ch6點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)

第六章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)理論力學(xué)

§6–1點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)的概念

§6–2點(diǎn)的速度合成定理

§6–3點(diǎn)的加速度合成定理習(xí)題課第六章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)前章中我們研究點(diǎn)和剛體的運(yùn)動(dòng)，一般都是以地面為參考體的。然而在實(shí)際問(wèn)題中，還常常要在相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)著的參考系上觀察和研究物體的運(yùn)動(dòng)。例如，從行駛的汽車上觀看飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)等，坐在行駛的火車內(nèi)看雨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)等。在不同的坐標(biāo)系或參考體上觀察物體的同一運(yùn)動(dòng)會(huì)有不同的結(jié)果。引言§6-1點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)的概念一．坐標(biāo)系

1.靜(坐標(biāo))系：把固結(jié)于地面上的坐標(biāo)系。二．動(dòng)點(diǎn)所研究的點(diǎn)（運(yùn)動(dòng)著的點(diǎn)）。

2.動(dòng)(坐標(biāo))系：把固結(jié)于相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)物體上的坐標(biāo)系。三．三種運(yùn)動(dòng)、三種速度、三種加速度

１．絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于靜系的運(yùn)動(dòng)。

２．相對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)。

３．牽連運(yùn)動(dòng)：動(dòng)系相對(duì)于靜系的運(yùn)動(dòng)牽連點(diǎn)：在任意瞬時(shí)，動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的點(diǎn)。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

（直線或曲線運(yùn)動(dòng)）剛體的運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中,動(dòng)點(diǎn)的速度與加速度稱為絕對(duì)速度與絕對(duì)加速度相對(duì)運(yùn)動(dòng)中,動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度稱為相對(duì)速度與相對(duì)加速度牽連運(yùn)動(dòng)中,牽連點(diǎn)的速度和加速度稱為牽連速度與牽連加速度注意：牽連點(diǎn)是動(dòng)系上不動(dòng)的點(diǎn)，但它隨動(dòng)系一起運(yùn)動(dòng)；不同瞬時(shí)牽連點(diǎn)不同。（平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)或其它運(yùn)動(dòng)）舉例說(shuō)明以上各概念：動(dòng)點(diǎn)：動(dòng)系：靜系：AB桿上A點(diǎn)固結(jié)于凸輪Ｏ'上固結(jié)在地面上動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系選擇的原則：

動(dòng)點(diǎn)不能選在動(dòng)系上，動(dòng)點(diǎn)對(duì)動(dòng)系有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，且相對(duì)運(yùn)動(dòng)的軌跡要明確。相對(duì)運(yùn)動(dòng)：牽連運(yùn)動(dòng)：曲線（圓弧）直線平動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線絕對(duì)速度：相對(duì)速度：牽連速度：絕對(duì)加速度：相對(duì)加速度：牽連加速度：動(dòng)點(diǎn)：A（在圓盤(pán)上)動(dòng)系：O'A擺桿靜系：機(jī)架絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：曲線（圓周）相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)：A1（在O'A1

擺桿上)動(dòng)系：圓盤(pán)靜系：機(jī)架絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：曲線（圓?。┫鄬?duì)運(yùn)動(dòng)：曲線牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（不合適）

若動(dòng)點(diǎn)A在偏心輪上時(shí)動(dòng)點(diǎn)：A(在AB桿上)

A（在偏心輪上）動(dòng)系：偏心輪AB桿靜系：地面地面絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線圓周（紅色虛線）相對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周（曲線）曲線（未知）牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)[注]要指明動(dòng)點(diǎn)應(yīng)在哪個(gè)物體上，但不能選在動(dòng)系上。（不合適）§6-２點(diǎn)的速度合成定理速度合成定理將建立動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度，相對(duì)速度和牽連速度之間的關(guān)系。

當(dāng)t

t+△t

ABA'B'

MM'也可看成MM１

M′絕對(duì)軌跡絕對(duì)位移相對(duì)軌跡相對(duì)位移牽連軌跡牽連位移＝＋將上式兩邊同除以后，時(shí)的極限，得

va—?jiǎng)狱c(diǎn)的絕對(duì)速度；

vr—?jiǎng)狱c(diǎn)的相對(duì)速度；

ve—?jiǎng)狱c(diǎn)的牽連速度，是動(dòng)系上一點(diǎn)(牽連點(diǎn))的速度

動(dòng)系作平動(dòng)時(shí)，動(dòng)系上各點(diǎn)速度都相等。

動(dòng)系作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，ve必須是該瞬時(shí)動(dòng)系上與 動(dòng)點(diǎn)相重合點(diǎn)的速度。

速度合成定理：任一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度等于其牽連速度與相對(duì)速度的矢量和。速度合成定理是瞬時(shí)矢量式，共包括大小、方向六個(gè)元素，已知任意四個(gè)元素，就能求出其他兩個(gè)。例：曲柄滑桿機(jī)構(gòu)，曲柄OA=0.1m，ω=4t(rad/s)，滑桿上有圓心在套桿BC上、半徑R=0.1m的圓弧形滑道。當(dāng)t=1s時(shí)，曲柄與水平線夾角=30o。求此時(shí)滑桿BC的速度v。m/sm/s解：動(dòng)點(diǎn)：滑塊A，

動(dòng)系：滑桿BC，

靜系：大地速度分析如圖。（）例:

曲柄擺桿機(jī)構(gòu)。已知：OA=r,,OO1=l，圖示瞬時(shí)OAOO1，求：擺桿O1B角速度1解：動(dòng)點(diǎn)：OA桿上A點(diǎn)，動(dòng)系：擺桿01B，

靜系：大地速度分析如圖例：

圓盤(pán)凸輪機(jī)構(gòu)。已知：OC＝e,,＝常量，圖示瞬時(shí),OCCA

且

O、A、B三點(diǎn)共線。求：從動(dòng)桿AB的速度。解：動(dòng)點(diǎn)：AB桿上A點(diǎn)，動(dòng)系：偏心輪C，

靜系：大地速度分析如圖。

例：汽車A以40km/h的速度沿直線道路行駛，汽車B以56.6km/h的速度沿另一叉道行駛。試求在汽車B上觀察到的汽車A的速度。解：動(dòng)點(diǎn)：汽車A

動(dòng)系：汽車B

靜系：地面。

（km/h）速度分析如圖

分析：相接觸的兩個(gè)物體的接觸點(diǎn)隨時(shí)間而變化，因此兩物體的接觸點(diǎn)不宜選為動(dòng)點(diǎn)，需選擇特殊點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)。例：已知:凸輪半徑r,

桿OA靠在凸輪上。求：圖示瞬時(shí)桿OA的角速度。解:

動(dòng)點(diǎn)：凸輪上C點(diǎn)為,

動(dòng)系：固結(jié)于OA桿上,

靜系：固結(jié)于大地。（）速度分析如圖：§4-3加速度合成定理

設(shè)有一動(dòng)點(diǎn)M按一定規(guī)律沿著固連于動(dòng)系O'x'y'z'的曲線AB運(yùn)動(dòng),而曲線AB同時(shí)又隨同動(dòng)系O'x'y'z'相對(duì)靜系Oxyz平動(dòng)。一、牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)其中：動(dòng)系作平動(dòng)，其上各點(diǎn)的速度、加速度都相同 為動(dòng)系坐標(biāo)軸方向的單位矢量，因動(dòng)系為平動(dòng)，故它們的方向不變，是常矢量，—牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于牽連加速度與相對(duì)加速度的矢量和。解：動(dòng)點(diǎn)：桿上的A點(diǎn)，動(dòng)系：凸輪（平動(dòng)）靜系：大地例：已知：凸輪半徑求：j=60o時(shí),頂桿AB的加速度。1）速度分析如圖n2）加速度分析如圖將上式投影到法線上，得整理得設(shè)一圓盤(pán)以勻角速度繞定軸Ｏ順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，盤(pán)上圓槽內(nèi)有一點(diǎn)M以大小不變的速度vr

沿槽作圓周運(yùn)動(dòng)，那么M點(diǎn)相對(duì)于靜系的絕對(duì)加速度應(yīng)是多少呢？二、牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)選點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)與圓盤(pán)上，則M點(diǎn)的牽連運(yùn)動(dòng)為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，（方向如圖）由速度合成定理可得出（方向如圖）即絕對(duì)運(yùn)動(dòng)也為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以方向指向圓心Ｏ點(diǎn)

可見(jiàn)，當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度并不只等于牽連加速度和相對(duì)加速度的矢量和，而是多出了一項(xiàng)aC＝2vr

。aC稱為科氏加速度，是由于牽連運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)相互影響而產(chǎn)生的。vr=i′+j′k′ve=ωe×r

ar=i′+j′k′

公式推導(dǎo)分析相對(duì)導(dǎo)數(shù)設(shè)有一動(dòng)點(diǎn)M沿空間曲線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)系O’x’y’z’繞靜系Oxyz的z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度、角加速度分別為。根據(jù)點(diǎn)的速度合成定理：va

=ve+vr兩邊同對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得：動(dòng)系以角速度矢ωe繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng),定軸為定系的z軸，定點(diǎn)O到動(dòng)系原點(diǎn)及單位矢量k’的矢端A的矢徑分別為rO’和rA

。k＇=rA–rO＇vA–vO＇vA=ωe×rA，vO＇=ωe×rO＇

ωe×rA

－ωe×rO＇=ωe×(rA

－rO＇)=×k＇下面先來(lái)分析動(dòng)系坐標(biāo)軸方向單位矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。ωe×i′ωe×j′ωe×k′i′+j′

i′+j′k′=ar

（ωe×i′）（ωe×j′）（ωe×k′）

=ar

i′j′k′）=ar+ωe×vr

aa

=ae+ar+2ωe×vr

ac=2ωe×vr

ac稱為科氏加速度，它等于動(dòng)系角速度矢與動(dòng)點(diǎn)相對(duì)速度矢的矢積的兩倍，是由于牽連運(yùn)動(dòng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)相互影響而產(chǎn)生的。

aa

=ae+ar+ac當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于它的牽連加速度，相對(duì)加速度和科氏加速度三者的矢量和。方向：按右手法則確定。關(guān)于科氏加速度ac=2ωe×vr將vr的方向順的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)過(guò)即為的方向。在自然界中可以觀察到科氏加速度所表現(xiàn)出的現(xiàn)象。由于地球繞地軸轉(zhuǎn)動(dòng)，因此只要地球上物體相對(duì)地球運(yùn)動(dòng)的方向不與地軸平行，該物體就有科氏加速度。在北半球，河水向北流動(dòng)時(shí)，有向左的加速度，河水必然受右岸對(duì)水的向左作用力。根據(jù)作用與反作用定律，河水必對(duì)右岸有反作用力。北半球向北流動(dòng)的江河，其右岸均受到較明顯的沖刷，這也是地理學(xué)中的一項(xiàng)規(guī)律。由于地球自轉(zhuǎn)角速度很小，所以一般工程問(wèn)題都忽略其自轉(zhuǎn)的影響，只有在某些特殊情形下才加以考慮。DABC解：點(diǎn)M1的科氏加速度

垂直板面向里。例：矩形板ABCD以勻角速度繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)M1和點(diǎn)M2分別沿板的對(duì)角線BD和邊線CD運(yùn)動(dòng)，在圖示位置時(shí)相對(duì)于板的速度分別為v1和v2

，計(jì)算點(diǎn)M1、

M2的科氏加速度大小,并圖示方向。點(diǎn)M2的科氏加速度解：方向：與相同。例:曲柄擺桿機(jī)構(gòu)。已知：O1A＝r,,,1;取O1A桿上A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)O2A上，試計(jì)算動(dòng)點(diǎn)A的科氏加速度。速度分析如圖解：動(dòng)點(diǎn)：小環(huán)M

動(dòng)系：直角形桿OBC（轉(zhuǎn)動(dòng)）

靜系；直桿OA（大地）。

1．速度分析如圖（m/s）

（m/s）

（m/s）

例:直角形曲柄OBC繞垂直于圖面的軸O在一定范圍內(nèi)以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)套在固定直桿OA上的小環(huán)M沿直桿滑動(dòng)。已知：OB=0.1m，

rad/s。試求當(dāng)時(shí)，小環(huán)M的速度和加速度。將各加速度矢量投影到x’軸上（m/s2）

（m/s2）

（m/s2）

2．加速度分析如圖解:

動(dòng)點(diǎn):頂桿上A點(diǎn)動(dòng)系:凸輪(轉(zhuǎn)動(dòng)）

靜系:地面例:

已知：凸輪機(jī)構(gòu)以勻

繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圖示瞬時(shí)OA=r

，A點(diǎn)曲率半徑,已知。求：該瞬時(shí)頂桿AB的速度和加速度。1．速度分析如圖2．加速度分析如圖向n軸投影：解：動(dòng)點(diǎn):凸輪的中心C點(diǎn)動(dòng)系：連于頂桿AB（平動(dòng)）

靜系：連于地面。

例:平底頂桿凸輪機(jī)構(gòu)。偏心凸輪以等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，O軸位于頂桿的軸線上，工作時(shí)頂桿的平底始終接觸凸輪表面。設(shè)凸輪半徑為R，偏心距OC=e，OC與水平線的夾角為，試求當(dāng)時(shí)，頂桿AB的速度和加速度。1．速度分析如圖2．加速度分析如圖習(xí)題課一．概念及公式

1.一點(diǎn)、二系、三運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)與牽連運(yùn)動(dòng)的合成．

2.

速度合成定理

3.加速度合成定理牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)二．解題步驟

1.選擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系、靜系。

2.分析三種運(yùn)動(dòng)：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)。

3.作速度分析,畫(huà)出速度平行四邊形,求出有關(guān)未知量(速度,角速度）。

4.作加速度分析，畫(huà)出加速度矢量圖，求出有關(guān)未知量(加速度、角加速度）。

三．解題技巧

1.恰當(dāng)?shù)剡x擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系,應(yīng)滿足選擇原則。具體地有：

a.

兩個(gè)不相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)，求二者的相對(duì)速度。根據(jù)題意,選擇其中之一為動(dòng)點(diǎn),動(dòng)系為固結(jié)于另一點(diǎn)的平動(dòng)坐標(biāo)系。

b.

運(yùn)動(dòng)剛體上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)作復(fù)雜運(yùn)動(dòng)。該點(diǎn)取為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)于運(yùn)動(dòng)剛體上。

c.

機(jī)構(gòu)傳動(dòng),傳動(dòng)特點(diǎn)是在一個(gè)剛體上存在一個(gè)不變的接觸點(diǎn),相對(duì)于另一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)。導(dǎo)桿滑塊機(jī)構(gòu)：典型方法是動(dòng)系固結(jié)于導(dǎo)桿，取滑塊為動(dòng)點(diǎn)。凸輪挺桿機(jī)構(gòu)：典型方法是動(dòng)系固結(jié)與凸輪，取挺桿上與凸輪接觸點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)。

d.

特殊問(wèn)題,特點(diǎn)是相接觸兩個(gè)物體的接觸點(diǎn)位置都隨時(shí)間而變化.此時(shí),這兩個(gè)物體的接觸點(diǎn)都不宜選為動(dòng)點(diǎn)，應(yīng)選擇滿足前述的選擇原則的非接觸點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)。2.速度問(wèn)題,

一般采用幾何法求解簡(jiǎn)便,即作出速度平行四邊形；加速度問(wèn)題,

往往超過(guò)三個(gè)矢量,一般采用解析（投影）法求解，投影軸的選取依解題簡(jiǎn)便的要求而定。

四．注意問(wèn)題

1.牽連速度及牽連加速度是牽連點(diǎn)相對(duì)于靜系的速度及加速度。

2.牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)作加速度分析不要漏掉，正確分析和計(jì)算。

3.加速度矢量方程的投影是等式兩端的投影，與靜力平衡方程的投影式不同。

4.圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，非圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，(為曲率半徑)r已知:OA＝l,=45o

時(shí)，w,;

求：圖示瞬時(shí)小車的速度與加速度．解：動(dòng)點(diǎn)：OA桿上A點(diǎn);動(dòng)系：固結(jié)在滑桿上（平動(dòng));靜系：固結(jié)在機(jī)架上。一、曲柄滑桿機(jī)構(gòu)1．速度分析如圖小車的速度：方向：水平向右。，方向如圖示小車的加速度：2．加速度分析如圖投影至x軸：，方向如圖示方向：水平向右。二、搖桿滑道機(jī)構(gòu)解：動(dòng)點(diǎn):銷子D(BC上)

動(dòng)系:固結(jié)于OA(轉(zhuǎn)動(dòng)）

靜系:固結(jié)于機(jī)架。

（）已知

求:該瞬時(shí)OA桿的

,。1．速度分析如圖投至軸：（）2．加速度分析如圖三、曲柄滑塊機(jī)構(gòu)動(dòng)點(diǎn)：O1A上A點(diǎn)動(dòng)系：固結(jié)于BCD（平動(dòng)）靜系：固結(jié)于機(jī)架上

已知：

h;

圖示瞬時(shí);

求:該瞬時(shí)桿的w2。解：速度分析如圖動(dòng)點(diǎn)：BCD上F點(diǎn)動(dòng)系：固結(jié)于O2E上（轉(zhuǎn)動(dòng)）靜系：固結(jié)于機(jī)架上）（速度分析如圖（注意：兩次選擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系）解:動(dòng)點(diǎn)：凸輪上C點(diǎn)動(dòng)系：固結(jié)于OA桿上（轉(zhuǎn)動(dòng)）靜系：固結(jié)于地面上

已知：凸輪半徑為R，圖示瞬時(shí)O、C在一條鉛直線上;