2021-2022年高中數(shù)學(xué)第四章圓的方程3.2空間兩點間的距離公式1教案新人教版必修2202202262134

PAGEPAGE7空間兩點間的距離公式一、教材分析平面直角坐標(biāo)系中,兩點之間的距離公式是學(xué)生已學(xué)的知識,不難把平面上的知識推廣到空間,遵循從易到難、從特殊到一般的認(rèn)識過程,利用類比的思想方法,借助勾股定理得到空間任意一點到原點的距離;從平面直角坐標(biāo)系中的方程x2+y2=r2表示以原點為圓心,r為半徑的圓,推廣到空間直角坐標(biāo)系中的方程x2+y2+z2=r2表示以原點為球心,r為半徑的球面.學(xué)生是不難接受的,這不僅不增加學(xué)生負(fù)擔(dān),還會提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.二、教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能使學(xué)生掌握空間兩點間的距離公式2．過程與方法由平面上兩點間的距離公式，引入空間兩點距離公式的猜想由平面上兩點間的距離公式，引入空間兩點距離公式的猜想先推導(dǎo)特殊情況下空間兩點間的距離公式推導(dǎo)一般情況下的空間兩點間的距離公式3．情態(tài)與價值觀通過空間兩點間距離公式的推導(dǎo)，使學(xué)生經(jīng)歷從易到難，從特殊到一般的認(rèn)識過程三、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：空間兩點間的距離公式.教學(xué)難點：一般情況下,空間兩點間的距離公式的推導(dǎo).四、課時安排1課時五、教學(xué)設(shè)計（一）導(dǎo)入新課思路1.距離是幾何中的基本度量,幾何問題和一些實際問題經(jīng)常涉及距離,如飛機(jī)和輪船的航線的設(shè)計,它雖不是直線距離,但也涉及兩點之間的距離,一些建筑設(shè)計也要計算空間兩點之間的距離,那么如何計算空間兩點之間的距離呢?這就是我們本堂課的主要內(nèi)容.思路2.我們知道,數(shù)軸上兩點間的距離是兩點的坐標(biāo)之差的絕對值,即d=|x1-x2|；平面直角坐標(biāo)系中,兩點之間的距離是d=.同學(xué)們想,在空間直角坐標(biāo)系中,兩點之間的距離應(yīng)怎樣計算呢？又有什么樣的公式呢？因此我們學(xué)習(xí)空間兩點間的距離公式.（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題①平面直角坐標(biāo)系中,兩點之間的距離公式是什么？它是如何推導(dǎo)的？②設(shè)A(x,y,z)是空間任意一點,它到原點的距離是多少？應(yīng)怎樣計算？③給你一塊磚,你如何量出它的對角線長,說明你的依據(jù).④同學(xué)們想,在空間直角坐標(biāo)系中,你猜想空間兩點之間的距離應(yīng)怎樣計算？⑤平面直角坐標(biāo)系中的方程x2+y2=r2表示什么圖形？在空間中方程x2+y2+z2=r2表示什么圖形？⑥試根據(jù)②③推導(dǎo)兩點之間的距離公式.活動：學(xué)生回憶,教師引導(dǎo),教師提問,學(xué)生回答,學(xué)生之間可以相互交流討論,學(xué)生有困難教師點撥.教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解決問題的思路,要全面考慮,大膽猜想,發(fā)散思維.①學(xué)生回憶學(xué)過的數(shù)學(xué)知識,回想當(dāng)時的推導(dǎo)過程；②解決這一問題,可以采取轉(zhuǎn)化的方法,轉(zhuǎn)化成我們學(xué)習(xí)的立體幾何知識來解；③首先考慮問題的實際意義,直接度量,顯然是不可以的,我們可以轉(zhuǎn)化為立體幾何的方法,也就是求長方體的對角線長.④回顧平面直角坐標(biāo)系中,兩點之間的距離公式,可類比猜想相應(yīng)的公式；⑤學(xué)生回憶剛剛學(xué)過的知識,大膽類比和猜想;⑥利用③的道理,結(jié)合空間直角坐標(biāo)系和立體幾何知識,進(jìn)行推導(dǎo).討論結(jié)果：①平面直角坐標(biāo)系中,兩點之間的距離公式是d=,它是利用直角三角形和勾股定理來推導(dǎo)的.圖1②如圖1,設(shè)A(x,y,z)是空間任意一點,過A作AB⊥xOy平面,垂足為B,過B分別作BD⊥x軸,BE⊥y軸,垂足分別為D,E.根據(jù)坐標(biāo)的含義知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原點的距離是d=.③利用求長方體的對角線長的方法,分別量出這塊磚的三條棱長,然后根據(jù)對角線長的平方等于三條邊長的平方的和來算.④由于平面直角坐標(biāo)系中,兩點之間的距離公式是d=,是同名坐標(biāo)的差的平方的和再開方,所以我們猜想,空間兩點之間的距離公式是d=,即在原來的基礎(chǔ)上,加上縱坐標(biāo)差的平方.⑤平面直角坐標(biāo)系中的方程x2+y2=r2表示以原點為圓心,r為半徑的圓;在空間x2+y2+z2=r2表示以原點為球心,r為半徑的球面;后者正是前者的推廣.圖2⑥如圖2,設(shè)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點,我們來計算這兩點之間的距離.我們分別過P1P2作xOy平面的垂線,垂足是M,N,則M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出|MN|=.再過點P1作P1H⊥P2N,垂足為H,則|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|.在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=,根據(jù)勾股定理,得|P1P2|==.因此空間中點P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之間的距離為|P1P2|=.于是空間兩點之間的距離公式是d=.它是同名坐標(biāo)的差的平方的和的算術(shù)平方根.（三）應(yīng)用示例例1已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)線段AB的中點坐標(biāo)和長度；(2)到A,B兩點的距離相等的點P(x,y,z)的坐標(biāo)滿足的條件.活動：學(xué)生審題,教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路,已知的兩點A、B都是空間直角坐標(biāo)系中的點,我們直接利用空間兩點間的距離公式求解即可.知識本身不難,但是我們計算的時候必須認(rèn)真,決不能因為粗心導(dǎo)致結(jié)果錯誤.解:(1)設(shè)M(x,y,z)是線段AB的中點,則根據(jù)中點坐標(biāo)公式得x==2,y==,z==3.所以AB的中點坐標(biāo)為(2,,3).根據(jù)兩點間距離公式,得d(A,B)=,所以AB的長度為.(2)因為點P(x,y,z)到A,B的距離相等,所以有下面等式：.化簡得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B兩點的距離相等的點P(x,y,z)的坐標(biāo)滿足的條件是4x+6y-8z+7=0.點評:通過本題我們可以得出以下兩點：①空間兩點連成的線段中點坐標(biāo)公式和兩點間的距離公式是平面上中點坐標(biāo)公式和兩點間的距離公式的推廣,而平面上中點坐標(biāo)公式和兩點間的距離公式又可看成空間中點坐標(biāo)公式和兩點間的距離公式的特例.②到A,B兩點的距離相等的點P(x,y,z)構(gòu)成的集合就是線段AB的中垂面.變式訓(xùn)練在z軸上求一點M,使點M到點A(1,0,2),B(1,-3,1)的距離相等.解:設(shè)M(0,0,z),由題意得|MA|=|MB|,,整理并化簡,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點的△ABC是一等腰三角形.活動：學(xué)生審題,教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路,證明△ABC是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的長,根據(jù)邊長來確定.證明：由兩點間距離公式得：|AB|=|BC|=,|CA|=.由于|BC|=|CA|=,所以△ABC是一等腰三角形.點評:判斷三角形的形狀一般是根據(jù)邊長來實現(xiàn)的,因此解決問題的關(guān)鍵是通過兩點間的距離公式求出邊長.變式訓(xùn)練三角形△ABC的三個頂點坐標(biāo)為A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),試證明△ABC是一直角三角形.活動：學(xué)生先思考或交流,然后解答,教師及時提示引導(dǎo),要判定△ABC是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的長,利用勾股定理的逆定理來判定.解:因為三個頂點坐標(biāo)為A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以|AB|==3,|BC|=,|CA|==3.又因為|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形.例3已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),則|AB|的最小值為()A.0B.C.D.活動：學(xué)生閱讀題目,思考解決問題的方法,教師提示,要求|AB|的最小值,首先我們需要根據(jù)空間兩點間的距離公式表示出|AB|,然后再根據(jù)一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析:|AB|===.當(dāng)x=時,|AB|的最小值為.故正確選項為B.答案：B點評:利用空間兩點間的距離公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)求最值是常用的方法.（四）知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1、2、3、4.（五）拓展提升已知三棱錐P—ABC(如圖4),PA⊥平面ABC,在某個空間直角坐標(biāo)系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),畫出這個空間直角坐標(biāo)系并求出直線AB與x軸所成的較小的角.圖3解:根據(jù)已知條件,畫空間直角坐標(biāo)系如圖3：以射線AC為y軸正方向,射線AP為z軸正方向,A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz,過點B作BE⊥Ox,垂足為E,∵B(m,m,0),∴E(m,