數(shù)學建模超市進貨

超市單個商品最佳進貨方案問題劉鑫、王帥、周洪（目錄）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"一 問題的提出 1\o"CurrentDocument"二問題的假設 2.\o"CurrentDocument"三 模型的建立及問題分析 4\o"CurrentDocument"四模型的評 11\o"CurrentDocument"五參考文獻 12一、問題的提出商家在考慮怎樣進貨的時候往往會想到很多因素，制定一條良好的進貨方案，這也是一個比較棘手的問題。這不僅要能最大的滿足商家自己的利益，又要滿足廣大顧客的需求。商家的良好的進貨策略不僅可以滿足顧客的需要，而且可以使商家獲取最大利潤。然而不合理的進貨策略一方面可能使貨物堆積，造成浪費；另一方面，進貨量不足無法滿足消費者需求。最終導致商家利潤減少甚至虧損。所以我們不禁要問怎樣的進貨策略才可以既滿足顧客的需要，又保證商家自己獲得最大利潤？現(xiàn)在,不妨只考慮其中一種商品的銷售和進貨情況從而確定最佳進貨策略。問題的假設分為A、B、C三種情況，A．假設需求是隨機的，不考慮中斷（缺貨）損失的情況下，我們所假設的模型具有以下特點：1．不允許缺貨，或缺貨損失費為無窮；2．當庫存降為零后，可以立即得到補充；3．需求是連續(xù)的，均勻的；4、每次訂貨量不變，訂貨費不變；5'單位存儲費不變?；诖四Ｐ?，我們假設：D為需求率，是指單位時間內對某種物品的需求量；Q為訂貨量，表示在一次訂貨中，包含某種貨物的數(shù)量；C為商品每次的訂貨費；Cp為單位商品、單位時間的存儲費；t為訂貨間隔，表示兩次訂貨之間的時間間隔。B、假設需求隨機的，考慮中斷損失情況，我們所假設的模型具有以下特點：允許缺貨，有缺貨損失費；當庫存降為零后還可以再等一段時間后訂貨；每次得到訂貨量后，立即支付給顧客，以補充最大缺貨量；需求是連續(xù)的，均勻的；每次訂貨量不變，訂貨費不變；單位存儲費不變；基于此模型，我們假設：D為需求率，是指單位時間內對某種物品的需求量；Q為訂貨量，表示在一次訂貨中，包含某種貨物的數(shù)量；C為商品每次的訂貨費Cp為單位商品、單位時間的存儲費；t為訂貨間隔，表示兩次訂貨之間的時間間隔；t1為t中不缺貨時期；t2為t中缺貨時期；S為最大缺貨量；Cs為缺貨損失單價。C.假設需求隨機的，可進一步考慮有替代品的情況下的最佳進貨策略，我們所假設的模型具有以下特點：1.需求是連續(xù)的，均勻的；彳2當原商品庫存降為零后，可以立即由替代品得到補充，替代品庫存降為0后，便立即訂貨；3每次訂貨時原商品和替代品各自訂貨量不變，各自訂貨費也不變；4由于原商品和替代品有很大共同屬性，這里不妨假設兩種商品單位存儲費相同且不變；基于此模型，我們假設：D為需求率，是指單位時間內對某種物品的需求量；Q為總訂貨量，表示在一次訂貨中，包含兩種種貨物的數(shù)量；S為原商品最大缺貨量，即替代品的訂貨量；t為訂貨間隔，表示兩次訂貨之間的時間間隔；t1為t中原商品存在時期；t2為t中替代品代替原商品補充的時期；Cp為單位商品、單位時間的存儲費；C為原商品每次的訂貨費；C*為替代品每次的訂貨費。三模型的建立及問題分析分為A、B、C三種情況，A(對假設A進行模型建立丿由上述假設，在一個周期內最大庫存量為Q,最小庫存量為o,并且需求是連續(xù)均勻的，于是在一個周期內，其平均庫存量為1Q，因此，2平均存貨費=存儲費X平均庫存量JCpxQ,2可做出庫存量關于時間的函數(shù)圖(由于未掌握相關數(shù)學作圖軟件，在此只有手工作圖，有模糊或不精確的地方還請諒解丿，如下，圖表1由于在最初時刻，訂貨量為Q，經(jīng)過時間t后存儲量為o，需求量為D，且連續(xù)均勻變化，因此，得到訂貨量Q，需求量D和訂貨周期t之間的關糸為：t=Q，D設每次的訂貨費用為C,于是得到平均訂貨費=訂貨費=C=CD,訂貨時間間隔tQ對于此模型平均庫存總費用=平均存貨費+平均訂貨費即F(Q)=1CpxQ+CD,2Q訂貨量的最優(yōu)值由F(Q)關于Q的最小值求出假設Q是連續(xù)的找到Q的最優(yōu)值的一階必要條件為dF(Q)=1Cp-CDdQ2 Q2得到一個駐點Q*得到一個駐點Q*2CDCpdQ2最小值點，其最優(yōu)庫存總費用為，因此這個模型的最優(yōu)存儲策略為每隔dQ2最小值點，其最優(yōu)庫存總費用為，因此這個模型的最優(yōu)存儲策略為每隔t*=蘭=D2CCpD驗證駐點的二階條件由于d2F(Q)=2CD>0,所以Q*是函數(shù)F(Q)Q/3F*=iCpxQ*+CD=/2CCpD2 Q*-單位時間，就訂Q*單位貨物，每個單位時間的最優(yōu)庫存總費用為/2CCpD個單位費用。B(對假設B進行模型的建立丿由假設B,Q-S為最大庫存量，可得出允許缺貨模型的庫存量關于時間的函數(shù)圖(此處也給出手工做出的圖丿，如下，圖表2因此，得到需求率、最大庫存量、最大缺貨量、不缺貨時期和缺貨時期之間的關糸為，t1=Q-S, 12=S, t=Q.D D D在不缺貨時期tl內，最大庫存量為Q-S,最小庫存量為0,因此，其平均庫存量為1(Q-S)。在缺貨時期t2內，庫存量為0,因此，一個周期內的平均2庫存量為,平均庫存量=2(Q-S)+0xt2=(Q-S)t1

t1+t2 2t由以上式子得到,平均庫存量=竺畧.2Q因此,可以得到一個周期內的平均缺貨量為

平均缺貨量_0Xt1+Sxt2X1_sxt2—S2平均缺貨量— 2— — t1+t2 2t2Q對于允許缺貨的經(jīng)濟定購批量存儲摸型，平均庫存總費用—平均存貨費+平均缺貨費+平均訂貨費-存儲費X平均庫存量+缺貨損失費X平均缺貨量+平均訂貨費，即2F(Q,S)-Cp(Q-S)+CsS2+CD.2Q 2QQ利用多元函數(shù)極值最優(yōu)性條件求F(Q,S)的極小點。由一階必要條件得dF—1[(Cp+Cs)S-CpxQ]—0,dSQdF—-2[iCp(Q-S)2+iCsS2+CD]+1Cp(Q-S)dQQ22 2 Q--丄[Cp(Q-S)2+CsS2-2Cp(Q-S)+2CD]2Q2—0.于是得到S*—CpQ*,Cp+CsQ*—”CD(Cp+Cs)_CpxCs接下來驗證二階充分條件。由于函數(shù)F(Q,S)的Hesse矩陣d2Fd2F(Cs+Cp)S2+2CD-(Cp+Cs)STOC\o"1-5"\h\z[dQ2dQdS]—[ Q3 Q2 ]d2F d2F -(Cp+Cs)S Cp+CsdSdQ dS2 Q2 Q正定，所以由兩式得的Q*和S*為極小值，利用上式得到二/2CpCsCDCp+CsF*—Cp(Q*-S*)2+CD二/2CpCsCDCp+Cs2QQ/2Q*即允許缺貨的經(jīng)濟訂購批量儲存模型的最有儲存策略為每隔t*單位時間就定Q*單位貨物，其允許缺貨量為S*單位貨物，每個單位內的最有庫存總費用為『CPCsCD個單位費用。Cp+Cs當Cs〉0,Cp>0時有CP+Cs〉l，因此，由上式得到CsQ*缺貨二［2CD（Cp+Cs）>（2CD=Q*不缺貨，CpCs CpF*缺貨二/2CpCsCD</2CpCD=F*不缺貨，Cp+Cs上式表明，允許缺貨模型的最優(yōu)庫存量要大于不允許缺貨的最優(yōu)庫存量，每次訂貨的時間間隔要比不允許缺貨模型的間隔長，而最優(yōu)庫存總費用會下降，因此，在條件允許的情況下，應當利用允許缺貨模型來降低庫存總費用。考慮當Cs趨向于無窮大（即不允許缺貨）有S*fO和Cp+Csf1Cs因此得到Q*缺貨fQ*不缺貨，t*缺貨ft*不缺貨，F(xiàn)*缺貨fF*不缺貨。因此，從這個角度來看，不允許缺貨模型實際上是允許缺貨模型的特例。C（對假設C進行模型的建立丿由假設C,原商品和替代品各自庫存量關于時間的函數(shù)圖（此處也給出手工做出的圖丿，如下，圖表3在一個周期內，最大庫存量也為Q,最小庫存量為0,并且需求是連續(xù)的，于是在一個周期內，平均庫存量為1Q,2平均庫存費二存儲費x平均庫存量=lCpxQ,2又得到需求率、最大庫存量、最大缺貨量、不缺貨時期和缺貨時期之間的關系為，t1=Q-S, t2=SD D原商品平均訂貨費二CDxQ-SQQ替代品平均訂貨費二CTDxS,QQ因此， 平均庫存總費用=平均存貨費+平均訂貨費F(Q,S)=1CpxQ+CDxQ-S+￡1DxSTOC\o"1-5"\h\z2 Q Q Q Q=1CpxQ+CD+(C*~C)DS,2 Q Q2'利用多元函數(shù)極值最優(yōu)性條件求F(Q,S丿的極小點。由一階要條件得,dF=】Cp_CD_2(C*-C)DSdQ2?Q2 Q3'dF=(C*-C)DdS Q2(1)當C*=C時，dF=iCp-CD,dQ2 Q2dF=0,dS此時跟假設A的情況一模一樣，這個模型的最優(yōu)存儲策略為每隔t*=竺.個單位時間訂貨，可求得每個單位時間的最優(yōu)庫存總費用為((2CCpD)CpD個單位費用。(2)當C*HC時,匹工0,dS可見此時找不出一個駐點S*,F(Q,S)關于S(SH0)是單調函數(shù)，這里只有將S看作一個常量，于是，

令dF=1Cp-CD-2(C*-C)DS=o,dQ2 Q2 Q3此處考慮到解Q*是解一個關于Q*的一元三次方程，難以解出，所以在此只有按照C*的取值來討論不同情況，如下，若C*>C,t*=Q!>/竺DNCpD若C*<C,Q*<2CDCp，Q*<2CDCp，t*=上<D2CCpD以上過程這說明,(1)當替代品價格等于原商品價格時，有替代品模型的最優(yōu)庫存量于不允許缺貨的最優(yōu)庫存量都為2CD.最優(yōu)庫存量于不允許缺貨的最優(yōu)庫存量都為2CD.,每次訂貨的時間間隔于不Cp允許缺貨模型的間隔都為2C；CpD'(2)當替代品價格高于原商品價格時，有替代品模型的最優(yōu)庫存量要適當大于不允許缺貨的最優(yōu)庫存量2最優(yōu)庫存量要適當大于不允許缺貨的最優(yōu)庫存量2CD.,每次訂貨的時間間隔Cp要比不允許缺貨模型的間隔jcpD■適當長;3)當替代品價格低于原商品價格時，有替代品模型的最優(yōu)庫存量要適當小于不允許缺貨的最優(yōu)庫存量/2C2.，每次訂貨的時間間隔要比Cp不允許缺貨模型的間隔jcpD■適當短一些。四模型的評價為了對模型進行合理評價，我們小組特地對校園超市的商品的銷售情況以及進貨情況進行為期一周的調查，以下是我們對美年達銷售情況的調查結果，電子科技大學清水河校區(qū)校園超市2012~2013學年上半學期第十四周美年達銷售情況統(tǒng)計星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日銷售量/瓶21242631252827進貨量/瓶0072