matlab課件第2章 矩陣及其操作

陣列中的每列數(shù)據(jù)代表一個變量，每一行代表一個觀察者，第（i，j）個要素是第i個觀察者的第j個變量。對5個人的3個身體指標數(shù)據(jù)進行記錄Data=[72134328120135691567182148247517012];7.基于列的操作規(guī)則例子

>>A=[163213;510118;96712;415141]A=163213510118

96712415141>>a3=A(3),a5=A(5)a3=

9a5=

3序號(Index)與下標(Subscript)一一對應(yīng)，以m×n矩陣A為例，矩陣元素A(i,j)的序號為(j-1)*m+i。其相互轉(zhuǎn)換關(guān)系可利用sub2ind和ind2sub函數(shù)求得。>>sum(Data)ans=37908090174>>mean(Data)ans=758161834800>>max(Data)ans=820201071Data=[72134328120135691567182148247517012];7.基于列的操作規(guī)則

基于列操作規(guī)則的函數(shù)max-最大值min-最小值mean-平均值median-中值std-標準差var-方差sort-升序排列sortrows-按行的升序排列sum-求和prod-求積hist-直方圖histc-直方圖計數(shù)trapz-梯形數(shù)值積分cumsum-元素的累積求和cumprod-元素的累積求積cumtrapz-累計梯形數(shù)值積分基本操作有限差分

diff-微分和導(dǎo)數(shù)

gradient-梯度

del2-離散拉普拉斯算子相關(guān)性分析

corrcoef-相關(guān)系數(shù)

cov-協(xié)方差矩陣

subspace-子空間的夾角

濾波和卷積filter-一維數(shù)字濾波器

filter2-二維數(shù)字濾波器

conv-卷積和多項式乘法

conv2-二維卷積

convn-N維卷積

deconv-反卷積和多項式除法運算

detrend-去除線性趨勢基于列操作規(guī)則的函數(shù)傅里葉變換

fft-離散傅里葉變換

fft2-二維離散傅立葉變換

fftn-N維離散傅里葉變換

ifft-逆離散傅立葉變換

ifft2-二維逆離散傅立葉變換

ifftn-N維離散傅里葉逆變換

fftshift-移零頻率分量的頻譜中心

ifftshift-逆FFTSHIFT8.矩陣的下標引用通過矩陣下標來存取矩陣元素。1)訪問單個元素2)線性引用元素3)訪問多個元素1)訪問單個元素A=16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1A（i，j）i——行號；j——列號。>>A(1,4)+A(2,4)+A(3,4)+A(4,4)ans=342.線性引用元素對于矩陣A，線性引用元素的格式為A(k)。通常這樣的引用用于行向量或列向量，但也可用于二維矩陣。MATLAB按列優(yōu)先排列的一個長列向量格式（線性引用元素）來存儲矩陣元素。A=16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1>>A(6)ans=103.訪問多個元素操作符“：”可用來獲取矩陣的多個元素。若A是二維矩陣，其主要用法如下：

A(:,:)矩陣A的所有元素

A(i,:)矩陣A第i行的所有元素

A(i,k1:k2)矩陣A第i行的自k1到k2列的所有元素

A(:,j)矩陣A第j列的所有元素

A(k1:k2,j)返回矩陣A第j列的自k1到k2行的所有元素A=16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1>>A(3,:)ans=???9.邏輯下標x=[2.11.71.61.5NaN1.91.81.55.11.81.42.21.61.8];>>index=isfinite(x)index=1111011111111>>x(index)ans=2.11.71.61.51.91.81.55.11.81.42.21.61.8>>x=x(isfinite(x))x=

2.11.71.61.51.91.81.5

5.11.81.42.21.61.8>>x=x(abs(x-mean(x))<=3*std(x))x=2.11.71.61.51.91.81.51.81.42.21.61.8刪除離群點刪除異常點find函數(shù)尋找滿足特定邏輯條件的數(shù)組元素的索引>>k=find(isprime(A))'k=259101113>>A(k)ans=

53211713>>A(k)=NaNA=16NaN

NaN

NaN

NaN10NaN896NaN12415141A=163

2

13

510118967 1241514110.矩陣信息的獲取1)矩陣的尺寸2)元素的數(shù)據(jù)類型3)矩陣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)1）矩陣的尺寸矩陣尺寸函數(shù)可以得到矩陣的形狀和大小信息。2）元素的數(shù)據(jù)類型查詢元素數(shù)據(jù)類型信息。3）矩陣元素的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)判斷矩陣是否為某種指定數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)11.稀疏矩陣1）稀疏矩陣的創(chuàng)建2）稀疏矩陣的查看3）稀疏矩陣的運算規(guī)則若一個矩陣只有少數(shù)的元素非零，稱為稀疏矩陣。稀疏矩陣用非零元素及其對應(yīng)的下標來表示。用戶可以創(chuàng)建雙精度、復(fù)數(shù)和邏輯等類型的稀疏矩陣。

11.稀疏矩陣1）稀疏矩陣的創(chuàng)建函數(shù)sparse可用于創(chuàng)建稀疏矩陣

S=sparse(i,j,s,m,n)i,j——稀疏矩陣非零元素的行和列下標s——相應(yīng)的非零元素的值m,n——是矩陣的行數(shù)和列數(shù)函數(shù)sparse從滿矩陣轉(zhuǎn)化為稀疏矩陣；函數(shù)full從稀疏矩陣轉(zhuǎn)化為滿矩陣。其它用于創(chuàng)建特殊稀疏矩陣的函數(shù)2）稀疏矩陣的查看MATLAB提供一些函數(shù)用于查看稀疏矩陣的信息，如下表所示。MATLAB自帶一個的稀疏矩陣west0479。2）稀疏矩陣的查看3）稀疏矩陣的運算規(guī)則絕大多數(shù)適用于滿陣的各種命令和函數(shù)都可以用于稀疏矩陣的運算，并且遵循如下約定：把矩陣變?yōu)闃肆炕蛘叨ㄩL向量的函數(shù)總是給出滿矩陣；對于標量或者定長向量變換到矩陣的函數(shù)，如函數(shù)zeros、ones、eye、rand等總是給出滿矩陣；從矩陣到矩陣的變換函數(shù)將以原矩陣的形式出現(xiàn)；在參與矩陣擴展的子矩陣（如[AB;CD]）中，只要有一個是稀疏矩陣，那么所得的結(jié)果也是稀疏矩陣；在矩陣引用中，將仍以原矩陣形式給出結(jié)果。

第2章矩陣及其操作2.1數(shù)據(jù)類型2.2變量及其操作2.3矩陣基礎(chǔ)2.4矩陣運算2.5矩陣的基本操作2.6矩陣分析2.7矩陣分解2.8矩陣相似變換2.9常用函數(shù)2.4矩陣運算矩陣的運算包括算術(shù)運算、點運算、關(guān)系運算、邏輯運算。1.算術(shù)運算

基本算術(shù)運算：＋(加)－(減)*(乘)/(右除)\(左除)^(乘方)2.4矩陣運算矩陣的運算包括算術(shù)運算、點運算、關(guān)系運算、邏輯運算。1.算術(shù)運算

基本算術(shù)運算：＋(加)－(減)*(乘)/(右除)\(左除)^(乘方)加減法運算語法：A+B語法：A-B>>A+A'ans=32811178201723111714261723262>>A-A'ans=0-2-79205-77-50-2-9720注意：矩陣A和B矩陣的維數(shù)須相同。語法：A*B

>>A*A'ans=438236332150236310278332332278310236150332236438注意：矩陣A和B矩陣的維數(shù)有要求，兩矩陣A和B，若A為m×n矩陣，B為n×p矩陣，則A*B為m×p矩陣。矩陣乘法矩陣除法在MATLAB中，有兩種矩陣除法運算：\和/，分別表示左除和右除。對于含有標量的運算，兩種除法運算的結(jié)果相同，如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。又如：若a=[10.5,25]，則a/5=5\a=[2.15]。如果A矩陣是非奇異方陣，則A\b和b/A運算可以實現(xiàn)。A\b等效于A的逆左乘b矩陣，也就是A-1*b，而b/A等效于A矩陣的逆右乘b矩陣，也就是b*A-1。對于矩陣來說，左除和右除表示兩種不同的除數(shù)矩陣和被除數(shù)矩陣的關(guān)系。對于矩陣運算，一般A\b≠b/A。矩陣與標量的運算>>B=A-8.5B=7.5-5.5-6.54.5-3.51.52.5-0.50.5-2.5-1.53.5-4.56.55.5-7.5>>C=A*2C=3264261020221618121424830282A=163213510118967 12415141矩陣的乘方語法：A^n>>A*Aans=341285261269261301309285285309301261269261285341>>A^2ans=341285261269261301309285285309301261269261285341要求：A為方陣，n為標量，不一定為整數(shù)。2.點運算在MATLAB中，有一種特殊的運算，因為其運算符是在有關(guān)算術(shù)運算符前面加點，所以叫點運算。點運算符有.*./.\.^兩矩陣進行點運算是指它們的對應(yīng)元素進行相關(guān)運算，要求兩矩陣的維數(shù)相同。點乘>>A*Aans=341285261269261301309285285309301261269261285341>>A.*Aans=256941692510012164813649144162251961A=163213510118967 12415141點乘方>>pows=[nn.^22.^n]pows=001112244398416165253263664749128864256981512>>n=(0:9)'n=01234567893.關(guān)系運算MATLAB提供了6種關(guān)系運算符：<(小于)<=(小于或等于)>(大于)>=(大于或等于)==(等于)～=(不等于)3.關(guān)系運算關(guān)系運算符的運算法則：當兩個標量進行比較時，直接比較兩數(shù)的大小。若關(guān)系成立，關(guān)系表達式結(jié)果為1，否則為0。當兩個維數(shù)相同的矩陣進行比較時，對兩矩陣相同位置的元素按標量關(guān)系運算規(guī)則逐個進行比較，最終的關(guān)系運算結(jié)果是一個維數(shù)與所比較的矩陣維數(shù)相同的由0或1組成矩陣。當一個矩陣和一個標量進行比較時，則對矩陣的每一個元素與標量按標量關(guān)系運算規(guī)則逐個進行比較，最終的關(guān)系運算的結(jié)果是一個維數(shù)與矩陣相同的由0或1組成矩陣。4.邏輯運算MATLAB提供了3種邏輯運算符：&(與)and|(或)or～(非)not(異或）xor邏輯運算的運算法則：非零元素為真，用1表示，零元素為假，用0表示。設(shè)參與邏輯運算的是兩個標量a和b，那么：

a&ba,b都為非零時，運算結(jié)果為1，否則為0。

a|ba,b中只要有一個非零，運算結(jié)果為1。

～a當a是零時，運算結(jié)果為1；當a非零時，運算結(jié)果為0。xor(a,b)當a和b有1個零，一個非零是，運算結(jié)果為1；否則，為零。4.邏輯運算4.邏輯運算若參與邏輯運算的是兩個同維矩陣，那么運算將對矩陣相同位置上的元素按標量規(guī)則逐個進行。最終運算結(jié)果是一個與原矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。若參與邏輯運算的一個是標量，一個是矩陣，那么運算將在標量與矩陣中的每個元素之間按標量規(guī)則逐個進行。最終運算結(jié)果是一個與矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。邏輯非是單目運算符，也服從矩陣運算規(guī)則。在算術(shù)、關(guān)系、邏輯運算中，算術(shù)運算優(yōu)先級最高，邏輯運算優(yōu)先級最低。5.運算優(yōu)先級運算符的優(yōu)先級決定表達式求值順序;具有相同優(yōu)先級的運算符從左到右依次進行運算;不同優(yōu)先級的運算符采用先進行優(yōu)先高的運算。

運算符的優(yōu)先等級表括號的優(yōu)先級最高，因此可以用它來改變默認的優(yōu)先級。2.5矩陣的基本操作矩陣的求和>>sum(A)ans=34343434矩陣的轉(zhuǎn)置>>A'ans=16594310615211714138121A=163213510118967 124151412.5矩陣的基本操作矩陣的行列式>>det(A)ans=0A=163213510118967 12415141矩陣的特征值>>eig(A)ans=3408000-80/view/111348.html/view/1196645.htm命令窗口輸入和輸出控制格式函數(shù)format控制數(shù)值的顯示格式。x=[4/31.2345e-6];>>formatshort;xx=1.33330.0000formatshorte;xx=1.3333e+0001.2345e-006>>formatshortg;xx=1.33331.2345e-006>>formatlong;xx=1.333333333333330.00000123450000其它支持的格式：>>helpformat2.6矩陣分析1．向量間的距離

2．矩陣的秩

3．矩陣的行列式

4．矩陣的跡

5．矩陣的化零矩陣

6．矩陣的正交空間

7．矩陣的簡化梯形形式

8．矩陣空間之間的角度部分矩陣分析函數(shù)1．向量間的距離2．矩陣的秩矩陣A中線性無關(guān)的列向量個數(shù)稱為列秩，線性無關(guān)的行向量個數(shù)稱為行秩?？梢宰C明列秩與行秩是相等的。3．矩陣的行列式4．矩陣的跡矩陣的跡定義為矩陣對角元素之和。5．矩陣的化零矩陣對于非滿秩矩陣A，若存在矩陣Z使得AZ

=

0且ZTZ

=

I，則稱矩陣Z為矩陣A的化零矩陣。

在MATLAB中用函數(shù)null()來計算矩陣的化零矩陣。6．矩陣的正交空間

矩陣A的正交空間Q滿足QTQ

=

I，且矩陣Q與A具有相同的列基底。7．矩陣的簡化梯形形式

矩陣A的簡化梯形形式為，其中Ir為r階單位矩陣。8．矩陣空間之間的角度

矩陣空間之間的角度代表具有相同行數(shù)的兩個矩陣線性相關(guān)程度，夾角越小代表線性相關(guān)度越高。2.7矩陣分解1．Cholesky分解

2．LU分解

3．QR分解

4．奇異值分解

5．Schur分解

矩陣分解是把一個矩陣分解成比較簡單或者對它性質(zhì)比較熟悉的若干矩陣的乘積的形式。矩陣分解函數(shù)表1．Cholesky分解

Cholesky分解是把對稱正定矩陣A表示為上三角矩陣R的轉(zhuǎn)置與其本身的乘積，即A

=

RTR。

/view/686970.htm1．Cholesky分解

對于稀疏矩陣，MATLAB中用函數(shù)cholinc()計算不完全Cholesky分解R=full(cholinc(sparse(X),DROPTOL))，其中DROPTOL為不完全Cholesky分解的丟失容限；

R=full(cholinc(sparse(X),‘0’))，完全Cholesky分解。

2．LU分解

高斯消去法又稱LU分解:將任意一個方陣A分解為一個交換下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積，即A=LU。

LU分解在MATLAB中用函數(shù)lu()來實現(xiàn)

[L,U]=lu(X)，X為一個方陣，L為交換下三角矩陣，U為上三角矩陣；

[L,U,P]=lu(X)，X為一個方陣，L為下三角矩陣，U為上三角矩陣，P為置換矩陣，滿足關(guān)系P*X=L*U或X=P-1*L*U。2．LU分解

對于稀疏矩陣

[LU]=luinc(X,DROPTOL)，其中X、L和U

的含義與函數(shù)lu()中的變量相同，DROPTOL為不完全LU分解的丟失容限。當DROPTOL設(shè)為0

時，退化為完全LU分解。

[L,U]=luinc(X,‘0’)，0級不完全LU分解。

[L,U,P]=luinc(X,'0')，0級不完全LU分解。3．QR分解QR分解就是將m×n的矩陣A分解為m×n的矩陣Q和n×n的上三角矩陣R的乘積，且Q‘*Q=I，即A