2)＜eq\f(2,3)，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，xeq\s\up6(\f(2,3))＜xeq\s\up6(\f(1,2))；當(dāng)x＞1時(shí)，xeq\s\up6(\f(2,3))＞xeq\s\up6(\f(1,2)).因此f(x)＜0的解集為(0，1)．答案：(0，1)15．若定義運(yùn)算f(a*b)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b，a≥b，,a，a＜b，))則函數(shù)f(3x*3－x)的值域是________．解析：由定義可知該函數(shù)是求a，b中較小的那一個(gè)，所以分別畫出y＝3x與y＝3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)的圖象，由圖象很容易看出函數(shù)f(3x*3－x)的值域是(0，1]．答案：(0，1]16．(2023·福建卷)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0，,2x－6＋lnx，x＞0))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．解析：當(dāng)x≤0時(shí)，由x2－2＝0，得x＝－eq\r(2).當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝2x－6＋lnx是增函數(shù)且f(2)＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＞0.所以f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．綜上可知f(x)的零點(diǎn)有2個(gè)．答案：2三、解答題(本題共6個(gè)小題，滿分共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(bx,ax2＋1)(b≠0，a＞0)．(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)若f(1)＝eq\f(1,2)，log3(4a－b)＝eq\f(1,2)log24，求a，b的值．解：(1)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－x)＝eq\f(－bx,ax2＋1)＝－f(x)，故f(x)是奇函數(shù)．(2)由f(1)＝eq\f(b,a＋1)＝eq\f(1,2)，得a－2b＋1＝0.又log3(4a－b)＝eq\f(1,2)log24＝1，即4a－b＝3.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2b＋1＝0，,4a－b＝3，))解得a＝1，b＝1.18．(本小題滿分12分)對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R使f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，求f(x)的不動(dòng)點(diǎn)；(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍．解：(1)因?yàn)閍＝1，b＝－2時(shí)，f(x)＝x2－x－3，由f(x)＝x?x2－2x－3＝0?x＝－1或x＝3，所以f(x)的不動(dòng)點(diǎn)為－1和3.(2)由題設(shè)知ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有兩個(gè)不等實(shí)根，即ax2＋bx＋b－1＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，所以Δ＝b2－4a(b－1)>0?b2－4ab＋4所以(－4a)2－4×4a<0?0<故a的取值范圍是(0，1)．19．(本小題滿分12分)設(shè)海拔xm處的大氣壓強(qiáng)是yPa，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝cekx，其中c，k為常量，已知某地某天在海平面的大氣壓為×105Pa，1000m高空的大氣壓為×105Pa，求600m高空的大氣壓強(qiáng)(精確到解：將x＝0，y＝×105；x＝1000,y＝×105,代入y＝cekx得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1×105＝cek·0，,×105＝cek·1000，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝×105，①,×105＝ce1000k.②))將①代入②得：×105＝×105e1000k?k＝eq\f(1,1000)×lneq\f,，計(jì)算得：k＝－×10－4.所以y＝×105×e－×10－4x.將x＝600代入，得：y＝×105×e－×10－4×600，計(jì)算得：y＝×105(Pa)．所以在600m高空的大氣壓約為×10520．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝lg(ax－bx)，(a＞1＞b＞0)．(1)求f(x)的定義域；(2)若f(x)在(1，＋∞)上遞增且恒取正值，求a，b滿足的關(guān)系式．解：(1)由ax－bx＞0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(x)＞1.因?yàn)閍＞1＞b＞0，所以eq\f(a,b)＞1.所以x＞0.所以f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．(2)因?yàn)閒(x)在(1，＋∞)上遞增且恒為正值，所以f(x)＞f(1)，只要f(1)＞0.則lg(a－b)≥0，所以a－b≥1.因此a，b滿足的關(guān)系為a≥b＋1.21．(本小題滿分12分)某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別是1萬件、2萬件、萬件，為了預(yù)測以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)y＝abx＋c(其中a，b，c為常數(shù))，已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為萬件，請(qǐng)問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說明理由．解析：根據(jù)題意，該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y是月份x的函數(shù)，可供選用的函數(shù)有兩種，其中哪一種函數(shù)確定的4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量越接近于萬件，哪種函數(shù)作為模擬函數(shù)就較好，故應(yīng)先確定這兩個(gè)函數(shù)的具體解析式．設(shè)y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，y2＝g(x)＝abx＋c，根據(jù)已知有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＋q＋r＝1，,4p＋2q＋r＝，,9p＋3q＋r＝)和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝，,ab3＋c＝，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝－，,q＝，,r＝)和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－，,b＝，,c＝.))所以f(x)＝－＋＋，g(x)＝－×＋.所以f(4)＝，g(4)＝.顯然g(4)更接近于，故選用y＝－×＋作為模擬函數(shù)較好．22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(1,2|x|).(1)若f(x)＝2，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0對(duì)于t∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝0；當(dāng)x≥0時(shí)，f(x