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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.2.若為虛數(shù)單位,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)表示復(fù)數(shù),則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()A.E B.F C.G D.H3.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖所示,圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,則在此圓柱側(cè)面上,從到的路徑中,最短路徑的長度為()A. B. C. D.24.若實(shí)數(shù)滿足的約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知向量,,且與的夾角為,則x=()A.-2 B.2 C.1 D.-16.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,用現(xiàn)代式子表示即為:在中,角所對(duì)的邊分別為,則的面積.根據(jù)此公式,若,且,則的面積為()A. B. C. D.7.如圖是國家統(tǒng)計(jì)局公布的年入境游客(單位:萬人次)的變化情況,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.2014年我國入境游客萬人次最少B.后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C.這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D.前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為3,則可輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.49.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,,,則()A. B. C. D.10.存在點(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)M在第一象限,使得過點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線垂直的直線經(jīng)過點(diǎn),則橢圓離心率的取值范圍是()A. B. C. D.11.二項(xiàng)式的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為()A. B.80 C. D.16012.設(shè)平面與平面相交于直線,直線在平面內(nèi),直線在平面內(nèi),且則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積是______.14.在中,已知,則的最小值是________.15.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,為其前項(xiàng)和,若,且,則公比的值為_____.16.若,,則___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,正方形所在平面外一點(diǎn)滿足,其中分別是與的中點(diǎn).(1)求證:;(2)若,且二面角的平面角的余弦值為,求與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù),求的極值;(2)證明:.(參考數(shù)據(jù):)19.(12分)如圖,在四棱錐中,,,,和均為邊長為的等邊三角形.(1)求證:平面平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)在平面四邊形(圖①)中,與均為直角三角形且有公共斜邊,設(shè),∠,∠,將沿折起,構(gòu)成如圖②所示的三棱錐,且使=.(1)求證:平面⊥平面;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)記函數(shù)的最小值為,正實(shí)數(shù)、滿足,求證:.22.(10分)已知?jiǎng)訄A恒過點(diǎn),且與直線相切.(1)求圓心的軌跡的方程;(2)設(shè)是軌跡上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn),的平行線交軌跡于,兩點(diǎn),交軌跡在處的切線于點(diǎn),問:是否存在實(shí)常數(shù)使,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由,解得,即或,函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,不正確,設(shè),則,由,解得或,由,解得:,即是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn),不成立,排除,故選B.【方法點(diǎn)晴】本題通過對(duì)多個(gè)圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想,屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢,利用排除法,將不合題意選項(xiàng)一一排除.2、C【解析】
由于在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,然后將代入化簡后可找到其對(duì)應(yīng)的點(diǎn).【詳解】由,所以,對(duì)應(yīng)點(diǎn).故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)就關(guān)系,復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
首先根據(jù)題中所給的三視圖,得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置,將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,點(diǎn)M、N在其四分之一的矩形的對(duì)角線的端點(diǎn)處,根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線段最短,利用勾股定理,求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征,將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長方形的寬,圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對(duì)角線的端點(diǎn)處,所以所求的最短路徑的長度為,故選B.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問題,在解題的過程中,需要明確兩個(gè)點(diǎn)在幾何體上所處的位置,再利用平面上兩點(diǎn)間直線段最短,所以處理方法就是將面切開平鋪,利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.4、B【解析】
根據(jù)所給不等式組,畫出不等式表示的可行域,將目標(biāo)函數(shù)化為直線方程,平移后即可確定取值范圍.【詳解】實(shí)數(shù)滿足的約束條件,畫出可行域如下圖所示:將線性目標(biāo)函數(shù)化為,則將平移,平移后結(jié)合圖像可知,當(dāng)經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)截距最小,;當(dāng)經(jīng)過時(shí),截距最大值,,所以線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用,線性目標(biāo)函數(shù)取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
由題意,代入解方程即可得解.【詳解】由題意,所以,且,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
根據(jù),利用正弦定理邊化為角得,整理為,根據(jù),得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【詳解】由得,即,即,因?yàn)?,所以,由余弦定理,所以,由的面積公式得故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.7、D【解析】
ABD可通過統(tǒng)計(jì)圖直接分析得出結(jié)論,C可通過計(jì)算中位數(shù)判斷選項(xiàng)是否正確.【詳解】A.由統(tǒng)計(jì)圖可知:2014年入境游客萬人次最少,故正確;B.由統(tǒng)計(jì)圖可知:后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢,故正確;C.入境游客萬人次的中位數(shù)應(yīng)為與的平均數(shù),大于萬次,故正確;D.由統(tǒng)計(jì)圖可知:前年的入境游客萬人次相比于后年的波動(dòng)更大,所以對(duì)應(yīng)的方差更大,故錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表信息的讀取以及對(duì)中位數(shù)和方差的理解,難度較易.處理問題的關(guān)鍵是能通過所給統(tǒng)計(jì)圖,分析出對(duì)應(yīng)的信息,對(duì)學(xué)生分析問題的能力有一定要求.8、C【解析】試題分析:根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),令,得;當(dāng)時(shí),令,得,故輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為1.考點(diǎn):程序框圖.9、D【解析】試題分析:由于在等比數(shù)列中,由可得:,又因?yàn)?,所以有:是方程的二?shí)根,又,,所以,故解得:,從而公比;那么,故選D.考點(diǎn):等比數(shù)列.10、D【解析】
根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問題,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
求出二項(xiàng)式的展開式的通式,再令的次數(shù)為零,可得結(jié)果.【詳解】解:二項(xiàng)式展開式的通式為,令,解得,則常數(shù)項(xiàng)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解,關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通式,是基礎(chǔ)題.12、A【解析】
試題分析:α⊥β,b⊥m又直線a在平面α內(nèi),所以a⊥b,但直線不一定相交,所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件,故選A.考點(diǎn):充分條件、必要條件.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先由三視圖在長方體中將其還原成直觀圖,再利用球的直徑是長方體體對(duì)角線即可解決.【詳解】由三視圖知該幾何體是一個(gè)三棱錐,如圖所示長方體對(duì)角線長為,所以三棱錐外接球半徑為,故所求外接球的表面積.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體三視圖以及幾何體外接球的表面積,考查學(xué)生空間想象能力以及基本計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.14、【解析】分析:可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為:,然后再結(jié)合余弦定理整理為,再由cosC的余弦定理得到a,b的關(guān)系式,最后利用基本不等式求解即可.詳解:已知,可得,將角A,B,C的余弦定理代入得,由,當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào),故cosC的最小值為.點(diǎn)睛:考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運(yùn)用,能正確轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.屬于中檔題.15、【解析】
將已知由前n項(xiàng)和定義整理為,再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比,最后由數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),舍根得解.【詳解】因?yàn)榧从值缺葦?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),故故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查在等比數(shù)列中由前n項(xiàng)和關(guān)系求公比,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
因?yàn)椋?,又,所以,則,所以.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)先證明EF平面,即可求證;(2)根據(jù)二面角的余弦值,可得平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量計(jì)算線面角即可.【詳解】(1)連接,交于點(diǎn),連結(jié).則,故面.又面,因此.(2)由(1)知即為二面角的平面角,且.在中應(yīng)用余弦定理,得,于是有,即,從而有平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,于是,,設(shè)平面的法向量為,則,即,解得于是平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成角為,因此.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直,線線垂直的證明,二面角,線面角的向量求法,屬于中檔題.18、(1)見解析;(1)見證明【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;(1)問題轉(zhuǎn)化為證ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,根據(jù)xlnx≤x(x﹣1),問題轉(zhuǎn)化為只需證明當(dāng)x>0時(shí),ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】(1),,當(dāng),,當(dāng),,在上遞增,在上遞減,在取得極大值,極大值為,無極大值.(1)要證f(x)+1<ex﹣x1.即證ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,先證明lnx≤x﹣1,取h(x)=lnx﹣x+1,則h′(x)=,易知h(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減,故h(x)≤h(1)=0,即lnx≤x﹣1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”,故xlnx≤x(x﹣1),ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1,故只需證明當(dāng)x>0時(shí),ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),則k′(x)=ex﹣4x+1,令F(x)=k′(x),則F′(x)=ex﹣4,令F′(x)=0,解得:x=1ln1,∵F′(x)遞增,故x∈(0,1ln1]時(shí),F(xiàn)′(x)≤0,F(xiàn)(x)遞減,即k′(x)遞減,x∈(1ln1,+∞)時(shí),F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)遞增,即k′(x)遞增,且k′(1ln1)=5﹣8ln1<0,k′(0)=1>0,k′(1)=e1﹣8+1>0,由零點(diǎn)存在定理,可知?x1∈(0,1ln1),?x1∈(1ln1,1),使得k′(x1)=k′(x1)=0,故0<x<x1或x>x1時(shí),k′(x)>0,k(x)遞增,當(dāng)x1<x<x1時(shí),k′(x)<0,k(x)遞減,故k(x)的最小值是k(0)=0或k(x1),由k′(x1)=0,得=4x1﹣1,k(x1)=﹣1+x1﹣1=﹣(x1﹣1)(1x1﹣1),∵x1∈(1ln1,1),∴k(x1)>0,故x>0時(shí),k(x)>0,原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,極值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明,考查轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19、(1)見證明;(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,要證平面平面,轉(zhuǎn)證平面,即證,即可;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的法向量,代入公式,即可得到結(jié)果.【詳解】(1)取的中點(diǎn),連接,因?yàn)榫鶠檫呴L為的等邊三角形,所以,,且因?yàn)椋?,所以,又因?yàn)椋矫?,平面,所以平?又因?yàn)槠矫?,所以平面平?(2)因?yàn)?,為等邊三角形,所以,又因?yàn)?,所以,,在中,由正弦定理,得:,所?以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則平面的一個(gè)法向量為,依題意,平面的一個(gè)法向量所以故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.20、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)取AB的中點(diǎn)O,連接,證得,從而證得C′O⊥平面ABD,再結(jié)合面面垂直的判定定理,即可證得平面⊥平面;(2)以O(shè)為原點(diǎn),AB,OC所在的直線為y軸,z軸,建立的空間直角坐標(biāo)系,求得平面和平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.【詳解】(1)取AB的中點(diǎn)O,連接,,在Rt△和Rt△ADB中,AB=2,則=DO=1,又C′D=,所以,即⊥OD,又⊥AB,且AB∩OD=O,平面ABD,所以⊥平面ABD,又C′O?平面,所以平面⊥平面DAB(2)以O(shè)為原點(diǎn),AB,OC所在的直線為y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(0,1,0),C′(0,0,1),,所以,,,設(shè)平面的法向量為=(),則,即,代入坐標(biāo)得,令,得,,所以,設(shè)平面的法向量為=(),則,即,代入坐標(biāo)得,令,得,,所以,所以,所以二面角A-C′D-B的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定與證明,以及空間角的求解問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力,解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理,通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵,同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題,往往可以利用空間向量法,通過求解平面的法向量,利用向量的夾角
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